Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfИз теоремы Коши для многосвязной области следует, что
вычет res f ( z ) функции /( г ) , аналитической в проколотой ок-
z = a
рестности точки z = а , не зависит от формы контура L .
Так как вычет не зависит от формы контура, то для вычис ления контурного интеграла (2.228) целесообразно выбрать наи
более удобную форму контура |
L. Например, можно взять ок |
||||
ружность с центром в точке z = а : |
|
|
|||
|
|
z - а - ре/ф, |
ср е [0;2тг], |
(2.229) |
|
где р - |
радиус окружности, контурный интеграл сводится к вы |
||||
числению определенного интеграла по ф. |
|
|
|||
По этой причине вычет функции f(z) в ее изолированной |
|||||
особой точке |
z = а часто определяют как контурный интеграл |
||||
функции f ( z ) |
по окружности |
|z-<z| = p |
настолько малого ра |
||
диуса |
р, что |
эта окружность |
целиком |
содержится в |
кольце |
0 < |z - a |< r , B котором функция / (z) аналитична. |
|
||||
Пример 2.51. Найти вычет функции /(z ) = -^— |
в точ- |
||||
ке z = 1. |
|
|
z —1 |
|
|
|
|
|
|
||
Эта точка для / (z) является изолированной особой точкой. |
|||||
Внутри окружности |z - l| = p произвольного радиуса р функ |
ция не имеет особых точек, то есть в любой проколотой окрест
ности точки |
z = 1 |
она является |
аналитической. Поэтому |
|||
в (2.228) в качестве |
контура |
L можно выбрать окружность. |
||||
В этом случае имеем |
|
|
|
|
||
и |
z = 1 + ре/ф, |
dz = /ре/фс1ф 3 ф€ [0.2л] |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
1 |
r/(z)dz |
1 |
251 + ре'9 . ,ОА |
|
resf(z) =— |
j ------— = — |
J----- — *pe d<p = |
||||
J=I |
|
2т I |
z —1 |
27П о р -е9 |
||
|
|
|
1 т |
1 т |
|
|
|
|
= |
Т - |
i d<P+T- p d (p = l, |
||
|
|
|
2л о |
о |
|
поскольку интеграл от е'ф в пределах от 0 до 2л равен 0 .
Теорема 1 (теорема Коши о вычетах). Пусть функция f(z)
аналитична на простом контуре L и в ограниченной этим кон туром области D , за исключением конечного числа изолиро ванных особых точек av е D , v = 1, 2,..., п , тогда
j f ( z ) d z - 2 n i Y , res f( z ) . |
(2.230) |
|
/, |
V = \z = a v |
|
Построим окружности Lv, v = l, 2 |
, n, с центрами в точках av |
столь малых радиусов, что эти окружности не пересекаются друг с другом и все лежат в области D (рис. 2.41). По теореме Коши для многосвязной области имеем
j/(z )d z = £ j/(z )d z .
L v= ILv
Разделив почленно эти равенства на 2 т , получаем утвер ждение теоремы, так как в силу определения 1 вычета
тЦ- <f/(z)dz = res f { z ) , v = 1, 2,..., n . |
|
2m , |
z = a v |
Lu |
|
Теорема 2. Вычет функции /(z ) в изолированной особой точке z = а равен коэффициенту C_t лорановского разложения / (z) в окрестности а :
|
|
resf(z) = C |
(2.231) |
|
|
|
z — а |
|
|
Для доказательства представим функцию /(г ) |
в проколо |
|||
той окрестности |
0 < |z - я| < г точки а некоторого радиуса г |
|||
рядом Лорана (2.196) |
|
|
||
f ( z )= |
S C n(z - a )" , |
0<\z-a\<r |
|
|
|
|
П = -о о |
|
|
Коэффициенты |
С„ |
ряда Лорана |
вычисляются по |
формулам |
(2.232), в которых в качестве контура L можно взять любую ок ружность |г - д| = р радиуса р < г . В частном случае при n =-1
получаем С_, =—~ 4 / ( z ) d z , но правая часть равенства есть вы-
2 таL
чет функции |
f (z ) в точке z = a, таким |
образом, |
теорема |
доказана. |
|
|
|
Пример |
2.52. Найти вычет функции |
/(z) = z2sin—— |
|
в точке z =1. |
|
|
z -1 |
|
|
|
|
Для этого используем разложение функции /(г ) |
по степе |
||
ням z - 1. Запишем |
|
|
z2 = ((z - 1) + 1)2 = (z - 1)2 + 2(z - 1) + 1.
С помощью разложения для синуса в ряд Тейлора получаем при |z - l | > О
/(z ) = ((z - 1)2 + 2(z - 1) + 1) • (—---------!— г +-----— г +...)•
JKJ K |
z -1 3!(z -l)3 5!(z -l)5 |
Теперь нетрудно вычислить коэффициент разложения |
|
функции /(z ) |
при (z-1 )-1; С_, = 1- — = —. Тогда res^f(z) = —. |
Пример 2.53. Найти |
вычет |
|
z^ —2 +1 |
|
функции f (z ) =------- |
------ |
|||
в точке z = 0 . |
|
|
z |
|
|
2 |
1 |
|
|
Представим функцию |
в виде |
|
||
f(z) = z — |
+ - г , тогда ее |
|||
|
|
z |
Z |
|
можно рассматривать как лорановское разложение в окрестно сти точки z - 0 и сразу получить
res f (z) - C_j = -2 .
Следствие 1. Вычет функции в ее конечной устранимой особой точке равен нулю.
Рассмотрим вопрос о вычислении вычета в полюсе. Снача ла разберем случай простого полюса (полюса первого порядка)
функции f (z ) |
в точке |
z = а . В этом случае лорановское разло |
||
жение (2.214) имеет следующий вид: |
|
|||
f ( z ) = - ^ - + Y , C „ ( z - a ) n , 0 < |z - а | < г |
|
|||
|
2 - а |
„=о |
|
|
Отсюда |
С_, = lim /(z ) • (z - а) . Тогда в простом |
полюсе |
||
|
z-*cr |
|
|
|
z = a вычет функции /(z ) |
равен |
|
||
|
res f { z ) = lim /(z)(z - a) . |
(2.232) |
||
|
z—a |
z—ъа |
|
Заметим, что существование конечного ненулевого предела в равенстве (2.232) справа равносильно асимптотической формуле
res f{z)
f{z) ~ |
-£=*------ , |
(2.233) |
z - л а |
z ~ a |
|
где resf(z) = А &0.
z - а
Для вычисления вычета в простом полюсе удобна другая модификация формулы (2.232).
Пусть функция /(z ) представима в виде |
|
/ 0 ) = ф(г) |
(2.234) |
Y(z) ’ |
|
где <p(z) и ij/(z) - функции, аналитические в окрестности точки z = a , и удовлетворяют условиям
ф (д )* 0 , у(а) = 0 , \|/’(я )* 0 . |
(2.235) |
Заметим, что представление (2.234) при выполнении усло вий (2.235) является необходимым и достаточным для того, что бы точка z =a была полюсом первого порядка функции f(z).
Учитывая (2.232) и определение производной функции ком плексного переменного, получаем
res f { z ) - |
lim cp(z)(z-g) = lim |
Ф ) |
ф(д) |
||
z = a |
z - > a |
V(*) |
z-> a |
4 1 (a) |
ф'00 |
|
|
|
z - a |
||
|
|
|
|
|
|
Итак, если |
функция f(z) |
имеет |
представление (2.234), |
||
удовлетворяющее условиям (2.235), то |
|
|
|||
|
|
resf(z) - |
фО) |
|
(2.236). |
|
|
|
ф'ОО |
|
|
Пример 2.54. Найти вычет функции /(z) = —— в точке z3 + 1
Z = —1.
Поскольку многочлен z3 +1 имеет три простых нуля, один
из которых точка z = - 1, и e’/z = -1 * 0 , то точка z = -1 явля
ется простым полюсом этой функции. Используя (2.236), найдем
res —— = |
----- |
3z* r=-i 3e |
--=-'zJ + l |
(z3 + l)’/ |
Пусть теперь точка z = а является полюсом функции /(z)
порядка т . Тогда в проколотой окрестности этой точки имеем
С- т + 1 |
+ . . . + - |
+ £ c „ (z~aY |
|
/00 = ( z - d f 0z - a )'т-1 |
|||
z —а |
л=о |
причем С_т* 0. Умножив эти равенства на (г - а)'", получим
№■(* - а)т=С + С_,н+)(z - а) +... +
+C_)( z - a )"'_1 + YjCn{ z - a) m*n
я=0
Полученное равенство представляет собой лорановское
разложение функции |
/ (z) • (z - а)т в окрестности точки z = а, |
|
в котором |
отсутствуют отрицательные степени z - a . Тогда |
|
точка а |
является |
устранимой особой точкой функции |
/ (z) • (z - а)'”, а лорановское разложение этой функции можно рассматривать как ряд Тейлора функции <p(z), полученной до определением функции f ( z ) - ( z - a ) m в точке а ее пределом.
Коэффициент С_, лорановского разложения функции /(z ) яв ляется коэффициентом Тейлора функции cp(z) при (z-a)'"''
и его можно найти стандартным образом через производную функции ( т - 1)-го порядка:
Ф^-'Ча) -1 ( т - 1)! '
Таким образом,
res f„(z), = res —Ф(г)— = ср1т----------_» . |
(2.237) |
|
* = « ( z - a ) " |
( т - 1 ) ! |
|
Учитывая вид функции cp(z) и непрерывность всех ее про изводных, запишем
с -| =7-----i-(/(2)(z |
|
||
(m-l)U-»adz |
|
||
Следовательно, |
в силу |
теоремы 2 вычет функции /(z) |
|
в полюсе т -го порядка равен |
|
|
|
res f ( z ) = |
1 |
J/W-1 |
(2.238) |
------ l i m — r (/(z)(z - а)") |
|||
-=о |
(m - 1)! |
dz |
|
При т = 1 формула (2.238) совпадает с (2.232).
Пример 2.55. Найти вычет Фу н кц и и f(z')- —------- . z2( z - 1)
Эта функция имеет простой полюс в точке z = 1 и полюс второго порядка в точке z =0. Используя (2.232), в точке z = t получаем
res/ |
(z) = lim/ |
|
:_ (z + 1) |
= 2 . |
||
(z) • (z - 1) = lim |
|
|||||
2=1 |
2—>1 |
|
z" |
|
|
|
В точке z = 0 полагаем cp(z) = |
z +1 |
|
|
|||
----- в (2.237), найдем |
||||||
|
|
|
z —1 |
|
|
|
tt?5/(z) = [ ^ i j |
z —1—(z + 1) |
|
-7 |
|||
r=0 |
( z - 1)2 |
r=0 |
||||
r=0 |
I Z — 1 |
|
Для вычисления вычета функции /(z ) в существенно ос®- бой точке z - a нет формулы, аналогичной (2.238). В таким случае пытаются непосредственно найти тем или иным сиютбом коэффициент С_, лорановского разложения функции а (ок рестности этой точки.
. I sin—
Пример 2.56. Найти вычет функции / (z) = -——.
Для данной функции /(z ) точка z - 0 является сущест венно особой, так как эта функция не имеет предела при г-»©..
Используя разложение функции для синуса и дроби -jp—.
в области 0 < |z| < 1, получаем
. 1 |
|
sin— |
]_ |
___z_ |
|
1 —z |
z |
Отсюда найдем коэффициент при z '1:
= sin 1.
3! 5! 7!
Тогда в силу теоремы 2
res j\z ) = sin 1.
2.30. Вычет в бесконечно удаленной точке. Логарифмический вычет
Пусть функция /(z ) является аналитической в проколотой окрестности бесконечно удаленной точки z - «я, то есть в об ласти |z| > R для некоторого числа R >0. Тогда z = со будет для f ( z ) изолированной особой точкой.
Определение 1. Вычетом res f{z) функции /(z ) в беско-
2=оз
нечно удаленной точке z - оо, являющейся изолированной осо бой точкой / ( z ) , называют значение интеграла
res f (z ) =—Ц <f/(z)dz , |
(2.239) |
|
-=” |
2т L |
|
вычисляемого по простому кусочно-гладкому контуру L, кото рый вместе со своей внешностью расположен в области анали тичности функции и проходится по часовой стрелке. В качестве такого контура берут окружность |z| = р , имеющую радиус р > R , проходимую по часовой стрелке.
Пример 2.57. Найти вычет функции / (z) = ---- ~ в точке
Z = 00 .
Выберем окружность L радиуса р > 1 и применим форму
лу (2.173) при и = 1. В результате, учитывая изменение знака при изменении ориентации контура интегрирования, получим
res- |
= Т ~ А , g 142cb = ~(g; )'/--=! |
- - » ( z - ir |
2jci / (z —l) |
Теорема l. Вычет функции /(z ) в бесконечно Удаленной точке равен коэффициенту С_, лорановского разложения функ
ции в окрестности этой точки при z '1, взятому с обратным знаком
res/(z ) = -С_,. |
(2.240) |
Z = оо |
|
Вне окружности достаточно большого радиуса R функцию /(z ) можно представить лорановским разложением (2.223). Со гласно формуле (2.196) для коэффициентов ряда Лорана найдем
Из этого равенства и равенства (2.239), изменяя ориента цию контура интегрирования, получим (2.240).
Замечание 1. В случае когда z = оо - устранимая особая точка функции / (z) , вычет в этой точке может быть отличен от нуля. Этим бесконечно удаленная точка отличается от конечных
особых точек функции.
I
Пример 2.58. Найти вычет функции f(z) = e: в точке
Z = ОО .
При z = оо точка z = оо является устранимой особой точ-
кой, так как |
ez —>1 |
при |
z-»oo. Тем не менее вычет функции |
|
в точке z = оо |
отличен от нуля. |
|
||
Действительно, используя разложение в ряд Тейлора для |
||||
экспоненциальной функции, получаем при \z\ > О |
||||
|
I |
|
|
1 + . . . |
|
е2 |
|
+ ...+ |
|
|
|
|
|
n\zn |
Отсюда согласно (2.240) заключаем, что |
||||
|
|
|
\_ |
|
|
|
rese2 =-С_ j = - 1 . |
||
|
|
2=о0 |
|
|
Теорема 2 (теорема о сумме вычетов). |
||||
Пусть функция |
/(z ) |
является аналитической во всей ком |
||
плексной плоскости |
(z) |
за исключением конечного числа изо |
лированных особых точек av, v = l, 2 , п. Тогда сумма всех
вычетов этой функции, включая вычет в бесконечно удаленной точке, равна нулю
£ res |
f(z) + res |
/(z ) = 0. |
(2.241) |
„_[ z = a v |
r=<n |
|
|
Доказательство. Пусть L - окружность |
|z| = R , ориентиро |
||
ванная против часовой стрелки, причем R выбрано так, что все |
|||
точки av, v = 1,2,..., п, лежат внутри |
L . По теореме Коши о вы- |
||
п |
f (z). |
|
|
четах j f (z)dz = 2ni£ res |
|
|
IV=l - ^
Вто же время согласно определению 1 и с учетом ориента ции контура интегрирования
jf(z)dz = -2ni res /( z ) . /.
Из этих двух равенств и вытекает утверждение теоремы.
Пример 2.59. Найти особые точки функции f ( z ) = e |
z |
Особыми точками /(z ) являются точки z ,= 0 и |
z2 =oo. |
Обе эти точки существенно особые, так как не существует ни
конечного, ни бесконечного пределов функции е z при z -> О
и функции е' при z —> со. Из этого следует, что в указанных
точках не существует и предела функции |
/(z ) |
|
Используем |
||||
разложение в ряд Тейлора для экспоненциальной функции |
|||||||
( л |
Z |
z2 |
Лf |
1 |
1 |
0 |
^ |
1 + - |
+ ------h . |
Jч |
1- — |
+ |
|
||
|
|
2! |
V.z |
2!z2 |
) |
||
Раскрывая скобки и выбирая слагаемые, содержащие z |
|||||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
А+1 |
|
|
С_, = -1 н------ |
2!3! |
3!4! |
|
(-1) - + ... |
|||
2! |
|
к\(к + 1)! |
|
|