Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

4.Производится минимизация энергетического функционала путем дифференцирования выражения функционала по неиз­ вестным коэффициентам пробной функции и приравнивания полученного выражения к нулю. В результате для каждого ко­ нечного элемента получается система алгебраических уравне­ ний относительно неизвестных коэффициентов аппроксимации.

5.При решении системы алгебраических уравнений для всех элементов исследуемой области рассчитываются коэффициенты аппроксимирующей функции и значения искомой функции для всех конечных элементов исследуемой области.

Рассмотрим эти вопросы более подробно.

Положим, что векторный потенциал конечного элемента яв­ ляется линейной функцией пространственных координат и опи­ сывается следующей зависимостью:

А = а, + а 2х + а3у ,

(6.52)

коэффициенты которой являются функциями координат вершин (узлов) конечного элемента. Поскольку эта зависимость спра­ ведлива для всех точек, принадлежащих данному элементу, она может быть записана и для узлов этого элемента /, т, п:

А, =а, + а2х, + а2у ,;	(6.53)
Ат=Щ+а2хт+а3уп ;	(6.54)
Л = а , + а 2хл+азуп.	(6.55)

Полученная система позволяет выразить неизвестные коэф­ фициенты через значения векторного потенциала в узлах. Для этого необходимо решить ее относительно коэффициентов си, С12, а 3:

(6.56)

где определители записываются в виде

1	Х1	У1
д = 1	Хт	Ут = (ХтУп ~ ХпУт)+fa:У/ ~ Х1Уп)+
1	Хп	Уп
		+ ( ^ т - ^ / ) = 2^ -	(6.57)

В этом выражении 5^ - площадь треугольника, которая все-

гда отлична от нуля. В ет место.

	А1	Х1•	У1
л» =	Ат	Хт	Ут = М хтУм-х*Ут)+Ат(х*У1 ~ Х/Уп)+
	А	Хп	Уп
				+ Ап(Х1Ут~ ХтУ1)>	(6-58)
1	.4	У/
д2= 1	,А	Ут = Ai(ymМ ;		- у « ) + АтЬ>п ~У/)+An(yi -.у » );(6.59)
1	.4	Уп
1	Х1	А,
д3= 1	Хт	Ат =Al(XnМ		~ Хт)+Ат(Х1~ Хп)+Ап{Хт~ ^	• (6.60)
1	Хп	Ап

Обозначим коэффициенты при векторных потенциалах в вы­ ражениях (6.58), (6.59), (6.60):

а1= ХтУп - ХпУт; °т = ХпУ\ ~ ЪУп i °п = Х{Ут ~ хтУ/i			(6-61)
bt =ym- y „ ;	Ьт=уп - у ,;	Ь „ = у , - у п ;	(6.62)
с1 =хп ~ хт;		сп =хт- х , .	(6.63)

Подставив эти выражения в соответствующие определители, решим систему (6.56):

а , = '( [ M i + Атат+ А„а„]); 25тр

25тр'( M l + Ат Ьт + АпЬп)’	(6.64)

а з = 25тр ( M l +AmCn,+M n)-

Тогда выражение векторного потенциала (6.52) в функции пространственных координат записывается в виде

А = 25.	+ Ат ат + Апап+ (M l + 4 А	+ М „ )х +
тр
	+ (M l + AmCm+AnCn)y\-	(6.65)

Рассмотрим далее энергетический функционал, соответст­ вующий уравнению магнитного поля - уравнению Пуассона в прямоугольной области -

	д2А д2А	(6	.66)
	дх2 + ду2 = - М ст

при нулевых граничных условиях.

Магнитная индукция в исследуемой области может быть вы­ ражена через векторный потенциал:

В = rot А ,
где
В, = дА	В	= - * .	(6.67)
ду	у	дх
Подставляя полученные выражения в (6.51), будем иметь
(д А \	дА	+AJ,. dxdу .	(6.68)
F= Я' 2р кдхj
	РУ.

Для нахождения минимума функционала необходимо при­ равнять к нулю его производные по значениям векторного по­ тенциала в узлах конечного элемента.

Рассмотрим отдельные составляющие этого выражения. Из выражения (6.67) следует

дА

1

(A,b, + АтЬт+ АпЬп)\

(6.69)

дх

2ST„

дА

(А 1С1 + А

Ст + А Сп)-

(6.70)

дх

25

тр

Тогда

д

' д А ?

- ,\

дА'

= 2

дА

+4A)fy;(6-7i)

дА,

дА,

- т ^ г^ А Ь +А К

\ d x j

\д х )

45

Ф

- ,\

= 2

дА

4 г \

| Ч “ т т г Й * ,+ 4 А

+ А,ь,)ь. ;(6.72)

д А

\ d x j

кд х ;

дАп \удх)

452

тр

д

^

2

ГдАЛ

'ал' = -±S-(Ah+AJ>M+ AJ>,)bn\{6.73)

=

2

дА

\ дх;

\ дх; дА \ S X J

45,

тр

д_

дАЛ

a 4 ) _ L

(4 С/ + Длет + Л ея)С/ ;(6-74)

= 2'&4Л

дА,

J

\ду

дА, \ду у

45■ф

д А

' а л \

дА

дАл =- тг(4е/+Аст+4,ел)ет;(6-75)

КдУ;

д А \ду j

45ТР

э

^

2

а£

гал>

= - т г ( 4 е/ + 4 л ,

+ Д.ел)ел '(6-76)

а*,

дА к.ду

45тр

Поскольку записанные производные не зависят от простран­ ственных координат, то они могут быть вынесены за знак инте­ грала. В результате получим

— —	я	dxdy =
2ц дА,	JJ
	•Этр
1 [(А,Ь, + АтЬт+ А Р , )Ъ, + {А'С, + Атст+ А„с„)с, ]; {в.11)
4М ^

			dxdу =	1	[(АА +АРт+АРп)К +
				4НЯТР
		+ (А1<:1+А<:т+ АСп)СтЪ				(6.78)
1 д	\ 2	/ \ 2
	дА ' +	( дА \	<Ыу=x V К М +4 А + 4 А К +
2ц дАп Я	дх	ду,	4	^
		+ (AlCl+AmCm+AC„)Cnl				(6.79)
Если принять, что в каждом элементе плотность стороннего
тока является постоянной величиной, то
	дА,				дА
		дА дАа			07 д А ’
						т
		д	( ^ А)=А		дА	(6.80)
		дА,			дА,.

Тогда

J p ^ d x d y = Jcr ЯAdxdy =

* P

=Лт T7 -	Я к + V	+ с/^ ) ^ 4 у;	(6.81)
	S TP
77- ЯЛтЛ<1*Ф> = JCTJJildxdj; =
STP		STP
= Лг ~ ~	\farn +	+ cmxM*dy;	(6.82)
	S^
77" ЯУсг^ЛсФ' = Лг Я ^ Ф =
d A ” STP
= Лг 7 7 -	Я к + 6я* + c„y)dxdy.		(6.83)
Z i > J P	S TP

В записанных выражениях функции под знаком интеграла зшнивдпг от пространственных координат. Поэтому вычисление ишшгрши необходимо производить по площади треугольника. ШЬашшшш для простоты вычислений, что рассматривается пряшщгашьный треугольник с вершинами /, т, п.

Рассмотрим вычисление интеграла в выражении (6.83). В давшим случае координата х изменяется в пределах х, <х <х т.

И® координате у рассматриваемый треугольник ограничен пря- m m y —yi снизу и прямой у - у х +к(х - х, ) сверху. Поэтому

*т У1+Цх-*1)

lRa, +b„x + cny)dxdy Jdx= \{an+bnx +cny)dy. (6.84) xl xl

Возьмем интеграл

у, + * (* -* ,)

J k + ^ + O d y .

(6.85)

уI

а п = Х!Ут - ХтУ1 = Х1Ут ~ ХтУ1 + Ч У / ~ х № =

= Х1(Ут ~yi) + y,(xi ~ xm) = xi •O + J',{-hx) = -y,hx ;

ЬП=У,-УЯ =0; cn=xm- x t = hx-, к =2 * - ^ - = - ± .

		х „ ~ х ,
Тогда
У!+к(х-х,)	У,+к(х-х,)
j(a„ + b„x+ с„)dy =	\hx (у - y,)dy =
УI	Уi
У 1 + к ( х - х { )
- h b = &	=h	k2(x~xiY
	x	2

У!

_ K k2hl

XI

(6.86)

(6.87)

(6.88)

(6.89)

Подставляя в полученный результат к согласно (6.87) и учи­ тывая, что площадь прямоугольного треугольника

51Р=^*Л »

в окончательном виде будем иметь

а \\J„Adxdy =		1		с	Т	(6.90)
			К hlh3•J г~ -
			X п у п х г	_ ° т р ^ с т
адт Sтр			2 ~ст
	2	тр6	hi
			w rtX

Остальные интегралы (6.81) и (6.82) вычисляются аналогич­ но и имеют те же значения.

Таким образом, минимум функционала (6.68) может быть за­ писан в виде следующей системы уравнений:

1	b t +С 1		b l bm	Cl Cm	b lb n + ClCn	Ai	1
	b l bm	Cl Cm	bm + C2m		ЬтЬп4" ^m^n X Am		Vт р cCTr 1	.(6.91)
4							3
	b l b n +	ClCm	Ьт Ьп	Cm Cn	b „2 + c l	A „	1

Эта система уравнений записывается для всех элементов ис­ следуемой области, а ее решение с учетом известных значений

векторнеге потенциала на границе области позволяет рассчитать некомые значения векторного потенциала во всех узлах иссле­ дуемой области.

Система алгебраических уравнений (6.91) характеризует поъшлентнов объединение, процедура которого сводится к вы­ числению матриц для каждого элемента.

Помимо поэлементного объединения возможно объединение т уш т , когда уравнение записывается для каждого узла иссле­ дуемой области. Система алгебраических уравнений в этом слу­ чае может быть получена исходя из следующих соображений.

Каждое из уравнений системы (6.91) получено путем мини­ мизации энергетического функционала (6.68). При этом для по­ лучения минимума производится дифференцирование функцио­ нала по значениям векторного потенциала в узлах треугольника, и полученные производные приравниваются к нулю. В иссле­ дуемой области каждый узел может принадлежать одновремен­ но нескольким элементам. Система алгебраических уравнений, записанная для каждого элемента этой группы, будет содержать, естественно, производные по значению векторного потенциала рассматриваемого узла. В этом случае можно, просуммировав уравнения рассматриваемого узла для всех элементов, вклю­ чающих в себя данный узел, получить для него уравнение, кото­ рое содержит значения векторного потенциала в соседних узлах.

Для примера рассмотрим простейшую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области с нулевыми грашичыымн условиями. Разобьем рассматриваемую область на прямоугольные ячейки со сторонами величиной hx,hy и верши­

вший. совпадающими с узлами сетки. Каждую ячейку области ршздшнм диагональю на два прямоугольных треугольника с ка­ пелями, равными hx и hy. В результате область оказывается

разбитой на конечное число прямоугольных треугольников -

т ш т т х элементов.

РЪвоймотрим узел 1 этой области, являющийся вершиной элешеишрммхтреугольников, обозначенных цифрами 1-2-3-4-5-6.

®йюг@риый потенциал для вершин каждого из прямоугольrttttfcи р е у тгш ьи и ко в описывается системой уравнений (6.91). Для

ут&И m tem

dF		6 { dF_Л	, (6.92)
дЛi	J	= z
		1=1

где i - номер треугольника с верши­ ной в узле 1; F - функционал, опре­ деляемый выражением (6.68).

Производная по А\ в каждом элементе соответствует первой строке системы (6.91). Определим

f dF^

<dAi J, для первого треугольника

Рис. 6.2. К выводу уравне­ ния векторного потенциала в узле 1

(рис. 6.2). Обозначим его вершины, принимая во внимание, что обход производится против часовой стрелки: / = 1;/и = 3;л = 2. Тогда в соответствии с (6.62), (6.63)

bi=y3 - y 2 =fy bm=y2 - y l =-hy;	b„=yl - y 3 =hy;	(6.93)
ci =x2 - x 3 =hx; c„ = x , - * 2 =0;	c„=x3 - x l =-hx.	(6.94)

Приведем уравнения системы (6.91) к общему знаменателю и определим правые части уравнений:

= (6.95)

Первое из этих уравнений

+ (Ь,Ь„ + с,с„)A2=\I ^ - hi h2y ■

(6.96)

Подставляя в это уравнение значения bl,bm,bn,cl,cm,cn и

выполняя преобразования, получим

aF \	J.ст , 2 , 2	(6.97)
	= h2xAi -h iA 2=\i::r Lhih

dAj Л

Аналогичные операции проделаем для всех треугольников с вершиной в узле 1. Полученные данные сведем в табл. 6.1.

Таблица 6.1 Коэффициенты конечных элементов для узла 1

Номер	/	т	/7		Ья	Ъп	Cl	Cm	c„
треугольника
						hy		0	-K
1	1	3	2	0	- Н у		hx
2	1	4	3	К	- Н у	0	0	hx -hx
3	1	5	4	К	0	- Н у	-hx hx		0
4	1	6	5	0	К -*г -hx			0	hx
5	1	7	6	- К	К	0	0	-hx hx
6	1	2	7	—Н у	0	hy	hx	-hx	0

В результате получим для всех элементов следующие урав­ нения:

	— 1			= ^ ~ h l h ] ,		(6.98)
	v ^ i A
| ^	j - { t i +кЦЛ,- £ Л , - t >				4	, (6.99)
	—	I	=*;•<■	= i		(6.100)
	4^. A			3
	—	I		— F-		(6.101)
				3
	. f e +	^	k - r i A	- 4 4 ,		(6.102)
W	Л

Суммируя леаые и прюые часто это* уравяеянй, подучим

m