Математический анализ в задачах и упражнениях
..pdfНетрудно показать, что этот ряд является рядом Лейбница (удовлетворяет условиям теоремы Лейбница). Согласно теореме Лейбница погрешность, допускаемая при отбрасывании членов ряда, по абсолютной величине не превышает мо-
дуля первого отброшенного члена. Поскольку 2 10 0,0015, то для достижения требуемой точности достаточно взять первые два члена ряда
367 = 4 1 16 4,065.
2
Пример 37. Вычислить ln 2 с точностью до 10 4.
Решение. Для вычисления логарифмов чисел можно пользоваться рядом
ln |
1 x |
2 x |
x3 |
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x5 |
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x2n 1 |
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, |
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x |
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1. |
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|||||||||||||
1 x |
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2n 1 |
|||||||||||
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3 |
5 |
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Ошибка, получаемая при замене суммы ряда суммой его первых n членов, может быть оценена с помощью формулы
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Rn |
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2x2n 1 |
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. |
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||||||||
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||||||||||||
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2n |
1 1 |
x2 |
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|||||||||||||
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||||||||||||||||
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Положим |
1 x |
2 , тогда x |
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1 и, следовательно, |
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|||||||||||||||||||||
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1 x |
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3 |
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ln 2 2 1 |
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1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
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|||||||||||
|
|
3 |
|
5 |
7 |
|
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||||||||||||||||||
|
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3 |
|
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3 3 |
|
3 5 |
|
3 7 |
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|||||||||
Заданную точность обеспечивают четыре члена, так как для |
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оценки погрешности выполняется неравенство ( n 4 и |
x |
1 ) |
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3 |
|
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|
R |
|
|
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|
2 9 |
|
1 |
|
0,0001. |
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|||||||||
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|||||||||||||||
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||||||||
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4 |
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39 9 8 |
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39 4 |
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151 |
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elib.pstu.ru
Таким образом, с точностью до 10 4
ln 2 |
2 |
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1 |
|
1 |
|
1 |
|
0,6931. |
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1 |
|
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||||||
3 |
27 |
405 |
5103 |
||||||||
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Пример 38. Найти с точностью 10 3 определенный инте-
грал 1 3 x sin xdx.
0
Решение. Первообразная функции 3 x sin x не выражается
в элементарных функциях, поэтому нельзя применить формулу Ньютона – Лейбница. Вычислим данный интеграл приближенно с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Умножим обе части разложения
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x |
3 |
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x |
5 |
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n 1 |
x |
2n 1 |
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||||
sin x x |
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1 |
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|||||||
|
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2n 1 ! |
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||||||||||
|
3! 5! |
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n 1 |
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||||||||||||
на 3 x , получим |
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4 |
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10 |
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16 |
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6n 2 |
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|||
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|
x 3 |
|
|
|
x 3 |
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|
x 3 |
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|
||||
3 x sin x = x3 |
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1 n 1 |
|
. |
|||||||||||
|
|
2n 1 ! |
|||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
5! |
n 1 |
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|
|
Проинтегрируем полученный ряд в указанных пределах:
1 |
|
|
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|
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|
7 |
|
|
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|
13 |
|
|
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19 |
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|
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|
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|
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|
|
||||
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
x |
3 |
|
3 |
|
x 3 |
|
|
|||
|
|
x sin xdx |
|
|
x3 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
13 |
3! |
19 |
5! |
||||||||||||||||
0 |
|
|
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|||||||||
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3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|||
|
|
7 |
26 |
760 |
42 000 |
|
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||||||||||||||
|
|
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|
Полученный ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Поскольку 5-й член по абсолютной величине не превышает
10 3 , то для получения указанной точности берем первые 4 члена ряда:
1 3 x sin xdx 0,3914 .
0
152
elib.pstu.ru
Пример 39. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
y x2 y2 1 , удовлетворяющегоначальному условию y 0 1.
Решение. Будем искать решение уравнения в виде ряда Маклорена
y x y 0 |
y 0 |
x |
y 0 |
|
y n 0 |
, |
|
1! |
2! |
n! |
|||||
|
|
|
|
предполагая при этом, что этот ряд сходится на всей числовой оси и его можно дифференцировать в любой точке. Первый коэффици-
ент найдем из начального условия y 0 1. Значение y 0 находим, подставив y 0 =1 и x 0 в исходноеуравнение:
y 0 0 y 0 2 1.
Получим y 0 1.
Следующие коэффициенты найдем последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой x 0:
y |
|
2xy |
2 |
|
2x |
2 |
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y |
|
0 |
0; |
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|
|
yy ; |
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||||||||
y 2 y2 |
2xyy 2x2 y 2 |
yy ; |
y 0 2 . |
Искомое решение имеет вид
y x 1 x 3!2 x3 .
153
elib.pstu.ru
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 6
Задание 1. Исследовать сходимость ряда по признаку сравнения.
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1 |
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3n |
||
1.1. sin |
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1.13. |
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|
n |
2 |
2 |
n |
n |
|||
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
||
1.2. ln3n |
|
1.14. |
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1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 n |
|
|
|||||||||||
|
1 cos n |
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.3. |
|
|
|
n |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1.15. tg |
|
|
|
|
|
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||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
1.4. |
|
|
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|
|
|
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|
n3 1 |
|
|
|
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|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
n2 n |
|
|
1.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.5. |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
1.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 1 |
||||||||||||
1.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n2 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
2 |
|
|
|
1.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.8. |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
n 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||||
1.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 n |
|
|
||||||||||
n |
2 |
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
1.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3n 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n e |
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n 1 n |
1 |
|
|
|
|
|
1.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
nln n |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
3n 1)n |
||||||||||||||||
1.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n 1 |
|
n |
1 |
|
|
1.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
2 |
n 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
1.12. |
|
|
|
|
|
|
|
sin 6n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.24. |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
elib.pstu.ru
|
1 |
|
|
1 |
|
|
cos n |
||
|
|
|
|
||||||
1.25. |
|
|
|
|
|
e |
|
||
|
n |
2 |
|
||||||
n 1 |
n 3 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
n 3 |
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 2n 1 |
|
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1.28. |
|
|
|
|
|
|
||
n |
n 1 |
|||||||
n 1 |
||||||||
|
|
3n 1 |
|
n |
||||
|
|
|||||||
1.29. |
|
|
|
|
|
|
||
4n 3 |
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|||||
|
|
4 |
n |
|
|
|
|
|
1.30. |
|
|
|
|
|
|
||
5 |
n |
|
|
|
|
|
||
n 1 |
n |
|
|
Задание 2. Исследовать сходимость ряда.
2.1. nn!
n 1 2
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
||||
2.2. |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
||||
n 1 |
|
|
|
22n 1
2.3. en
n 1
2.4. n2
n 1 en
2.5. 1
n 1 n 1 ln n
2.6. 3n n2
n 1 n!
2.7. n sin 1 2n n 1 n
2.8. arctgn
n 1 n2 1
2.9. 3n 1 n 1 n 1 2n 3
2.10. 2n n! n 1 (2n)!
|
n |
2 |
|
2.11. |
|
||
n6 1 |
|||
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
n2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2n 1 |
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
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2.13. n |
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n 1 |
n! |
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1 |
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2.14. |
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n(ln n) |
2 |
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n 1 |
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n 1 |
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n2 1 |
1 |
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2.15. |
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n |
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n |
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n 1 |
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3 |
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e |
n |
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2.16. |
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e2n 1 |
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n 1 |
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n3 1 |
2 n |
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2.17. |
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n |
2 |
1 |
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n 1 |
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3 |
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2n |
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2n2 |
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2.18. |
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2n 1 |
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n 1 |
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arcsin |
1 |
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2.19. |
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n |
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2 |
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n 1 |
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1 |
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2.20. en2 |
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n 1 |
n |
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3n 1 |
n 1 |
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2.21. |
n 1 |
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n 1 |
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155
elib.pstu.ru
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2n |
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n |
2 |
3 |
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2.22. n |
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2.27. |
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n 1 ! |
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n 1 |
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n! |
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n 1 |
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1 |
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7n 1 |
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2.23. |
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2.28. |
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n |
2 |
2n 2 |
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5 |
n |
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n 1 |
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n 1 |
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n 1 ! |
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2n |
n |
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n |
n |
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2.24. |
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2.29. |
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n |
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n 3 ! |
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n 1 |
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n |
2 |
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2 |
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n 1 |
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1 |
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n2 |
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2 |
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n |
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1 |
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n |
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2.25. |
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n |
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1 |
n |
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2.30. |
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n 1 |
5 |
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n 3 |
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n! |
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n 1 |
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n |
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2.26. |
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||||
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2n |
|
3 ! |
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|||||||||||||
n 1 |
|
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||||||||||||||
Задание 3. Исследовать на абсолютную и условную сходи- |
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мость ряд. |
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n |
2 |
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( 1) |
n |
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|||||||||
3.1. ( 1)n |
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3.9. |
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n! |
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n |
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n 0 |
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n 1 2 |
(n 1) |
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( 1) |
n |
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n 10 |
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3.2. |
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3.10. ( 1)n |
|
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n 2 |
n ln n |
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n 1 |
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n! |
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( 1) |
n |
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2 |
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3.3. |
|
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3.11. ( 1)n nn |
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ln(n 1) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
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|
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n 1 |
|
|
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|
|
2 |
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n 1 |
||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
n |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
3.4. ( 1)n |
|
|
|
|
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3.12. ( 1)n |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||
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ln n |
|
|
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n(2n 1) |
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n 1 |
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||||||||||||||||||
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|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||
|
|
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|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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n 1 |
||||||||||
3.5. |
( 1) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
3.13. ( 1)n |
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
n 2 |
n ln |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
n 1 |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
ln n |
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||
3.6. ( 1)n |
|
|
|
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|
3.14. |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
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n 2 |
ln ln n |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
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|
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n 3 |
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||||||||||||||||||||||
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|
n |
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
1 |
|
|
|||||
3.7. ( 1)n |
|
|
|
|
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|
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3.15. ( 1)n n2 sin |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
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2n 3 |
2 |
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n 1 |
|
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n 1 |
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|
|
|
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|
n |
||||||||||||||
|
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( 1) |
n |
|
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( 1) |
n |
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3.8. |
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3.16. |
|
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4 n2 1 |
|
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n ln n |
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n 1 |
|
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n 2 |
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|||||||||||||||||||||||||
156 |
|
|
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elib.pstu.ru
|
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n |
|
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|
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|
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3.17. 1 n |
|
2 |
|
|
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||||
|
n |
|
|
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|||||||
n 1 |
|
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|
n3 |
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|
|
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|
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|
3.18. ( 1)n sin |
|
|
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|||||||
n 1 |
|
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|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
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3.19. |
|
|
|
|
|
|
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n ln n |
|
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|
|
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||||
n 1 |
|
|
|
|
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|
|
||||
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|||
3.20. ( 1)n |
1 n2 |
||||||||||
n 1 |
|
|
1 n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
3.21. ( 1)n |
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
3.22. ( 1)n sin |
|
|
|||||||||
|
n |
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
3.23. ( 1)n |
|
|
|
|
|
||||||
|
3 (n 1)2 |
||||||||||
n 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
n |
|
2 3n |
|||||||
3.24. ( 1) |
|
|
3 2 |
n |
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
3.25. ( 1)n n 1
n 1 n3n
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
n ln |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
||||||||
3.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(2n 1)n |
||||||||||||||
n 1 |
||||||||||||||
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
||||||||
3.28. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2n 7) |
n |
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( 1) |
n |
|
n |
|||||||||
3.29. |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
2n 2 |
|||||||||||||
|
( 1) |
n |
|
(n |
3) |
|||||||||
3.30. |
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
n4n |
Задание 4. Исследовать сходимость (абсолютную и услов-
ную) ряда. |
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4.6. sin4 |
n |
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|||||||
4.1. ( 1)n arctgn |
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|||||||||||||
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n 1 |
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|
|
n |
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.2. ( 1)n arcctgn |
4.7. cos3 |
2n |
|
|
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|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
n 1 |
|
|
|
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|
n |
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n 1 (n 1)n |
|
n 1 |
|
|
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|
2 n |
|||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||
4.3. ( 1) |
4.8. |
n |
1 |
cos |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
n |
n 1 |
|
||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
n cos |
n |
|
cos3 n |
|
|
|
|
|
|||||||||
4.4. ln |
|
4.9. |
|
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 2 |
n |
|
|
|
4 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
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arctg n2 4 |
|
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3 |
n |
|
|
|
|
||||
|
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|
|
|
4.10. sin |
n |
|
|
|
|
||||||||||
4.5. ( 1) |
n |
|
n 4 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
cos |
2 |
n |
||||||||||
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
4.11. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
157
elib.pstu.ru
|
( 1) |
n |
sin |
2 |
n |
||||||||
4.12. |
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||
|
(ln n)sin 2n |
||||||||||||
4.13. |
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
(ln n)cos3n |
||||||||||||
4.14. |
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
3n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
4.15. |
cos n |
||||||||||||
2 |
|
||||||||||||
n 1 |
n |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
5n 2 |
|
|
|
|
||||||||
4.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n |
||||
2n |
2 |
|
1 |
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(n 1)cos 2n |
||||||||||||
4.17. |
|
n |
3 |
ln n |
|||||||||
n 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
n sin |
n |
|||||||||
4.18. ln |
|
||||||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||
|
( 1) |
n |
cos |
2 |
3n |
||||||||
4.19. |
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
4.20. cos n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
ln n 5 |
|
|
|
|
||||||||
|
( 1) |
n |
sin n |
||||||||||
4.21. |
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
n 5 |
|
|
|
|
|
2 |
n sin |
n |
|
|
|
|||||
4.22. ln |
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
4.23. sin 3n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
ln n 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
4.24. sin n arccos |
|
|||||||||||
n |
5 |
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
n |
sin |
2 n |
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
||||||||
4.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n ln n |
|
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
( 1) |
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
4.26. |
|
sin2 (n 1) |
||||||||||
n 1 |
|
|
|
nln |
n |
|
|
|
||||
4.27. sin 3n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2n sin 3n |
|
|
|
|
|||||||
4.28. cos n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n cos n |
|
|
|
|
|
||||||
|
2n 1cos 2n |
|
|
|||||||||
4.29. |
|
|
||||||||||
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.30. ln n cos 4n |
|
|
|
|||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.
|
x 1cos nx |
|
|
|||||
5.1. |
|
|
|
|
|
|
, |
[0; 2] |
3 |
5 |
1 |
|
|||||
n 0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
||
5.2. |
x |
, |
|
|
3 ; |
|
||
|
n |
|
2 |
|||||
n 1 |
n2 |
|
|
2 |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
||
5.3. |
x |
, |
2; 2 |
|
|
|||
n |
|
|
||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
x |
|
n |
|
|
3 |
|
3 |
|||||
5.4. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
; |
|
|
||
n 1 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.5. xn!, |
1 ; |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
5.6. x 3n |
n |
, |
|
1; |
6 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158
elib.pstu.ru
5.7.
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
[2; 4] |
||||||||||||||||||
|
(2n 1) |
|
|
|
n 1 |
|
||||||||||||||||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
( x)cos |
2 |
nx , |
|
[0; ] |
|||||||||||||||||||||
5.8. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
4 n7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(x 1)n |
2n |
|
|
|
|
|
1; 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5.9. |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
n9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n!(x 3)n |
|
, |
5; 1 |
|||||||||||||||||||||
5.10. |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
(x 2)2n |
|
|
|
|
|
|
1; 3 |
||||||||||||
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
|
(n 1) |
2 |
ln(n 1) |
|
||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
3; 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.12. |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n 1 |
x |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
(4n 3) |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.14. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
2; 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 2 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 5 2n 1 |
|
7; 3 |
||||||||||||||||||||||
5.15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
n |
2 |
4 |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(x n2) |
n2 |
|
|
|
|
3; 1 |
|
|||||||||||||||||
5.16. |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.17. |
|
( 1)n |
|
|
|
|
|
, |
1 |
; |
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(n 1)4 x |
2n |
|
|
1 |
; |
1 |
||||||||||||||||||
5.18. |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
, |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5.19.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
; 5 |
|
||||||
( 1)n 1 (x 2) |
|
|
|
|
, 3 |
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
(x 5)n |
|
|
|
|
|
6; 4 |
|||||||||||||||
5.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x 2)n |
|
|
|
|
1; 3 |
|
|
|
|||||||||||||
5.21. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
(2n 1)2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x 1)sin |
2 nx |
|
|
|
2; 0 |
||||||||||||||||
5.22. |
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;1 |
|
|||||||||
5.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||
n(n 2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
5) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6; 4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||
|
n 1 n2 1 |
|
||||||||||||||||||||||
n 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.25. |
x |
, |
|
[ 2; 2] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 3 |
||||||||||||||
5.26. sin |
|
|
|
|
(x 2) |
|
|
, |
||||||||||||||||
2 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(x 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.27. |
|
|
|
|
|
, [0; 2] |
|
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
2 (n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(x |
1)n |
2n |
|
|
|
|
1; 0 |
|
|||||||||||||
5.28. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
n 1 |
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(x 2)n |
|
|
|
3; 1 |
|||||||||||||||||
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
(n |
1) |
3 |
|
n |
|
2 |
|
|
||||||||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(x |
3) |
2n |
, |
2; 4 |
|
||||||||||||||||
5.30. |
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||||||||||||||||||
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n 1 |
n n 1 |
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159
elib.pstu.ru
Задание 6. Доказать равномерную на множестве А сходимость ряда.
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( 1) |
n 1 |
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( 1) |
n |
x |
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, |
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|
, |
|||
6.1. |
3 |
n x x |
6.10. |
(1 nx)(1 (n 1)x) |
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n 1 |
|
n 1 |
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||||||||
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A [0; ) |
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A [ ;12], 0 |
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x cos nx |
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, |
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4 n4 x4 |
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6.2. |
n 1 |
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|||||
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), 0 |
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A [ ; |
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|||||||||||||
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2 |
, |
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2 |
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sin nx |
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|||||
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6.3. |
n 1 |
n x2 |
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A [ ; 2 ], |
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(0; ) |
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cos nx |
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, |
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6.4. |
n 1 |
n n2 x2 |
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||||||
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), 0 |
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A [ ; |
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2 |
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|
2 |
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x cos nx , |
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||||||||
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6.5. |
n 1 |
n2 x2 n |
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||||||
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|
), 0 |
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|||||||
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A [ ; |
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||||||||||||
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2 |
|
2nx, |
|
|
2 |
|
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||||||
|
sin x cos |
|
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||||||||
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6.6. |
n 1 |
ln(n x ) |
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x R |
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n |
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( 1) |
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|
, |
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6.7. |
2 |
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n 1 |
nx |
n |
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||||
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A [0;1] |
|
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6.8. |
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( 1) |
n |
ln n |
, |
|
|
A [1;10] |
||||||||
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|
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|
n 1 |
n x |
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||
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|
|
( 1)n |
|
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6.9. |
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|
, |
|
n x ln(n |
2 |
x |
2 |
) |
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
A [0;10]
160
|
|
xsin nxn x , |
|
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|
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6.11. |
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|||
n 1 |
n 1 e |
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|||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
A [ 9; ] [ ; 9], |
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( 1)n 1 |
|
|
|
, |
|
|
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|||||||
6.12. |
n |
|
|
|
|
|
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||||||||||
n 1 |
|
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|
|
|
|
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|||||||
|
A [0;1] |
|
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|
|
|
), |
|
|||
|
( 1)n 1 arctg(nx2 |
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||||||||||||||||||
|
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6.13. |
n 1 |
|
|
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|
|
n x |
|
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|||||||||||
|
x R |
|
|
|
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|
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|
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|
( 1)n 1 1x , |
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|||||||||||
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|
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|
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6.14. |
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||
|
A [ ;10], |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
nx |
|
|
|
|
|||||||
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
, |
|
||||||||
6.15. |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n x2 |
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||||||||||||
|
A [0;12] |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||
|
|
( 1) |
n 1 |
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|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
6.16. |
|
n x x |
|
|
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||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
A [0; ] |
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|
|
|
|
|
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|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||
|
|
xsin nx |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||
6.17. |
n 1 4 |
n4 x4 |
|
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|
||||||
A [ ; ) |
|
|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
|
|
cos nx |
, |
|
|
|
|
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||||||
6.18. |
|
|
|
|
|
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||||||||
n 1 |
n x2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||
|
A [ ; 2 ], |
0 |
|
elib.pstu.ru