Деформирование и разрушение композитов

АКАДЕМИЯ НАУК СССР	УРАЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ДЕФОРМИРОВАНИЕ’ И РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ		1985

Л. И. МИРОНОВИЧ

ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ В МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТАХ

Рассмотрим задачу	о	вычислении структурных деформаций
и численном описании	моментных функций их случайных полей
для класса композитов		с	абсолютно	жестким наполнителем
и низкомодульной матрицей.			данного	класса композитов как
Стохастическая структура

сред с четко выраженной границей раздела компонентов может

быть	описана с помощью индикаторных		случайных функций:
	Я (г)= 1, г<E L«;	Я (г)= 0,	г £ L H;
где	L" — множество точек среды, принадлежащих наполнителю.
Вероятностная мера для случайного поля			Я (г) задается с помо­
щью многоточечного закона распределения
	/ (Я) (г1ж г2,	г„)

или совокупностью моментных функций (МФ) произвольного порядка п:

< А.(г) ) ; о К[п) (г,. г2,	r„) = ( I (г,). . .	Я (г„) ) ;
°Я= Я — <Я>;	п —2, 3,	(1)

( . . . ) — знак математического ожидания.

Закон МФ индикаторной функции Я (г) можно построить на моделях структуры композита, син­ тезированной с помощью ЭВМ. МФ второго порядка композитов с ча­ стицами наполнителя сферической формы имеют острые максимумы и быстро убывают с увеличением расстояния между точками (рис. 1).

Рис. 1. Корреляционная функция распреде­ ления элементов структуры.

11

Рис. 2. Моментные функции структурных	деформаций для (7) — а, (8) — б,
(9)- в .	‘

Из решения стохастически нелинейной краевой задачи теории

упругости	(2)
V ? = 0; s = defx; § = ©••*
получаем пульсации структурных деформаций в виде1
°в(г) = Ф (ё)..*(г),	(3)

где Ф —функционал, зависящий от физических свойств среды; е — средние деформации.

Перемножая уравнение (3), взятое относительно двух произ­ вольных точек трехмерного пространства, и применяя оператор

математического ожидания, находим МФ					второго порядка струк­
турных деформаций
где		Limn (г1 ,	r2W ^ V a p (г,) е1Ь(г2),			(4)
		L { r lt	г2)=	<»(г1)е(г2)> ,		(5)
		F(rv	г 2) (	ф(гОф (га)> .		(6)
Аналогично можно вычислить МФ высших						порядков струк­
турных деформаций.			модель структуры в виде матрицы ко­
Имея	математическую
ординат	центров	сферических		частиц и	размера их диаметра,
можно построить		законы	изменения МФ		структурных деформа­

1 С о к о л к и н Ю. В., М и р о н о в и ч Л. И. О методе расчета структур­ ных напряжений в эластомерных композитах.— В сб.: Краевые задачи теории упругости и вязкоупругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с. 3—19.

12

ций. Для их вычисления использовали модель плотной случай­ ной структуры из 1000 сфер. Ниже приводятся примеры числен­

ного	расчета		на	ЭВМ по	уравнению (4) МФ второго порядка.
Расчет		проводили		с помощью сетки трехмерного пространства,
взятой		на модели		структуры композита (с шагом 0,01;					0,1 диа­
метра		сферы).
Случай одноосного деформированного состояния: еп=^0; осталь­
ные компоненты средних деформаций равны нулю.
Формула (4) преобразуется к виду
				г	W/12		2	1*	**7\
				L-iim n	/лп11				(')
На	рис. 2а		представлен график			моментных функций структур­

ных деформаций для числовых значений £=0,01 и коэффициента Пуассона матрицы Vм = 0,45.

Случай гидростатического сжатия:
вц = £22 = £3д =	в.
Момент структурных деформаций тогда равен
L i im i = Fm лррб2.		(8)
Случай чистого сдвига: е12=0,01;	остальные компоненты мак­
родеформаций равны нулю:
Ц}тп=Р1тп\2 б12-		(9)

Аналогичным образом можно вычислить МФ структурных деформаций для любого напряженного состояния. Численное построение МФ показало, что они локальны. Это подтверждает существование ближнего порядка в расположении и взаимодейст­ вии структурных неоднородностей в композитах рассматриваемого класса.

АКАДЕМИЯ НАУК СССР	УРАЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ		1985

О. К. ГАРИШИН

ОПТИМИЗАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ДВУХФРАКЦИОННЫХ УПАКОВОК и з ЧАСТИЦ к р у г л о й ФОРМЫ

В настоящее время широко распространены в промышлен­ ности материалы, являющиеся сложными композициями изболее простых компонентов с различными механическими ха­ рактеристиками. Например, композиты, состоящие из мягкой полимерной матрицы, заполненной твердыми включениями круглой формы. К подобным материалам предъявляются обыч­ но требования повышенной прочности и эластичности при значительном содержании твердой фазы в структуре.

Механические свойства таких композитов зависят не толь­ ко от свойств компонентов, но и от особенностей внутренней структуры материала. Особенно сильно это проявляется в высоконаполненных системах, когда частицы твердой фазы близ­ ки друг к другу и необходимо учитывать эффекты их взаимо­ действия.

Теоретические методы исследования морфологии подобных материалов не получили достаточного развития вследствие больших математических затруднений, связанных со стохасти­ ческим характером образования структур. Применение экспе­ риментальных методов в этом направлении также ограничено их высокой трудоемкостью и значительными материальными за­ тратами.

В силу этих причин весьма перспективным представляется метод математического моделирования структур на ЭВМ и их последующего изучения.

Автором настоящей работы был предложен и реализован на языке «Фортран» алгоритм синтеза полифракционных слу­ чайных упаковок из частиц круглой формы как плотных, так и разреженных, а также разработан комплекс программ по опре­ делению их структурных характеристик. Идея синтеза основа­ на на предположении Мейсона [5] о возможности генерации таких структур путем имитации действия «радиального грави­ тационного поля» на синтезируемые частицы.

В результате работы программы получается кластер при­ мерно шарообразной формы, причем на формировании струк-

14

Рис. 3.	Зависимость	от ср и Хк для случаев	плоской (а, б)	и объемной
	(в) двухфракционных структур <р: а — 5; б, в — 3.
2.	Возмущающее действие от частицы затухает на расстоя­
нии порядка ее диаметра.			только те	частицы,
В	связи с этим	«соседними» считали

расстояние между которыми не превышало диаметра частиц мелкой фракции и область зазора не перекрывалась какойлибо другой частицей. Под относительным зазором б понимали отношение абсолютного значения зазора между соседними ча­ стицами к радиусу сфер мелкой фракции (если хотя бы одна из частиц мелкая) или к радиусу сфер крупной фракции (если обе рассматриваемые частицы крупные).

Для синтезируемой структуры задавались следующие ис­ ходные параметры: Р — общее количество частиц; я|)=гк/гм — отношение радиусов частиц крупной и мелкой фракций соот­ ветственно; Хк — объемная доля крупных частиц в общем объ­ еме твердой фазы; ср — плотность (степень наполнения) струк­ туры, т. е. отношение объема твердой фазы к общему объему, занимаемому системой.

На рис. 1 представлен фрагмент полученной плотной упа­ ковки из плоских шайб.

У синтезированной структуры для каждой из частиц опре­ деляли ее «ближайших соседей» и вычисляли относительные зазоры между ними. С учетом полученной информации строили

функции плотности распределения относительных зазоров f (б) и определяли математическое ожидание и дисперсию этих рас­ пределений. На рис. 2 представлены кривые плотностей рас­ пределения относительных зазоров для плоского случая.

В объемном варианте кривые f (б) имеют аналогичный вид.

16

Из анализа этих распределений следует, что функции f (6), соответствующие достаточно плотным структурам, имеют довольно сильно выраженный пик, положение которого хорошо согласуется с математическим ожиданием . Таким образом, оптимальными (по количеству областей концентрации микронапряжений) можно считать те структуры, у которых М6 будет максимально при одних и тех же значениях ср и яр.

На рис. 3 приведены графики зависимостей М& от ср и Х к

при заданных ф, где М*6— нормированное математическое ожи­ дание, равное отношению M Q к математическому ожиданию одно­ фракционной структуры, имеющей ту же плотность. Максималь­

ные значения		Ml	лежат		в интервале		Хк = 0,7 — 0,9			как для
плоского,	так и для объемного случаев,							и их	положение слабо
зависит	от плотности			структуры.		Кроме		того,	можно	сделать
вывод, что чем		больше		различие в размерах фракций, тем ярче
выражены пики		на графиках.
Таким образом, первые результаты исследований морфологии
высоконаполненных систем					показали, что данный подход к про­
блеме весьма перспективен					и требует дальнейшего развития.
				Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Е в л а м п и е в а			С.	Е., С в и с т к о в		А.	Л.,	М о ш е в В. В. Взаимо­

действие жестких дисков и сфер различных размеров в упругих матрицах.— В кн.: Структурная механика неоднородных сред. Свердловск: УНЦ АН

СССР,

1982, с. 47—50.

нагруже­

2. С в и с т к о в

А. Л. Итерационный метод решения задачи о

нии бесконечного пространства, содержащего сферические

включения.— Там

же, с. 51—55.

R.,

B r o s i l o v

С.

Void

fraction

distribution in beds of

3.

B e n e n a t i

spheres.— A. I. Ch. J.,

1962,

v. 8, N 3,

p. 359—361.

packing

of

spheres.—

4.

J o d r e y

W.,

T o r y

E.

Simulation of

random

Simulation, January,

1979,

p. 1—12.

Faradey

Society,

1967,

N

48,

p. 75—76.

5.

M a s o n

G.

In: Discussion of

6.

M a s o n

G. Radial

distribution

functions from small

packings of

sphe­

res.— Nature, 1968, v. 217,

p. 733—735.

packing

of

equal

7.

S c o t t

G.

Radial

distribution of the random close

spheres.— Nature,

1962,

v.

194,

p. 956—958.

АКАДЕМИЯ НАУК СССР	УРАЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ	ЦЕНТР
ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТОВ		1985

А. Л. СВИСТКОВ

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В СМЕСИ ДЕФОРМИРУЕМОГО И жидкого КОНТИНУУМОВ

В современной промышленности широко применяются ком­ позиционные материалы, связующее которых образовано дву­ мя компонентами — полимерной сеткой и пластификатором (растворителем). Поэтому многие процессы в связующем (на­ пример, диффузия пластификатора и вызванное последней из­ менение полей напряжений у частиц наполнителя) можно опи­ сать, только рассматривая его как смесь двух континуумов: деформируемой матрицы и растворителя. Исследование полей напряжений в положении равновесия у частиц наполнителя в композиционном материале представляет интерес для оценки его прочностных и эффективных характеристик. Преодоление возникающих при этом математических трудностей в некото­ рых случаях — задача не более сложная, чем анализ полей напряжений в упругом материале. Один такой класс смесей деформируемого и жидкого континуумов рассматривается ниже.

Сплошная среда является смесью деформируемой матрицы (континуум Ах) и растворителя (континуум А2). Для записи урав­

нений используем		прямоугольную				декартову систему координат.
Между координатами точек				деформируемой				матрицы Xlt Х2, Х3
в текущий момент		времени		t и	координатами				этих точек xlt х2,
х3 в начальный момент времени t0 можно								установить взаимно
однозначное непрерывное отображение
		Xj = X{(/,			Xj,	х2,	х3),		(1)
		хl	Xi(t,		Xj,	X2,	X3)
(i = l, 2, 3).	Аналогичное		утверждение				справедливо и для коор­
динат точек	растворителя			Y u	У2, Y3 в текущий момент времени
и координат	этих точек ylt			у2, у3 в начальный					момент времени:

=У1 . Уа. Уз).

уг=у,(Л Ylt Y 2, Yз).

18

Естественно, что точки континуумов Ах и А2, находящиеся в од­ ном и том же месте в пространстве, имеют одинаковые коорди­ наты. Для них справедливо тождество

Xi = Y t.

Все процессы, происходящие в смеси, можно описать, рас­ сматривая произвольно выделенный объем, движение точек ко­ торого задается уравнениями (1). Указанный объем как бы «вморожен» в матрицу, деформируется вместе с ней. При этом все уравнения записываются в координатах х\, х2, х$ (отсчетная конфигурация, связанная с деформируемой матрицей). С другой стороны, можно исследовать произвольно выделенный объем,, фиксированный в пространстве, и описать процессы относитель­ но этого объема в координатах Xi, Х2, X3 (в актуальной конфи­ гурации). Ниже будут использоваться обе точки зрения. Запись P-Q обозначает свертку тензоров Р и Q, Q-1 — обратный тен­ зор к тензору Q, а выражение QT— операцию транспонирова­ ния тензора Q. В уравнениях используются операторы градиен­ та в актуальной и отсчетной конфигурациях, связанных с де­ формируемой матрицей, имеющие вид

			dXi	dxi
где et — базисные		векторы прямоугольной декартовой системы
координат	(i = l, 2,	3).
Пусть	в материале отсутствуют химические реакции, источники
энергии и на нею		не	действуют	внешние массовые силы. Урав­
нения, описывающие			процессы	в смеси деформируемого и жид­

кого континуумов в актуальной конфигурации, подробно рассмот­

рены в	работах [1—3], где, в частности,	показано, что в поло­
жении	равновесия должны удовлетворяться	уравнения
	V-erj— т = 0,	(2>
	V-<y2+'c = 0,	(3)

где — равновесная составляющая тензора напряжений континуума А{; т — равновесная составляющая диффузионной силы, действующей со стороны одного континуума на другой.

Для материалов, у которых плотность свободной энергии f (отнесенная к единице массы) является функцией только перемен­ ных р2, Т, /j, / 2, /3

/=	/(р 2,	Т, Л, / 2, / 3)
(р2 — масса континуума	А2,	приходящаяся на единицу объема
в актуальной конфигурации;		Т — температура смеси;/* = / г({?) —

2*

19

инварианты	тензора деформации		Коши — Грина	G = V /?'V /?T*>
i? = X £ef), справедливы равенства			[1]
	°i=(pi+p2)v /J T—			(4)
			dvR
	*2=—Р2 (Pl+ P2) ^ £ ,			(5)
			др2
	P i^ V p 2- p 2VV/?T- - - ^ -			(6)
	др2		д\7Д
(PJ — масса	континуума А],	приходящаяся на		единицу объема
в актуальной конфигурации;		Е — единичный тензор).
Пусть в. положении равновесия температура смеси во всех ее
точках постоянна:		Т = const.		(7)

Уравнение (3) после подстановки в него значений <з2 и т из

равенств (5) и (6) и использования (7) преобразуется	к виду [3]
/-[(P i+ P 2)/] = const,	(8)
др2

что означает требование равенства во всех точках смеси хими­ ческого потенциала растворителя:

ц = дЛ/о^ - [ ( р1 + р *)/]

(р2= т 2У2; т 2— масса одного моля растворителя; W2 — количество молей растворителя, приходящееся на единицу объема в актуаль­ ной конфигурации). Сложим (2) и (3) и подставим в полученное уравнение значения <JX и т2 из (4) и (5):

V (Pl+p2)V * T- ^ ----- p2(Pi+p2) ^ Е = 0.		(9)
dVtf	дрз

Перемещения точек/ матрицы и распределение				в ней растворителя
в положении	равновесия		определяются как	решение уравнений
(8) и (9).	(8)	и (9) в	отсчетной конфигурации,		связанной
Запишем
с деформируемой		матрицей. Переход от плотностей рх			и р2 кон­

тинуумов Aj и А2 в актуальной конфигурации к плотностям

континуумов pi и рг в отсчетной конфигурации	осуществляется
с помощью равенств
р° = р*1Л/э(; = 1, 2).	( 10)

20