Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн

дования — получить такую логическую схему, которая позволила бы формальными средствами до окончания всего исследования произвести оценку разрешимости за­ дачи вообще и установить, какие ресурсы понадобятся для достижения поставленной цели (получения матема­ тических моделей). Для формализации любой сложной системы в настоящее время используются идеи системно­ го подхода и языки теории множеств, теории графов и, конечно, ЭВМ.

Прежде всего выделим я ч е й к у и с с л е д о в а н и я ] — формализованное понятие, включающее ряд элемен­ тов и процедур: исходные данные А,; ограничение Cj/ ма­ тематическую модель Mj (для достижения цели); решаю­ щую процедуру Tj; оценку результата исследования Kjj результат исследования (решение) Rj.

Эту явную часть ячейки исследования удобно запи­ сывать вг виде множеств {Aj, Cj, Mj, Tj, Kj, Rj}.

Пояснение 1. Следует отличать математическую мо­ дель Mj ячейки /, которая предназначена для получения только результата Rj, от математической модели как цели всего процесса исследования.

Пояснение 2. Процедура Т только в общем случае яв­ ляется решающей (множество функций цели, значитель­ ная неопределенность), а в частном случае — это может быть одним из случаев оптимизации. Например, в ячейке {Зф, ф} декомпозиционной матрицы обычно возникает задача поиска максимального выхода продукта на лабо­ раторной установке, который может быть найден сим­ плекс-методом по регрессионной модели второго поряд­ ка, полученной экспериментально.

Явной части ячейки исследования всегда сопутствует ее неявная часть Л: ресурсы исследования Zj\ затраты на исследование Lj\ цели функционирования Gj.

Неявную часть ЯИ можно записать в виде множества { Z j , L j , G j } . Эта оценка может быть прогностичной (до операций по достижению цели) и итоговой (после про­ ведения исследований).

В каждой ячейке исследования формируются операТ0Ры или функциональные отношения F, отображающие

°ДПо множество в другое. Для перехода от		(/—1)- к 7-й
и Далее к (7+ 1)-й ячейке можно записать
F\ Rj-i ►{Aj,	Cj};	(3.20)
F 2 • R j y {Aj i i.	C j + 1};	(3.21)

Эта запись читается так. Функциональная система F\ является отражением результата исследования предыду­ щей ( / — 1)-й ячейки во множество исходных данных {Ajt Cj} /-й ячейки. Функциональная система F2 является отражением результата исследования Rj, являющегося следствием (Aj, Cj, Mjt Tj, Kj), во множество исходных данных {Aj+u Cj+i} для ( / + 1)-й ячейки. На результат исследования влияет функциональная система F2\ пред­ ставляющая собой отражение множества оценок /Cj, за­ висящего от множества {Zj, Lj, Gj}, во множество резуль­ татов исследования Rj.

Функциональные системы F\, F2, ..., FN реализуются с помощью натурного эксперимента (как правило, на лабораторной установке, хотя в начальной стадии не исключены и экспертные оценки). Таким образом, исход­ ные данные для каждой последующей системы «добы­ ваются» натурным экспериментом (в отличие от процес­ са проектирования, где они «добываются» математичес­ ким экспериментом на модели). Натурный экспери­ мент дает результаты, отмеченные неопределенностью масштабного перехода, а математический эксперимент — отмеченные неопределенностью прогноза.

Если считать декомпозиционную матрицу основой для создания ячеек исследования, то в целом исследование можно представить как некоторый итерационный процесс. Например, последовательность

Л :/?О , А —		>	{ А О ,	С О , Ф } ;	(3.23)
F2:Rт к , ф	—	►	{ А Т К . ф	С Т К , Ф | ;	(3.24)
: / ? т к , ф	—	>	{Атк.л,	стк.л-j,	(3.25)

предполагает переход от анализа функционирования уз­ лов системы к анализу ее связей и наоборот.

Двумерную систему задач исследования можно пред­

ставить таблицей {S*7}, где d = О, ТК, ЗФ, ЭЗФ; i = = А, Ф. Тогда можно предложить две идеализированные

системы исследования: {Sdl} - + {Sd2} — последователь­ ную, декомпозированную только по этапам; {S17}_►

{S2'} — параллельную, декомпозированную только по объекту.

и. R11

Системные задачи исследования не разрешимы ни по одной из этих идеализированных систем вследствие не­ достатка информации на предыдущем этапе (более глу­ бокое исследование всегда таит неопределенность), а также вследствие неоднозначности решения при исполь­ зовании решающей процедуры (альтернативные реше­ ния v = 1, 2, ...'):

{S d<}

ч d.

RV t

Возможно последовательно-параллельное осуществле­ ние процесса исследования:

1. О {А, Ф}— *ТК {А, Ф} — возможно технико-эконо­ мическое обоснование будущего ХТК;

2.ЗФ {А}—*ЗФ {Ф} — возможно получение упрощен­ ных моделей;

3.ЭЗФ {А}—*ЗФ{Ф} — возможно получение полных математических моделей.

Изложенное выше позволяет говорить о целесообраз­ ности выделения двух систем в исследовании:

а) п р о ц е д у р н о й , связанной с получением инфор­

мации	(фактически онД изложена в матрице декомпо­
зиции) ;
б)	ц е л е в о й , связанной с получением информации

на лабораторной установке.

Последнюю лучше всего представить в виде дерева декомпозиции объекта исследования (рис. 3. 7).

Проведенный анализ позволяет также уточнить об­ щую цель исследования. Следует выделить две разновид­ ности целей:

Цель I, характерная для научного фундаментального познания,— это создание математических моделей без учета схемы производства, которая будет затем синтези­ роваться. Для этой цели характерно отсутствие итераций в исследовании.

Цель II, характерная для прикладных исследований,— это создание математических моделей для процессов то­ го производства, которое будет создано на новом масш­ табном уровне. Для ЛСИ здесь характерны итерационные процессы (уточняются состав.процессов, законы их функ­ ционирования и архитектура).

Рис. 3.7. Дерево декомпозиции объекта исследования.

3. 2. 5. Выделение основных целей процесса исследо­ вания. Предложенные выше уровни декомпозиции как объекта исследования, так и этапов его исследования можно разделить еще на несколько подуровней. Количе­ ство уровней, как уже указывалось, определяется стоя­ щим перед исследователем конкретным объектом. Од­ нако цели исследования в химической технологии доста­ точно четко определены и могут быть выделены и отнесены к некоторому инварианту (неизменной части процесса исследования). Одновременно рассматриваются методы (или алгоритмы), позволяющие достичь выде­ ленных целей.

Цель 1 — сбор априорной информации о методе про­ изводства заданного продукта, условиях проведения тех­ нологических процессов, основных показателях техноло­ гии в целом и ее узлов.

Эта цель достигается без лабораторного натурно­ го эксперимента. Исследователи проводят литературный и патентный обзор, т. е. анализируют имеющиеся в их распоряжении данные. Оценивают существующие или аналогичные способы производства заданного продукта, анализируют узлы схемы. Методы исследования — обыч-

а

с

<>

План эксперимента

						Интерполяция 1
		Методы			Принятие	Оптимизация \
	пфэ.дфэ.цкоп, икрп				решений
I мнк к»	Расчет			Дисперсионный		Экстраполяция \
!■■■■—I	Ккоэффициентов			анализ
	Проверка			Расчет	Оценка	Оценка
однородности			дисперсий		значимости	адекватности
				д
	< Цель	6	>		< Цель 7 >
______А____					1
| План эксперимента \					/7/уду эксперимента^
	Методы			Принятие	Методы	Принятие
идентификации				решений	выбора моделей	решений
z	:		Расчет		Определение	Расчет
Расчет
статистических		коэффициентов			оптимальных точек	критериев
характеристик			■модели		эксперимента	модели
		в			Ж
Рис. 3.8. Схемы реализации				целей в процессе исследования техноло­
			гических систем.

но экспертные оценки, в частности, метод ранговой кор­ реляции (рис. 3. 8, а).

Системные элементы ячейки исследования для дости­ жения цели 1 представлены в табл. 3. 2.

Цель 2 — выбор факторов технологического комплек­ са. Прежде всего это выбор сырья и катализаторов, опре­ деляющих выход заданного продукта, и затем выбор режимных переменных технологического комплекса.

Элементы ЯИ		Содержание элементов
Л|, Сj — исходные дан­		Потребности народного хозяйства в про­
ные и ограничения		дукте п промышленные возможности его
М1 — математическая		получения
		Модель экспертных оценок, план поста­
модель		новки экспертиз и обработка результа­
Г1 — решающая	процеду­	тов (усредненная оценка экспертов)
		При согласованности		оценок		экспертов
ра		принимается их усредненная оценка или
		используется мнение главного руководи­
R1 — результаты	иссле­	теля исследований		узлы		производ­
		Способ производства,
дования		ства, список возможного			сырья и ката­
		лизаторов; энергетические			решения, ма­
		териалы аппаратов, использование отхо­
К\ — оценка результа­		дов	технико-экономические
		Используются
тов исследования		показатели объекта исследования и про­
		цесса исследования с точки зрения ре­
		сурсов, затрат и достижения цели

ЯИ — ячейка исследования.

Цель достигается постановкой экспериментов на ла­ бораторной установке. Задача решается методами дис­ персионного анализа или с применением планирования по схеме латинских квадратов. Схема реализации этой цели изображена на рис. 3. 8, б, а системные элементы процесса ее достижения приведены в табл. 3. 3. Заметим, что режимные факторы выбираются исследователем по аналогии с другими производствами, возможен анализ экспертных оценок.

Цель 3 — получение предварительной информации о переменных технологического процесса.

Для достижения этой цели используются малые вы­ борки «настроечных» опытов, которые проводились при реализации цели 1, либо были специально поставлены (обычно информацию получают пассивно, наблюдением). Задача решается методами математической статистики и теории случайных функций. Находятся математические ожидания, дисперсии (моменты) переменных, их -интер­ вальные оценки; оценивается закон распределения и рас­ считываются коэффициенты корреляции переменных;

Элементы

яи

М9

т2

Содержание элементов

Задан способ производства продукта и составляющие его технологические узлы; есть перечень типов сырья и ката­ лизаторов; имеются режимные переменные

Модели дисперсионного анализа, различные планы его реализации

Соответствие статистическому критерию Фишера с уче­ том мнения исследователя

2Сырье и катализаторы, дающие наибольший выход про­ дукта, и режимные переменные

К, Оценка технико-экономических показателей, полученных результатов — сырья и катализаторов, а *также оценка стоимости операций по достижению цели

оцениваются стационарность, эргодичность случайных функций, рассчитываются корреляционные функции и др. Схема реализации этой цели изображена на рис. 3.8, в. Системные элементы достижения цели приведены в табл. 3. 4.

Т а б л и ц а 3.4. Системные элементы достижения цели 3

Элемен­ ты яи

Лз, Сз

Содержание элементов

Задан способ производства, сырье, катализатор; имеется лабораторная установка, на которой получены малые вы­ борки пассивной информации

М3 Модели математической статистики и теории случайных

функций и постановка пассивного плана эксперимента

Гз	Принятие решений по статистическим критериям
Кз	Количественные нормы статистических критериев (/-кри­
R,	терий, критерий Пирсона и др.)
	Все статистические оценки переменных, оценка динами­
	ки объекта и связей между переменными
	Цель 4 — отсеивание факторов.
	В числе факторов, предложенных для отсеивания, мо­

гут быть и дискретные, и непрерывные. Цель достигается постановкой экспериментов на лабораторной установке.

Задача решается методами экспертных оценок, планов дробного факторного эксперимента и Плакетта — Бер­ мана, методом случайного баланса. Планы строятся по критерию минимального числа опытов. Схема реализации цели 4 изображена на рис. 3. 8, г, а системные элементы — в табл. 3. 5.

Т а б л и ц а 3.5. Системные элементы достижения цели 4

Элементы

яи

At, С4

М4

Т4 к4

Содержание элементов

Лабораторная установка, список факторов, их статисти­ ческие оценки

Модели разделения	факторов	на значимые, относящиеся
к «шумовому» фону,	модели	линейной регрессии и пла­

ны эксперимента по их получению Принятие решений на основе статистических критериев

Количественные нормы статистических критериев (обычно /-критерий)

'Факторы, существенно влияющие на выходную перемен­ ную; области существования факторов, интервалы варьи­ рования, оценочное число параллельных опытов

Цель 5 — интерполяция, экстраполяция и оптимиза­ ция по математическим моделям полиномиального вида первого, второго и более высоких порядков. Наиболее подробно эта цель и ее достижение рассмотрены в [24]. Пользуясь классификацией, приведенной в упомянутой книге, рассмотрим несколько подцелей этой цели (схе­ ма реализации цели 5 изображена на рис. 3. 8, д, а си­ стемные элементы в табл. 3. 6).

Цель 5а — интерполяция результатов исследования.

Если область эксперимента достаточно мала, то можно использовать линейную модель (1.97), в противном слу­ чае используется нелинейная модель, например, (1. 157). Задача математически формулируется так: имеется век­

тор факторов X w выходная	переменная объекта у\ об­
ласть эксперимента — А ^	Хэ ^ В;	необходимо найти
интерполяционное значение уИпо Хп е		Хэ. Задача реша­

ется постановкой ряда опытов по планам ПФЭ, ДФЭ, ЦКОП, ЦКРП, Шеффе, обработкой результатов в соот­ ветствии с приведенными в гл. 1 алгоритмами и опреде­ лением Хи.

	Элементы	Содержание элементов
	ЯИ

Л5, С5

М5

Т 5

Ks

Rs

Лабораторная установка; список переменных, существен­ но влияющих на ее работу, их характеристики

Математические модели полиномиального вида первого, второго и более высоких порядков и планы эксперимента по их получению

Принятие решений на основе статистических критериев

Количественные нормы статистических критериев (обычно t- и .Р-критерии, критерий Кохрена)

Интерполяционное и экстраполяционное значения выход­ ной переменной, экспериментальное значение, частный и локальный оптимум функции цели; минимальные ресур­ сы объекта исследования

Цель 56 — экстраполяция результатов исследования. Условия те же, что и в предыдущем опыте, но ищется экстраполяционное значение уИпо Хк £ Хэ, т. е. по значе­ ниям факторов, лежащим вне области эксперимента. За­ дача решается упомянутыми выше методами (см. цель 5а). Здесь часто используется каноническое преобразо­ вание модели и требуется обязательная эксперименталь­ ная проверка уи*.

Цель 5в — получение экстремума функции цели в об­ ласти эксперимента. Для достижения этой цели могут использоваться как линейная, так и нелинейная модели, которые получаются уже упоминавшимися при достиже­ нии цели 5а планами эксперимента. Задача решается методом линейного программирования (по линейной мо­ дели) или любым нелинейным методом (симплексным, методом Гаусса, ридж-анализом и др.). Решение у0пт на­ ходится либо в области эксперимента Х0пт^ ^ либо на границе области.

Цель 5г — получение частного и локального оптимумов объекта исследования. Для достижения этой цели чаще всего используется линейная модель, полученная по планам ПФЭ (ДФЭ). Частный (промежуточный) оп­ тимум и локальный (один из возможных оптимумов объекта исследования по области существования факто­ ров) обычно находят одним из поисковых методов опти­ мизации, например, методом крутого восхождения. Поиск

осуществляется за пределами области эксперимента. По­ лученное «/опт обязательно уточняется экспериментально.

Цель 5д — минимизация ресурсов объекта исследова­ ния. Эта цель достигается решением задачи, обратной цели 5в: находят Xi т щ при заданном у. Модель может быть как линейной, так и нелинейной. При решении за­ дачи возможны различные варианты: стабильны все фак­ торы Xi, кроме одного, который и нужно минимизировать; стабильны все факторы Xi, кроме двух, один из которых должен быть минимизирован, а для другого — допуска­ ется полный расход ресурса (Х, = — 1 ); переменны все факторы Xi, сумму которых необходимо минимизировать. Часто задача решается графоаналитическими методами.

Цель 6 — получение математических моделей объекта исследования. Достижение этой цели осуществляется не­ формальным (и, по-видимому, неформализуемым) пред­ ложением вида (класса) математической модели иссле­ дуемого процесса исходя из имеющейся у исследователя информации, его творческого мышления и интуиции. Ча­ ще всего модель предлагается в виде (2.55). Необходи­ мо по результатам наблюдения (или по плану) за y(t), u(t) найти вектор параметров A (t). Задача решается

методами идентификации	(один из них приведен в 1 . 1 1 ).
В результате получают	численные оценки параметров

A (t), т. е. собственно математическую модель объекта в заданном классе моделей (см. рис. 3. 8 , е и табл. 3.7).

Т а б л и ц а	3.7. Системные элементы достижения цели 6
Элементы	Содержание элементов
ЯИ

Ае, Сб Оптимальные переменные объекта исследования, вид ма­

тематической модели процессов объекта, лабораторная ус­ тановка

М6 Математические модели идентификации

Те Принятие решений об адекватности моделей, учет апри­

орной информации и экспериментальная проверка

Re Количественные оценки параметров математической моде­ ли (математическая модель объекта)

Цель 7 — отсеивание (дискриминация) математичес­ ких моделей. Достижение этой цели возможно двумя комплексами операций: