Планирование эксперимента в химической технологии
..pdfФакторы
Наименование
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
Нулевой |
уровень |
|
600 |
|
55 |
|
56 |
|
Интервал |
варьирования |
|
100 |
|
15 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
План |
|
|
Переменная |
Опыты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состояния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У. % |
1 |
+ i |
- 1 |
|
— 1 |
+ |
1 |
99,06 |
|
2 |
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
97,77 |
|
3 |
+ i |
+ 1 |
— 1 |
+ |
1 |
97,94 |
||
4 |
+ i |
+ 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
98,67 |
|
5 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
97,25 |
|||
6 |
+ i |
- 1 |
|
+ |
1 |
— 1 |
99,08 |
|
7 |
+ i |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
97,42 |
|||
8 |
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
97,92 |
|
9 |
+ i |
— 1,682 |
|
0 |
|
0 |
99,70 |
|
10 |
+ i |
+ |
1,682 |
|
0 |
|
0 |
97,00 |
11 |
+ i |
|
0 |
- 1 ,6 8 2 |
|
0 |
95,30 |
|
12 |
+ i |
|
0 |
+ |
1,682 |
|
0 |
99,58 |
13 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
— 1,682 |
96,17 |
|
14 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
+ |
1,682 |
99,90 |
15 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
98,72 |
16 |
+ 1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
99,22 |
17 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
99,47 |
18 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
98,73 |
19 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
99,31 |
20 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
99,37 |
этапе выделялись основные факторы процесса с помощью метода случайного баланса. Были выделены следующие факторы: Х г — отношение растворителя к основному веществу, г/г; Х2 — темпе ратура реакционной смеси, °С; Х3 — время реакции, мин. Пере менная состояния объекта — выход целевого продукта, %. Экспе римент проводился по схеме центрального композиционного рототабельного планирования (табл. 59).
Найти математическую модель процесса и оценить ее адекват
ность.
5. [46, с. 299]. По результатам реализации матрицы планирова ния ДФЭ получилась неадекватная линейная модель. Предполага ется, что неадекватность вызвана тем, что эксперимент поставлен в области оптимума. Учитывая это, был реализован план экспери
мента по схеме ЦКРП (табл. 60).
Найти математическую модель процесса и оценить ее адекват ность.
|
|
|
|
|
Факторы |
|
|
|
|
||
Наименование |
Хг(рН) |
Х 2(°С) |
Х 3{мин) |
|
Х.<%> |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Нулевой |
уровень |
|
7 |
|
25 |
|
5 |
|
129,9 |
|
|
Интервал варьирования |
|
1 |
|
5 |
|
2 |
|
57,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
План |
|
|
|
Переменная |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
состояния |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Опыты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~Уих |
Уи2 |
1 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
- 1 |
87,42 |
81,42 |
||||
2 |
+ i |
+ i |
- 1 |
— 1 |
- 1 |
42,26 |
61,31 |
||||
3 |
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
- 1 |
90,66 |
89,21 |
|||
4 |
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
- 1 |
|
— 1 |
53,28 |
75,31 |
|
5 |
+ i |
- 1 |
|
— 1 |
+ |
1 |
— 1- |
93,13 |
98,35 |
||
6 |
+ i |
+ |
1 |
- 1 |
|
+ |
1 |
— 1 |
62,84 |
86,09 |
|
7 |
+ 1 |
—1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
98,72 |
‘ 99,83 |
||
8 |
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
77,35 |
94,65 |
|
9 |
+ i |
— 1 |
—1 |
- 1 |
|
+ |
1 |
99,31 |
98,99 |
||
10 |
+ i |
+ |
1 |
— 1 |
—1 |
+ |
1 |
62,79 |
93,71 |
||
И |
+ i |
—1 |
+ |
1 |
- 1 |
|
+ |
1 |
101,25 |
100,15 |
|
12 |
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
—1 |
+ |
1 |
79,65 |
99,07 |
|
13 |
+ i |
- 1 |
|
- 1 |
|
+ |
1 |
+ 1 |
99,52 |
100,88 |
|
14 |
+ i |
+ 1 |
- 1 |
|
+ |
1 |
+ 1 |
87,22 |
100,31 |
||
15 |
+ i |
—1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
100,44 |
100,67 |
||||
16 |
+ i |
+ 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ 1 |
98,14 |
100,10 |
||
17 |
+ i |
—1,414 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
98,51 |
99,90 |
|
18 |
+ i |
+ |
1,414 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
38,94 |
87,80 |
19 |
+ i |
|
0 |
—1,414 |
|
0 |
|
0 |
99,65 |
98,98 |
|
20 |
+ i |
|
0 |
+ |
1,414 |
|
0 |
|
0 |
100,62 |
100,25 |
21 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
—1,414 |
|
0 |
96,25 |
89,25 |
|
22 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
+ |
1,414 |
|
0 |
99,80 |
100,20 |
23 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
— 1,414 |
90,71 |
87,48 |
|
24 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
+ |
1,414 |
100,20 |
100,83 |
25 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
100,10 |
99,94 |
в. [31]. Исследовался процесс экстракции циркония трибутилфосфатом из азотнокислых растворов. В качестве факторов и вы ходной переменной были выбраны Х 19 Х 2 и у, связанные соотноше ниями
Хг = log2 Хн — 1,5;
Х2 = 2 (log2 СТр + 2,5){
у = log2 Д
соответственно с равновесной концентрацией ионов водорода Хн, концентрацией свободного трибутилфосфата в органической фазе
|
|
|
Факторы |
|
|
Наименовали |
|
х2 |
*3 |
|
|
|
|
|
|
||
Нулевой |
уровень |
0,5 |
160 |
55 |
' |
Интервал |
варьирования |
0,2 |
G |
15 |
|
|
|
|
План |
|
|
Опыты |
|
|
|
|
Переменная |
|
|
|
|
состояния |
|
|
|
|
|
|
У. % |
1 |
+ i |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
76,00 |
2 |
+ i |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
74,05 |
3 |
+ i |
—1 |
—1 |
+ 1 |
80,90 |
4 |
+ i |
—1 |
—1 |
—1 |
73,00 |
5 |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
—1 |
76,81 |
6 |
+ i |
+ 1 |
—1 |
—1 |
62,65 |
7 |
+ i |
—1 |
+ 1 |
—1 |
81,40 |
8 |
+ i |
—1 |
—1 |
+ 1 |
82,40 |
9 |
+ i |
— 1,682 |
0 |
0 |
84,75 |
10 |
+ i |
+ 1,682 |
0 |
0 |
72,42 |
11 |
+ i |
0 |
—1,682 |
0 |
71,87 |
12 |
+ i |
0 |
+ 1,682 |
0 |
77,82 |
13 |
+1 |
0 |
0 |
—1,682 |
72,26 |
14 |
. + i |
0 |
0 |
+ 1,682 |
79,07 |
15 |
+ i |
0 |
0 |
0 |
77,30 |
16 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
72,80 |
17 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
77,90 |
18 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
78,40 |
19 |
+ i |
0 |
0 |
0 |
77,30 |
20 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
77,70 |
Стр, коэффициентом распределения D. Предварительные исследо
вания показали, что для математической модели процесса необхо димо использовать рототабельное планирование второго порядка. Матрица планирования и результаты экспериментов приведены в табл. 61. Определить математическую модель процесса и оценить ее адекватность.
7. [32]. Необходимо определить условие достижения максималь ной степени разложения боратов смесью серной и фосфорных кис лот. В качестве факторов, от которых зависит степень разложе ния у , выбираем Х г — температура реакции, °С; Х 2 — продолжи тельность реакции, мин\ Х3 — норма фосфорной кислоты, %; Х4 —
концентрация фосфорной кислоты, %Р2Об.
Найти математическую модель исследуемого процесса и оценить
ееадекватность по плану ЦКОП (табл. 62).
Ошибку опыта найти по четырем дополнительным опытам в цент
ре плана у10 = 61,8%, у20 = 59,3%, у30 = 58,7%, уА0 = € 9,0% .
Наименование
Нулевой уровень
Интервал варьирования
Опыты
1 |
+ i |
2+ i
3+ i
4+ i
5+ i
6+ i
7+ i
8+ i
9+ i
10+ i
11+ 1
12+ i
13 |
+ i |
14 |
|
15+ i
16+ i
17+ 1
18+ 1
19+ i
20 |
+ 1 |
|
Факторы |
A',(°Q |
Х г(мин) |
380 |
1,75 |
20 |
0,25 |
План
— 1 |
— 1 |
||
+ |
1 |
— 1 |
|
— 1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
||
+ |
1 |
— 1 |
|
— 1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
—*1,68 |
|
0 |
|
+ |
1,68 |
|
0 |
|
0 |
—*1,68 |
|
|
0 |
+ |
1,68 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
сырье) |
|
|
3,87 |
|
|
0,87 |
|
|
|
Переменная |
|
|
состояния |
|
|
Уи |
|
— 1 |
— 0,595 |
|
— 1 |
+ 0 ,3 2 8 |
|
— 1 |
0,071 |
|
— 1 |
0,585 |
|
+ 1 |
—«0,676 |
|
0,388 |
||
+ 1 |
||
— 0,391 |
||
+ 1 |
||
0,557 |
||
+ 1 |
||
0 |
— 0,607 |
|
0 |
0,470 |
|
0 |
0,073 |
|
0 |
— 0,295 |
|
— 1,68 |
— 0,030 |
|
+ 1,68 |
0,014 |
|
0 |
— 0,102 |
|
0 |
0,258 |
|
0 |
0,083 |
|
0 |
— 0,143 |
|
0 |
0,180 |
|
0 |
— 0,060 |
Таблица |
61. |
Матрица ЦКРП и результаты эксперимента |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
План |
|
|
Переменные состояния |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Опыты |
*0 |
|
|
|
*2 |
X2 |
x tx 3 |
У х |
У г |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 7,94520 |
— 7,95220 |
— 7,94870 |
||
— 6,25480 |
— 6,56050 |
— 6,40770 |
|||||||||
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
||||||||
2 |
+ 1 |
+ 1 |
— 0,29170 |
— 0,21430 |
— 0,25300 |
||||||
|
|
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
|||||||
3 |
+ 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
+ 1,36740 |
+ 1 ,2 1 4 3 0 |
+ 1,29085 |
||||
|
+ 1 |
+ 1 |
|||||||||
4 |
+ 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 7,18830 |
— 7,76480 |
— 7,47665 |
|||
0 |
0 |
||||||||||
5 |
+ 1 |
— У 2 |
0 |
+ 2 |
0 |
0 |
+ 2 ,0 5 3 2 0 |
+ 2 ,0 5 6 8 0 |
+ 2 ,0 5 5 0 0 |
||
6 |
+ 1 |
+ + 2 |
0 |
+ 2 |
— 5,28840 |
— 5,23290 |
— 5,26065 |
||||
— V 2 |
0 |
+ 2 |
0 |
||||||||
7 |
+ 1 |
|
0 |
0 |
+ 2 |
0 |
— 3,05910 |
— 3,03520 |
— 3,07715 |
||
|
+ / 2 |
||||||||||
8 |
+ 1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
— 4,33690 |
— 4,19000 |
— 4,26345 |
||
|
0 |
0 |
|||||||||
9 |
+ 1 |
|
— 4,18740 |
— 4,28800 |
— 4,23770 |
||||||
10 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
11 |
+ 1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
— 4,19530 |
— 4,19270 |
— 4,19400 |
|
+ 1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
— 4,19530 |
- 4 ,1 9 2 7 0 |
— 4,19400 |
||
12 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Факторы |
|
|
|
|
|
Наименование |
|
|
|
|
|
|
|
*4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
*3 |
|
|
|
Н улевой |
уровень |
|
|
55 |
|
37.5 |
|
80 |
|
32.8 |
|
И н тервал |
варьирования |
|
25 |
|
22.5 |
|
20 |
|
18.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
План |
|
|
|
|
Перемен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ная состо |
Опыты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
яния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
1 |
|
+ i |
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
86,9 |
|
2 |
|
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
40,0 |
||
3 |
|
+ i |
- н |
|
— 1 |
— 1 |
+ |
1 |
66,0 |
||
4 |
|
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
+ |
1 |
34,4 |
||
5 |
|
+ 1 |
+ |
1 |
- 1 |
+ |
1 |
— 1 |
76,6 |
||
6 |
|
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
55,7 |
||
7 |
|
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
91,0 |
||
8 |
|
+ i |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
47,6 |
||||
9 |
|
+ i |
+ |
1 |
— 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
74,1 |
|
10 |
|
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
52,0 |
11 |
|
||||||||||
|
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
+ |
1 |
74,5 |
||
12 |
|
||||||||||
|
+ i |
- 1 |
— 1 |
— 1 |
+ |
1 |
29,6 |
||||
13 |
|
4*i |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ 1 |
— 1 |
94,8 |
||
14 |
|
||||||||||
|
+ i |
— 1 |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
49,6 |
||||
15 |
• |
- и |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
68,6 |
|||
16 |
|
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
51,8 |
|||
17 |
|
+ i |
+ |
1,414 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
95,4 |
18 |
|
+ i |
—*1,415 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
41,7 |
|
19 |
|
+ 1 |
|
0 |
+ |
1,414 |
|
0 |
|
0 |
79,0 |
20 |
|
+ i |
|
0 |
—*1,414 |
|
0 |
|
0 |
42,4 |
|
21 |
|
+ i |
|
0 |
|
0 |
+ |
1,414 |
|
0 |
77,6 |
22 |
|
+ 1 |
|
0 |
|
0 |
—-1,414 |
|
0 |
58,0 |
|
23 |
|
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
+ |
1,414 |
45,6 |
24 |
|
+ i |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
— 1,414 |
52,3 |
|
25 |
|
+ 1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
61,8 |
Гла в а V. Оптимизация объектов исследования
по экспериментально-статическим моделям
В гл. III, § 5 рассматривались ситуации принятия решений после анализа линейной модели, полученной по планам ПФЭ или ДФЭ. На этом этапе принятие решений связывалось с целью достижения области оптимума. В таких случаях в теории
планирования эксперимента область оптимума обычно ищут с помощью одного из гради ентных методов, чаще всего метода крутого восхождения. Последовательность поиска области оптимума представ ляется чередованием реализа ции плана эксперимента, получения математической мо дели и крутого восхождения к некоторому локальному оп тимуму. Эту последователь ность удобно изобразить гра фически в пространстве двух факторов (рис. 14).
Первоначально экспери мент ставится в некоторой по добласти Alj области опреде ления факторов L (на рис. 14
переменные изображены в натуральном масштабе, а доверительные интервалы для уравнения регрессии и границ упущены). Найденное одним из методов (например градиентным) направление используется для организации «шагов» в область Л42, где достигается некоторый локальный оптимум и в этой точке ставится новый эксперимент. Если по его результатам будет получена адекватная линейная математи ческая модель, то поиск области оптимума продолжается. Получе ние неадекватной линейной модели (например, в области Л43) свиде тельствует о вероятном достижении области оптимума.
В гл. IV, § 4 уже рассматривались ситуации принятия решений после анализа математической модели области оптимума. Адекват ная нелинейная модель, как известно, позволяет найти координа ту оптимума объекта исследования. Ее ищут обычно одним из ме тодов нелинейного программирования. Предположим — это точ ка Е (рис. 14). Очевидно, что эта координата оптимума всего лишь одна из возможных.
В этой главе будут рассмотрены методы и алгоритмы оптимиза ции, применяемые в экстремальном эксперименте для поиска облас ти оптимума и координаты локального оптимума.
Для комплексного (системного) понимания методов планирова ния эксперимента в главе приведены примеры с последователь ностью методов и алгоритмов планирования и оптимизации.
§ 1. Методы статической оптимизации объектов исследования
Задачи статической оптимизации процессов химиче ской технологии, как правило, связаны с выпуском продукции заданного качества и достижением экстремального (extr) значения
критерия оптимизации R , зависящего в общем случае от технико экономических показателей производства. Ограничения наклады ваются не только на качество продукта, но и на входные перемен ные; тогда задача статической оптимизации для объекта исследова ния, изображенного на рис. 2, может быть записана так:
R(Y, X, |
В)-+ехtr; |
(149) |
Ai ^ |
i42i |
|
С ,< * < С 2,
где, как и ранее, V — вектор выходных переменных, X — вектор входных переменных, А и А 2, Съ С2 — векторы ограничений, В — матрица коэффициентов. Иногда критерий оптимизации R совпа дает с одной из выходных переменных (например, с выходом целе
вого продукта реактора). Тогда задача оптимизации^формулируется так:
^(К Д Г ^ -^extr;
A\tk-\ < Yk-1 < A2,k-u |
(150) |
с1 < X < с 2,
где k — число выходных переменных. В такой постановке перемен ная ух часто называется параметром оптимизации [1].
Если математическая модель технологического процесса пред ставлена в виде линейного алгебраического уравнения, то для ре шения задачи оптимизации можно применять методы линейного программирования с двухсторонними ограничениями:
R = extr Y (Y, |
X , В)\ |
|
х |
|
|
A \ tk—\ < Yk-1 < |
A2,k—u |
(151) |
Си < Zbixi < |
C2h |
|
где bt — коэффициенты линейного |
алгебраического |
уравнения. |
Такая постановка задачи оптимизации, как известно, приводит к решению, находящемуся на границе области ограничений.
Если в качестве математической модели процесса используется регрессионное уравнение, необходимо учитывать две особенности. Первая связана с вероятностным характером регрессионного урав нения и ограничений, выражающихся в наличии доверительных интервалов. Функция цели R представляет собой не прямую (в дву мерном случае), а полосу. При этом решение задачи оптимизации находится с определенной вероятностью внутри доверительного ин тервала. Методы поиска экстремальной точки факторного про странства в корне меняются. Наиболее предпочтительными являют ся методы теории принятия решений в условиях риска, неопреде
ленности и конфликтных ситуаций.
Вторая особенность связана с ограниченностью надежного дей ствия математической модели, полученной экспериментально ста тистическими методами. Действительно, если область эксперимента
Afj (рис. 14) меньше области определения факторов L, то «ра бота» функции цели R за пределами Мг возможна с некоторой* ве роятностью, в общем случае неизвестной. Решается такая задача оптимизации только с учетом двух предположений.
Можно считать, что за пределами области экспериментирования математическая модель имеет тот же вид, и те же вероятностные ха рактеристики. Задача решается методами теории принятия решений.
Если указанное предположение принять нельзя, то при выходе за пределы области экспериментирования математическую модель следует уточнить, например, методом стохастической аппроксима ции, используя поступающую информацию пассивного эксперимен та. При активном экспериментировании математическая модель применяется для определения направления оптимума, а значение переменной состояния за пределами области экспериментирования уточняется экспериментально.
Задачи статической оптимизации очень часто решают поиско выми методами, которые отличаются большим разнообразием. Вме сте с различными модификациями их насчитывают несколько де сятков. К основным методам поиска можно отнести следующие: метод градиента, метод наискорейшего спуска, его модификацию — метод крутого восхождения (градиентные методы); метод Гаусса — Зейделя, метод симплексов, метод случайного поиска (безградиентные методы).
Метод Гаусса — Зейделя. При оптимизации методом Гаусса — Зейделя оптимум исследуемого процесса ищут поочередным варьи рованием каждой входной переменной (фактора) до достижения ча стного оптимума выходной переменной. Вначале достигается оптимум по направлению одной из координатных осей при фиксирован ных значениях факторов по другим координатным осям. Затем, зафиксировав найденное значение фактора, переходят к варьиро ванию другого фактора, где опять достигается частное значение оптимума и т. д. На рис. 15 изображены линии равного выхода це левой функции при двух факторах и общие представления о дей ствии метода Гаусса — Зейделя.
Этот наиболее простой метод оптимизации широко используется в практике исследований в химии и химической технологии. Чаще всего, однако, ограничиваются однократным варьированием по каждой из координатных осей (рис. 15, 7), что связано с основным недостатком метода — длительностью продвижения в область опти мума. Поэтому указанный алгоритм редко «доводит» до области оп тимума.
Метод случайного поиска. Основная идея метода заключается в случайном выборе направления движения на каждом последую щем шаге, который ухудшил переменную состояния объекта иссле дования (рис. 16). Есть много разновидностей метода случайного поиска, но все они объединены применением случайного вектора /, имеющего равновероятную возможность принимать различные на правления в исследуемом пространстве переменных Для формирова-
Р и с. 15. |
Г раф ическая интерпретация |
Р и с. 16. Граф ическая |
интерпретация |
поиска |
оптим ум а методом Г аусса — |
оптим изации методом |
сл уч ай н ого по |
З ей д ел я . |
|
и ска. |
|
ния случайного вектора используются случайные числа. Метод широко используется при оптимизации стохастических процессов, однако дает хорошие результаты при большом числе факторов, а также полезен в сочетании с другими методами.
Метод симплексов. Основной особенностью метода симплексов является объединение процесса изучения исследуемого объекта и процесса поиска оптимума, что достигается специальным построе нием плана эксперимента в виде симплекса. /г-Мерным симплексом определяется фигура, образованная множеством п + 1 точек, на зываемых вершинами симплекса, не принадлежащих одновременно
ни одному |
(п — 1)-мерному подпространству. Вместе с вершинами |
||
Vl9 V2, |
Vn+ 1 симплекс содержит все точки Z вида: |
||
|
п+1 |
п-(-1 |
|
|
Z = 2 Kv t< где \ > 0 , |
2 |
h = !• |
|
;=i |
;=i |
|
Геометрически симплекс представляет собой простейший выпук лый многогранник данного числа измерений п. Для п = 3 это тет раэдр, для п = 2 — треугольник. Симплекс может быть правиль ным. Тогда это равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и т. д.
Симплекс имеет ценное свойство: в нем можно отбросить одну вершину и построить новый симплекс, используя новую вершину, построенную симметрично отброшенной. Последовательным отбра сыванием вершин можно перемещать симплекс в факторном про странстве. Доказано, что если каждый раз отбрасывать вершину с самым плохим значением выходной переменной, то центр симплек са будет перемещаться к оптимуму (рис. 17).
Метод симплексов для поиска оптимума широко применяют при оптимизации процессов как на этапе лабораторных исследований, так и в промышленных исследованиях. Основное его преимущество заключается в сокращении числа экспериментов при высокой эф фективности поиска оптимума. Метод используется для поиска опти мума на реальных объектах и на математической модели.
Р и с . 17. Г р аф ическая и н тер п р етаци я |
Р и с . |
18. Граф ическая и н тер п р етац и я |
метода си м п л ек сн ого п ои ск а . |
метода |
гради ен та . |
Метод градиента. При оптимизации методом градиента оптимум исследуемого объекта ищут в направлении наиболее быстрого воз растания (убывания) выходной переменной, т. е. в направлении гра диента. Но прежде чем сделать шаг в направлении градиента, необ ходимо его рассчитать. Градиент можно определить либо по имею щейся модели
|
g r a d ! , m - ^ - ; + - ^ y + |
+ -H |
-J . |
«В) |
|
где |
— частная производная по t'-му фактору; |
i, |
j , |
k — единич- |
|
|
OXi |
осей |
факторного про |
||
ные векторы в направлении координатных |
странства, либо по результатам п пробных движений в направлении координатных осей (рис. 18).
Если математическая модель статистического процесса имеет вид линейного полинома, коэффициенты регрессии Ь{ которого яв ляются частными производными разложения функции у = f (X) в ряд Тейлора по степеням xir то оптимум ищут в направлении гра диента с некоторым шагом ht:
grad у(Х) = Ь Д + Ь Д + + КК- (153)
Направление корректируют после каждого шага.
Метод градиента вместе с его многочисленными модификациями является распространенным и эффективным методом поиска опти мума исследуемых объектов. Рассмотрим одну из модификаций метода градиента — метод крутого восхождения.
Метод крутого восхождения. Метод крутого восхождения, или иначе метод Бокса—Уилсона, объединяет в себе достоинства трех методов — метода Гаусса — Зейделя, метода градиента и метода полного (или дробного) факторного эксперимента, как средства получения линейной математической модели. Задача метода круто го восхождения заключается в том, чтобы шаговое движение осу ществлять в направлении наискорейшего возрастания (или убыва ния) выходной переменной, то есть по grad у (.X ). В отличие от