Динамика и прочность машин. Методы возмущений
.pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Пермский государственный технический университет
И.Э. Келлер
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН
Методы возмущений
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2008
УДК 517.94 К34
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук А.А. Роговой (Институт механики сплошных сред УрО РАН);
канд. физ.-мат. наук А.В. Зайцев (Пермский государственный технический университет)
Келлер, И.Э.
К34 Динамика и прочность машин. Методы возмущений: учеб. пособие / И.Э. Келлер. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 77 c.
ISBN 978-5-398-00079-5
Излагается метод многих масштабов асимптотического анализа, предназначенный для построения решений задач вблизи некоторого предельного состояния в виде равномерно сходящихся рядов. Содержащиеся в пособии примеры решения задач, относящихся к различным областям механики, способствуют быстрому практическому освоению этой важной области прикладной математики.
Адресовано студентам-механикам магистерской ступени обучения инженерных вузов и университетов.
УДК 517.94
Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образование» по программе Пермского государственного технического университета «Создание инновационной системы формирования профессиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»
ISBN 978-5-398-00079-5 |
© ГОУ ВПО «Пермский государственный |
|
технический университет», 2008 |
2
Кафедре «Динамика и прочность машин»
Пермского государственного
технического университета
к её 45-летию
3
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение ............................................................................................................. |
5 |
|
1. |
Задача с малым параметром при старшей производной............................ |
6 |
2. |
Слабовязкий осциллятор............................................................................. |
12 |
3. |
Слабонелинейный осциллятор ................................................................... |
18 |
4. |
Динамическая система с параметрическим возбуждением ................... |
23 |
5. |
Уединенная волна на поверхности воды.................................................. |
33 |
6. |
Групповой солитон на поверхности воды................................................. |
43 |
7. |
«Бегающие шейки» при растяжении сверхпластического образца........ |
48 |
8. |
Равновесие упругой среды с периодической структурой........................ |
64 |
9. |
Равновесие идеально-пластической среды |
|
|
с быстроосциллирующим пределом текучести ...................................... |
70 |
Библиографический список ........................................................................... |
74 |
|
Предметный указатель .................................................................................... |
76 |
4
ВВЕДЕНИЕ
Вразличных линейных и нелинейных задачах иногда возникает возможность значительного упрощения их постановки в окрестности некоторого предельного состояния. Для того чтобы строить вблизи этого состояния равномерно сходящиеся ряды, существуют специальные методы – методы возмущений. Данное небольшое учебное пособие, адресованное студентаммеханикам преимущественно магистерской ступени обучения инженерных вузов и университетов, предназначено для быстрого практического освоения этой важной области прикладной математики.
Впервых четырёх главах показано применение методов возмущений для решения простейших начальных или краевых задач на базе обыкновенных дифференциальных уравнений: рассмотрены осцилляторы со слабой вязкостью и слабой нелинейностью, системы с малыми параметрическими колебательными возмущениями и погранслоем. В остальной части учебного пособия рассматриваются процессы или состояния в сплошных средах (идеальной жидкости, нелинейно-вязкой, линейно-упругой и идеально-пластической средах). В главах 5 и 6 исследуются нелинейные задачи об уединенных волнах на свободной поверхности жидкости: солитоне Кортевега – де Фриза
игрупповом солитоне. В главе 7 исследуется нелинейная задача о растяжении «сверхпластической» полосы, имеющая солитоноподобные решения для эволюции свободной поверхности, являющиеся следствием баланса диссипативности и открытости данной системы. Глава 8 посвящена применению методов возмущений в задачах нахождения эффективных упругих свойств структурно-неоднородных сред. В главе 9 изучается структура поля напряжений в идеально-пластической среде с периодически изменяющимся по пространству пределом текучести.
Большинство глав содержат концептуальную и математическую постановки задач, процедуру выделения малых параметров, применение методов возмущений и получение аналитических решений. Из множества методов возмущений предпочтение отдано методу многих масштабов и одной его разновидности – редуктивной теории возмущений.
Задачи, рассмотренные в главах 1–4, заимствованы из учебника [1], в главе 5 – из монографии [9], в главе 6 – из монографии [10], в главе 8 – из монографии [14]. В главах 7 и 9 изложены результаты, полученные автором.
Пониманием многих относящихся к делу вопросов автор обязан профессорам Э.Л. Аэро (ИПМаш. РАН) и В.В. Киселёву (ИФМ УрО РАН), за что выражает им искреннюю благодарность.
5
1.ЗАДАЧА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Рассмотрим краевую задачу [1]
y (1 2 ) y (1 2 ) y 0 , |
(1.1) |
|
y(0) , |
y(1) , |
(1.2) |
где параметр 1, то есть мал. |
|
|
Сначала попытаемся найти прямое разложение решения в форме |
|
|
y(x) y0 (x) y1(x) ... |
(1.3) |
Подставим разложение (1.3) в уравнение (1.1) и граничные условия (1.2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y0 |
y1 |
...) (1 |
2 |
)( y0 |
y1 ...) |
(1 |
2 |
)( y0 |
y1 ...) 0 , |
|
|
||||||||
|
|
y0 (0) y1(0) ... , |
y0 (1) y1(1) ... . |
Приравнивая коэффициенты при линейно независимых степенях , получим:
0 : |
|
y0 0 |
|
|
y0 |
|
(1.4) |
||
|
y0 (0) , |
y0 (1) |
|
|
1 : |
|
|
|
|
y1 |
y1 y0 |
|
(1.5) |
|
|
y1(0) 0, |
y1(1) 0 |
|
и т.д. Общее решение уравнения для y0 имеет вид y0 Aexp( x)
и содержит одну произвольную постоянную. Это решение не может одновременно удовлетворять двум граничным условиям задачи (1.4). Если выбрать первое граничное условие, получим:
y0 exp( x) ,
а если второе, то
y0 exp(1 x) ;
и если только не равно e , задача (1.4) некорректна.
6
Таким образом, на первый взгляд разумная попытка искать решение задачи (1.1)–(1.2) в виде степенного ряда (1.3) по малому параметру этой задачи потерпела неудачу. Поэтому необходимо выяснить причины несостоятельности использования прямого разложения (1.3) и разработать методы, приводящие к успеху в решении подобных задач.
С этой целью попробуем сначала получить точное решение нашей задачи. Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде
y Aexp( x) .
Получаем уравнение для :
2 (1 2 ) 1 2 0 ,
эквивалентное уравнению
( 1 )( 1 ) 0 ,
корни которого
|
|
|
(1 ), |
1 1. |
|
|
|
||
|
Таким образом, общее решение (1.1) можно представить в виде |
|
|||||||
|
|
y Aexp( (1 )x) B exp( ( 1 1)x) . |
|
|
|
||||
|
Подставляя его в граничные условия (1.2), получаем уравнения для |
||||||||
определения A, B : |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A B , |
exp( (1 ))A exp( ( 1 1))B , |
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
exp( ( 1 1)) |
B |
exp( (1 )) |
|
||||
|
|
, |
|
. |
|
||||
|
exp( (1 )) exp( ( 1 1)) |
exp( (1 )) exp( ( 1 1)) |
|
||||||
|
Итак, точное решение нашей задачи имеет вид |
|
|
|
|||||
y |
( exp( ( 1 1)))exp( (1 )x) ( exp( (1 )) )exp( ( 1 1)x) |
. |
|||||||
|
|
exp( (1 )) exp( ( 1 1)) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
В этой формуле можно пренебречь слагаемыми с exp( ( 1 |
1)) , убыва- |
|||||||
ющими при 0 быстрее любой положительной степени , |
в результате |
||||||||
чего она существенно упростится: |
|
|
|
|
|
7
yexp((1 )(1 x)) ( exp(1 )) exp( ( 1 1)x)
O(exp( 1 )). (1.6)
Вид решения (1.6), соответствующий 0 и 1 при 0,01; 0,05 и 0,1, представлен на рис. 1.1. Уравнение (1.1) имеет малый параметр при старшей производной и описывает погранслой, в данном случае вблизи левой границы. Теперь разложим решение (1.6) в степенной ряд по . Для этого требуется знать порядок множителя x по сравнению с во втором слагаемом этого выражения. Для значений x , больших , второе слагаемое экспоненциально мало по сравнению с первым и имеет место выражение
y exp(1 x) (1 x)exp(1 x) ... |
(1.7) |
Легко убедиться, что это выражение удовлетворяет правому граничному |
|
условию y(1) и не удовлетворяет левому, имея значение |
y(0) e(1 ) . |
Таким образом, проблема заключается в том, что ряд (1.7) не обладает равномерной сходимостью для всех интересующих нас значений x [0;1] .
Рис. 1.1. Зависимость точного решения задачи от малого параметра
При разложении в ряд функции (1.6) фактически мы фиксировали x как параметр. С целью удержания в разложении второго слагаемого выражения (1.6) попытаемся зафиксировать входящий в него комплекс 1x . При этом будем иметь функцию
y exp((1 )(1 )) ( exp(1 ))exp( (1 ) ) . |
(1.8) |
8
Ее разложение имеет вид |
|
y e ( e)exp( ) [ e(1 ) |
|
( e ( e) ) exp(1 x)] ... |
(1.9) |
Возвращаясь к переменной x , получим: |
|
y e(1 x) ( e)(1 x) exp( 1x) e(1 exp(1 1x)) ... |
(1.10) |
Это выражение уже принимает на левом конце правильное значение y(0) , но на правом – неправильное y(1) e . Более того, разложение (1.10) правильно ведет себя и вблизи левой границы, описывая погранслой.
Можно сделать вывод, что равномерно пригодное для любых x разложение нельзя получить, используя лишь один определенный масштаб по x , то есть определенную комбинацию x и . Эта идея лежит в основе метода многих масштабов, предлагающего считать искомые функции в разложении (1.3) зависящими от нескольких независимых переменных: ..., 2 x, 1x, x, x, 2 x, ... , –
сжатых или растянутых в масштабе n , где n – целое число. Обозначаяn x n , запишем представление решения обыкновенного дифференциального уравнения в виде
y(x, 1, 2 ,...) y0 (x, 1, 2 ,...) y1(x, 1, 2 ,...) 2 y2 (x, 1, 2 ,...) ...
Как мы показали выше, для нашей задачи достаточно кроме x рассматривать растянутую координату 1x . В таком случае решение представля-
ется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x, ) y0 (x, ) y1(x, ) ... |
|
|
|
(1.11) |
|||||||
Производные по x в уравнении (1.1) следует заменить частными произ- |
|||||||||||||||
водными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
1 |
|
, |
d 2 |
|
2 |
2 1 |
2 |
2 |
2 |
. |
(1.12) |
|
dx |
x |
|
dx2 |
x2 |
x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (1.11) и (1.12) в уравнение (1.1), получаем:
( y0 ,xx 2 1 y0 ,x 2 y0 , y1,xx 2 y1,x 1 y2 , ...)
(1 2 )( y0 ,x 1 y0 , y1,x y1, ...) (1 2 )( y0 y1 ...) 0.
9
Собирая коэффициенты при линейно независимых степенях , начиная со старшей 1 , и приравнивая их нулю, получаем рекуррентную последовательность дифференциальных уравнений:
1 : |
y , |
|
y , |
|
0 |
; |
|
|
|
|
(1.13) |
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 : |
y , |
|
y , |
|
2 y , |
x |
y , |
x |
y ; |
(1.14) |
||||
|
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
||||||
1 : |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1.13) имеет общее решение |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 A(x) B(x)exp( ) . |
(15) |
||||
Функции A(x) и B(x) |
определяются из условий сходимости ряда (1.11) |
следующим образом. Подставим решение (1.15) в правую часть (1.14), в результате чего получим уравнение
y1, y1, 2B,x exp( ) A,x B,x exp( ) A B exp( ) ,
приводимое к виду
y1, y1, ( A,x A) (B,x B) exp( ) . |
(1.16) |
Рассмотрим внимательно уравнение (1.16). Это уравнение относительно у1 имеет левую часть, идентичную уравнению (1.13) относительно у0 . Правая часть (1.16) также имеет структуру решения (1.15) уравнения (1.13). Такое совпадение структуры общего решения дифференциального уравнения и его правой части вызывает появление в частном решении вековых членов (в теории колебаний это называется резонансом). Действительно, частное решение (1.16) имеет вид
yˆ1 (A,x A) (B,x B) exp( ) . |
(1.17) |
Для нашей процедуры появление вековых членов ведет к расходимости ряда (1.11). Действительно, вспоминая, что 1x , мы получаем:
y A(x) B(x)exp( ) x(C(x) D(x)exp( )) ,
то есть второй член ряда (как и все последующие) становится того же порядка, что и первый. В методе многих масштабов имеется свобода распорядиться произволом определения функций A(x) и B(x) таким образом, чтобы устранить резонанс в уравнении (1.16). Мы добьемся этого, полагая
10