15

4. Даны 2 числа в шестнадцатеричной системе счисления. Перевести числа в следующие системы счисления:

–десятичную систему, используя правило 3;

–двоичную, используя правило 2.1.

Вариант		Числа		Вариант		Числа
	1		2		1		2
1	294,3А		DDF,А1	16	103,8С		А5D,68
2	2В3,F4		FС1,2А	17	32Е,22		В6F,А6
3	2D9,8А		D79,45	18	6ВЕ,А2		АDF,34
4	2F4,0С		FF5,А2	19	366,4Е		F67,СА
5	3D2,04		D9D,А3	20	14С,АВ		DВС,АА
6	DD,3В		627,F8	21	215,72		FDА,56
7	3С9,8В		329,1D	22	16Е,В4		DАА,02
8	388,64		3FF,7А	23	3FA,Е8		F00,ВС
9	940,4А		АD3,В2	24	396,АЕ		FD1,0А
10	530,9С		209,FF	25	3ЕА,22		D99,0В
11	С2А,3В		10D,А5	26	213,АА		F01,СС
12	18В,0С		D0D,78	27	АВА,12		DF3,АС
13	1ЕЕ,СА		9DА,В2	28	ВВ1,31		FВВ,08
14	1СА,3В		FСА,19	29	ЕА7,22		АВВ,С8
15	246,18		4FА,84	30	ААЕ,79		С0С,22

Лабораторная работа 2

Арифметические действия в системах счисления

Во всех перечисленных системах счисления можно выполнять простые арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Двоичная арифметика

Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:

–требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;

–существенно упрощаются арифметические операции;

–оборудования требуется в 1,5 раза меньше;

–позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем. Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:

–большая длина записи чисел;

–при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.

Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

		16
Сложение	Вычитание	Умножение	Деление
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 × 0 = 0	0 : 1 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0 × 1 = 0	1 : 1 = 1
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 × 0 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 × 1 = 1

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления одинаковы, то есть сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, деление – со старших. При сложении единица переноса складывается с цифрами соседнего старшего разряда. При вычитании единица заёма старшего разряда даёт две единицы в младшем соседнем разряде.

Пример:

Сложить два двоичных числа: 110010010,012 и 11110000,12. Решение:

Два числа нужно записать одно под другим так, чтобы совпадали разряды чисел, то есть цифра в нулевом разряде первого числа складывается с цифрой в нулевом разряде второго числа и т.д. Для этого в конце второго числа дописываем ноль и начинаем сложение с самого младшего разряда, то есть справа налево:

–разряд (-1): 1 + 0 = 1;

–разряд (-2): 0 + 1 = 1;

–разряд (0): 0 + 0 = 0;

–разряд (1): 1 + 1 = 10, следовательно, 0 пишем, а 1 запоминаем, то есть единица переходит в следующий разряд;

–разряд (2): 0 + 1 = 1 и ещё + 1 из предыдущего разряда = 10, также 0 пишем,

1запоминаем;

–разряд (3): 1 + 1 = 10 и ещё + 1 из предыдущего разряда = 11, то есть 1 пишем и 1 запоминаем;

–разряд (4): 1 + 0 = 1 и ещё + 1 из предыдущего разряда = 10, то есть 0 пишем, 1 запоминаем;

–разряд (5): нет цифр, следовательно, записываем 1 из предыдущего разряда. Таким образом, получаем следующее выражение:

	1	1	0	1	0,	0	1
+		1	1	1	0,	1	0
1	0	1	0	0	0,	1	1

Пример:

Даны два двоичных числа: 11000002 и 1001102. Вычесть из первого двоичного числа второе.

Решение:

Записываем одно число под другим, учитывая разряды, и начинаем вычита-

17

ние с младшего разряда, то есть справа налево:

–разряд (0): 0 – 0 = 0;

–разряд (1): от 0 мы не можем отнять 1, поэтому занимаем у ближайшей единицы. Она находится в 4-м разряде. Следовательно, в 4-м разряде остаётся 0, в 1-м разряде будет 10, в разрядах 2 и 3 – единицы. Продолжаем вычисления: 10 – 1 = 1;

–разряд (2): в нём вместо 0 теперь стоит 1, следовательно: 1 – 1 = 0;

–разряд (3): в нём вместо 0 тоже стоит 1, следовательно, 1 – 0 = 1;

–разряд (4): в нём вместо 1 теперь остался 0, следовательно, чтобы от 0 отнять 1, нужно опять занять единицу у ближайшего разряда, её имеющего. В данном случае это следующий разряд (5-й). Занимаем, в 5-м разряде остаётся 0, а в 4-м будет 10. Продолжаем вычисления: 10 – 1 = 1;

–разряд (5): в нём остался 0.

Таким образом, получаем следующее выражение:
0		10
		0	1	1	10
1		1	0	0	0	0
–		1	0	1	1	0
		1	1	0	1	0

Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но так как умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки, отделяющей целую часть от дробной части, определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.

Пример:

Умножить двоичные числа 1100,12 × 10,12. Решение:

Записываем числа одно под другим, равняя по правому краю, как в десятичной арифметике. Производим умножение и сложение, отделяем запятой два знака справа.

			1	1	0	0,	1
		×			1	0,	1
			1	1	0	0	1
+	1	1	0	0	1			–	сдвину-
								тое на 2 раз-
								ряда	влево
								множимое
1	0	1	0	1	1,	1	1

18

Восьмеричная арифметика

Все действия в восьмеричной системе счисления производятся аналогично действиям в десятичной системе, только в следующий разряд при сложении переносится на 10, а 8 и из старшего разряда при вычитании занимается тоже не 10, а 8.

Пример:

Сложить два восьмеричных числа: 127,58 и 75,48. Решение:

Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем сложение

смладшего разряда:

–разряд (-1): 5 + 4 = 9, но так как система восьмеричная, то 9 – 8 = 1, то есть 1 пишем, а 8 переходит в следующий разряд как 1, то есть 1 запоминаем;

–разряд (0): 7 + 5 = 12 и еще + 1 = 13, 13 – 8 = 5, то есть 5 пишем, а 8 переходит в следующий разряд как 1, то есть 1 запоминаем;

–разряд (1): 2 + 7 = 9 и еще + 1 = 10, 10 – 8 = 2, то есть 2 пишем, 1 запоминаем;

–разряд (2): в нем стоит 1 и + 1 = 2.

Получилось выражение:
1	2	7,	58
+	7	5,	48
2	2	5,	18

Пример:

Даны два восьмеричных числа: 531,48 и 73,28. Требуется из первого числа вычесть второе.

Решение:

Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем вычитание с младшего разряда:

–разряд (-1): 4 – 2 = 2;

–разряд (0): из 1 не можем отнять 3, поэтому занимаем восьмёрку у следующего разряда. При этом в 0-м разряде станет 1 + 8 = 9, а в 1-м разряде останется 3 – 1 = 2. Производим действия в 0-м разряде: 9 – 3 = 6;

–разряд (1): в нём осталось 2, отнять 7 невозможно, поэтому занимаем восьмёрку у следующего разряда. При этом в 1-м разряде станет 2 + 8 = 10, а во 2-м разряде останется 5 – 1 = 4. В 1-м разряде: 10 – 7 = 3;

–разряд (2): в нём осталось 4.

Получилось выражение:
5	3	1,	48
–	7	3,	28
4	3	6,	28