момент сближения тел показан на рис. 23, б. Общий случай колебаний с двумя модами приведен на рис. 24.

Аналогичные выводы и соображения симметрии для случая поперечных колебаний дают две моды, вид которых представлен на рис. 25. В первой моде тела смещаются в одинаковом направлении, а во второй - в противоположных направлениях.

Заметим, что если снять ограничения со второго и третьего примеров (см. рис. 22), то мы придем к системе с четырьмя степенями свободы. В этом случае общее решение будет являться суперпозицией четырех рассмотренных мод (две моды для продольных колебаний и две моды для поперечных колебаний). Вклад каждой моды определяется соответствующими начальными условиями.

3.9. Сложение колебаний

Тема сложения колебаний является очень важной для понимания таких явлений, как, например, интерференция и биения. Различают сложение колебаний, происходящих в одном направлении, и сложение колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.

Рассмотрим вначале случай сложения колебаний, происходящих в одном направлении. В этом случае при постановке задачи требуется узнать результат сложения

x(t) =х! (/) + *2(0 = Aj sin(co/ + ср,) + Л2sin(co2r+ cp2).

(3.106)

В случае различных частот можно лишь сказать, что величина результирующего колебания не будет выходить за пределы суммы модулей

(х (о < и ,|+ К |).

Четкие результаты получаются для случая совпадающих частот oOj = со2 = со. Именно этот случай мы и будем рассматривать вначале. Очевидно, что результирующее колебание будет иметь ту же частоту:

*(/) = Asin(co/ + ср).

(3.107)

Амплитуда результирующего колебания и его начальная фаза определяются из (3.106) с применением известных со школы формул тригонометрии.

Покажем простой способ нахождения параметров (3.107) с помощью векторной диаграммы. В векторной диаграмме (рис. 26) колебания изображаются проекцией вектора (его длина равна амплитуде) на одну из осей прямоугольной системы координат при вращении вектора против часовой стрелки с частотой со. Для сложения двух колебаний достаточно изобразить их в этой диаграмме двумя соответствующими векторами в начальный момент времени. После этого нужно выполнить сложение этих векторов графически по

правилу параллелограмма или аналитически, складывая соот­ ветствующие компоненты век­ торов. Результирующий век­ тор будет также вращаться против часовой стрелки с той же частотой. Взаимное по­ ложение трех этих векторов при изменении времени меня­ ться не будет.

При аналитическом сло­ жении имеем

Рис. 26. Результат сложения колебаний при различных значениях разности фаз

А =у[(Ахcos(cp,) + А2cos(<p2))2 + (/4, sin(cp1) -h А2sin(cp2))2 =

= у]А? + А\ + 2,41'42COS((P2 - <Pi) •

(3.108)

Как видно, результат сложения существенно зависит от разности фаз Дф = ф2 —cpj. При нулевой разности фаз (или в общем случае кратной 2я) амплитуда результирующего колебания максимальна (рис. 27, а):

max А = Aj + А2.

(3.109)

При разности фаз, равной к / 2, амплитуда (рис. 27, б)

A =4 A ^ + 4

(злю)

Амплитуда результирующего колебания минимальна при разности фаз, равной л (рис. 27, в),

min а =\а , - а2|.

(3.111)

С		х
а	б	в
	Рис. 27. Сложение колебаний при различной разности фаз:
	а - Аср = 0; б -	Аср = тс/2; в - Дер = %

Говорят, что при нулевой разности фаз колебания складываются в фазе, а при разности фаз Д<р = 7Г+ 2тш (п - целое) - в противофазе. При равных амплитудах и фазах амплитуда результирующего колебания удваивается. При сложении колебаний с равными амплитудами в противофазе амплитуда результирующего колебания равна нулю.

Очень интересный случай соответствует сложению колебаний с близкими частотами, когда

		Асо = (со2 — со,) «		со,.	(3.112)
При выполнении неравенства (3.112) возникают так называемые биения.
Для	определенности будем		считать,	что	выполняется неравенство
Асо>0	(со2>со,).	В этом случае кроме начальной разности фаз появляется
дополнительная		разница фаз,	равная Асо/. И так как величина разности фаз

мала, за время г0, при котором дополнительная разница фаз будет равна 2к, совершится около со, / Асо колебаний с частотой ю,. Это означает, что результирующая амплитуда колебаний будет меняться на рассматриваемом

интервале от минимальной (3.109) до максимальной	(3.111). Характер
колебаний с биением приведен на рис. 28 для случая А]=	= 1, со, / Асо «10.

Перейдем к рассмотрению сложения колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, но с одинаковыми частотами:

JC= sin(C0/ -I- Ф,), у ^ зБ П ^ С Щ + фг).

(3.113)

Для получения траектории в плоскости хОу следует вначале записать уравнения в виде

Рис. 28. Биения

у

— = sin(coOcos(cp2) + cos(co/)sin(<P2)*

л

После этого нужно выразить из этих уравнений sin(co/) и cos(coO, а затем

воспользоваться тождеством sin2(со/) + cos2(со/) = 1. В результате получается уравнение траектории

(*/Л)2 + (У/ Л )2 - - 7 7 -COS(4>2 -tp,) = sin2(<p2 -q>,).	(3.114)
A\ \

В общем случае это эллипс (рис. 29, а). Форма эллипса в плоскости хОу определяется амплитудами и разностью фаз. При нулевой разнице фаз эллипс

Рис. 29. Результаты сложения колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях

вырождается в отрезок прямой (рис. 29, б). При разнице фаз, равной					п /2, и
равных амплитудах эллипс превращается в окружность (рис. 29, в).
Замкнутые траектории в плоскости JCOу			получаются также		и при
циклических	частотах:	со, =«,00, со2= /72со	(«,, п2-	целые	числа).

Соответствующие фигуры легко наблюдать на экране осциллографа, если на