- •АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР
- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ, ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ*
- •const3
- •КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ
- •РАЗРУШЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ УГЛЕПЛАСТИКОВ И РЕАЛИЗАЦИЯ В НИХ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ВОЛОКОН
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХ волокон В МАТРИЦЕ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДОКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
- •РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН СДВИГА В ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
- •УСТАНОВКА ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ КОМПОЗИТОВ ПРИ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
- •МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТА С ХРУПКИМ ВОЛОКНОМ
- •ОБ ОЦЕНКЕ АНИЗОТРОПИИ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ТЕРМОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ СЛОИСТОГО МАТЕРИАЛА
- •НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА СЛОЕВ
- •ОПТИМАЛЬНАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ ОБОЛОЧКА ИЗ КОМПОЗИТА, НАПОЛНЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ
- •МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАПАНО-АОРТАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА ЧЕЛОВЕКА
- •ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МИОКАРДИАЛЬНОЙ ТКАНИ
- •шшшпттд
- •Кинетические уравнения. В нашем случае кинетические уравнения
- •СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ УЛЬТРАЗВУКОВОГО И ОБЫЧНОГО РЕЗАНИЯ МЯГКИХ ТКАНЕЙ
- •ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ГИБРИДНОГО КОМПОЗИТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕХАНИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
- •ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДАМИ СПЕКЛ-ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ
- •ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ И ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
- •ВОПРОСЫ ЗАИМСТВОВАНИЯ
- •ТЕРМИНОВ И ТЕРМИНОЭЛЕМЕНТОВ
- •ТЕПЛОФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 1, с. 14 -22
УДК 539.37:539.2:678.067
А. Ф. Крегерс, Г. А. Тетере
СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ, ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ*
Для устранения ряда недостатков слоистых композитов — низкой сдвиговой и трансверсальной жесткости и прочности — в последнее время разработаны и внедряются композиты с пространственной схемой армирования ш . Однако методика определения их деформативных свойств разработана пока недостаточно, поэтому в данной статье пред лагается методика определения деформативных свойств пространственно армированных композитов методом усреднения.
В армированной среде выделяется характерный объем, структура ко торого повторяется по всему объему композита, и свойства композита в целом считаются совпадающими со свойствами выделенного характер ного объема. Характерный объем имеет различную форму, зависящую от схемы армирования. В случае идеально прямых волокон в расчетной модели композита совокупность волокон в каждом отдельном произволь ном направлении армирования представляется в виде однонаправленно армированного цилиндра, называемого структурным элементом. Предпо лагается, что объем связующего по отдельным структурным элементам (цилиндрам) распределяется пропорционально объему в них арматуры. Это приводит к равенству объемных коэффициентов армирования всех структурных элементов и композита в целом. Деформативные свойства (упругие, вязкоупругие или упругопластические) цилиндра предполага ются известными и определяются по свойствам компонентов с использо ванием известных теорий армирования. Далее рассматриваются два принципиально различных варианта, приводящих, вообще говоря, к не совпадающим результатам. Принимается, что или средние напряжения, или полные деформации в структурном элементе и в композите совпа дают. Тогда деформации или соответственно напряжения композита определяются усреднением этих величин по всем структурным эле ментам.
Свяжем композитную среду с системой координат сс, р=x,y ,z. С каж дым структурным элементом модели свяжем его индивидуальную коор
динатную систему /,/= 1 |
,2 ,3 , |
так, чтобы ось 1 совпадала с осью |
ци |
|
линдра (рис. 1). Тогда |
i, / |
будут осями |
симметрии трансверсально |
|
|
|
изотропного |
структурного элемента, |
ар |
|
|
мированного |
вдоль оси 1. Обозначим |
че |
Рис. 1. Ориентация i-ro структур ного элемента в осях композита.
рез Иар = Кра И ИаР = Хра формальную ТеНзорную переменную, под которой подра зумевается или тензор напряжений аар, или тензор полных деформаций еар ком
позита, т. е. если хар = еар, то хар = о'ар, и наоборот. Используем далее предположе ния об однородном распределении напря жений или деформаций, т. е. считаем, что
Доклад, представленный на V Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, май—июнь 1981 г.).
хар одинаково во всех точках характерного объема и преобразуется по тензорному закону:
/V r*JA |
|
Xij = XopWjP, |
(1) |
где t,/ = 1, 2,3; а, |3= х,у , z\ — косинус между осями i и а. Деформации или напряжения определяются путем усреднения дефор
маций или напряжений структурных элементов [2—4]:
Ха0 = J Xijlialj$% ( i ) d%, |
(2) |
|
|
S |
|
где £ = £ (0,<p) = e i — единичный вектор по оси 1; Х(|) — функция распре деления плотности арматуры по направлениям; 0, <р — сферические коор динаты вектора g= ei; d.%— нормированная евклидова мера на единич
ной сфере S, dg=-^-sin0d0d<p.
В случае, |
когда число |
направлений армирования |
конечно, имеем |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
М£). = 1 7 " ^ У |
а1п)6 (£—|п), |
где Уа(п) — объем арматуры в направлении |
||||
П |
|
|
|
|
(2) вырождается |
|
In, Уа= 2 Уа(п); 6 (g —gn) — дельта-функция и интеграл |
||||||
П |
|
|
|
|
|
|
в конечную сумму: |
|
|
|
|
|
|
ХаР = |
4 - X |
, % i i ^ n iaS nn ^ ) V &W = — |
У , X ijW / ia W " ) . |
(3) |
||
|
V* |
п |
^ |
п |
|
|
У а (п) |
У — объем характерного |
элемента |
композита; |
jxs = |
||
Здесь И>(п)== у ~ |
= 2р/п) — общий объемный коэффициент армирования.
п
Рассмотрим упругие свойства композита и представим компоненты тензора деформаций структурного элемента в виде
(П |
(71} |
(4) |
Bij |
—aijkiOkt, |
где ада(п определяются по теории армирования однонаправленно арми рованных волокнистых композитов. Подставив (1), (4) в (3) и полагая
Kap= eap, получаем
|
|
1 |\П (п) |
|
|
(5). |
|
|
8аР= ----2тAai3blGyQliah^kyhbll{n) = ЯаРубСГуб, |
|
||
где Ларуб= |
1 |
Y1 (n |
/» ^= -l» 2, 3, |
oc, |
у» б %>Уу |
---- |
2iClijhlli(X.lj$lkyhbV,^n^9 |
||||
|
V* |
« |
|
|
|
Аналогичным образом, полагая xap = a ap, получаем усредненное значение напряжений:
|
GaP = ----- |
Z_i |
= A a fybBy6, |
(6) |
|
^ |
7Z |
|
|
Где т4аруб— |
/ I |
|
• |
|
^п
Пять независимых технических характеристик деформирования струк турного элемента (цилиндра), продольная ось 1 которого совпадает с направлением армирования, можно подсчитать, используя известные формулы теории армирования [3], и затем можно выразить компоненты тензора жесткости структурного элемента Ацы(п).
Табл, i
Эксперимен+альныё и расчетные Упругие характеристики стеклопластиков, * армированных в трех взаимно ортогональных направлениях
|
Эксперимент |
|
Расчет* |
||
Характеристика |
|
|
|||
(от—до) |
а** |
А*** |
|||
|
|
|
|||
£ **, ГПа |
21.00— |
24,00 |
15,20 |
24,50 |
|
28.00— |
30,00 |
18,20 |
29,70 |
||
ЕУУу ГПа |
|||||
13,50—15,00 |
11,00 |
13,50 |
|||
Е гг, ГПа |
|||||
3,30— 3,60 |
3,80 |
3,90 |
|||
GXZt ГПа |
|||||
GyZt ГПа |
3,10— 4,00 |
3,90 |
3,90 |
||
Gxy, ГПа |
3,40— 4,30 |
4,10 |
4,10 |
||
Vyx |
0,13— |
0,14 |
0,13 |
0,12 |
|
0,13— 0,15 |
0,29 |
0,20 |
|||
Vxz |
|||||
Vyz |
0,12— 0,14 |
0,23 |
0,16 |
||
* Исходные данные: £ а=73,1 ГПа; |
Ес = 3,30 ГПа; |
va=0,25; |
vc= 0,35; fXx = 0,59; |
||
fx(3C>=0,235; fx(v) = 0,324; |
ц<*>=0,031. |
|
|
|
**Значения получены усреднением податливостей.
***Значения получены усреднением жесткостей.
Для сравнения теоретических результатов с экспериментами были использованы данные работы [ 1] по испытанию композита, армирован ного в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Интервалы экспе риментальных значений технических характеристик и теоретические рас четы представлены в табл. 1.
Расчетные компоненты тензора податливости для некоторых схем пространственного армирования, показанных на рис. 2, представлены в табл. 2.
Анализ полученных зависимостей и данные литературы [1] показы вают, что усреднение тензоров податливости и жесткости приводит к разным результатам, причем экспериментальные данные лежат между результатами, полученными по обоим вариантам усреднения, что гово рит о приближенности гипотез об однородности напряжений или дефор маций. Следствием этого является отсутствие совпадения тензора подат ливости (5) и тензора податливости, полученного обращением (6) даже для случая линейной упругости. То же относится к тензору жесткости
(6) и тензору, полученному из обращения (5). В связи с этим для улуч шения корреляций с данными экспериментов определим деформативные свойства композита по зависимости
Ма&уб— + М а ^уб (1 —со), (7)
где Mapve — компоненты тензора податливости или жесткости; Ма^ А — то же, получено из предположения однородности деформаций (усредне ние компонент тензора жесткости); Ма$уьа — то же, получено из предпо ложения однородности напряжений (усреднение компонент тензора по датливости); со — эмпирический коэффициент, O ^ co ^ l. Численное зна-
Рис. 2. Пространственные схемы армирования.
3 3
^nvpzfe = ^ j(^ in v ^ jv p ^ 14~-^inv^Qjvp^) *» D |
„ * - Z {F in v ^ M jy p ^ + H in v ^ E jv p ^ ) 5 |
j- 1 |
j- 1 |
^ t-
jv p h — |
[& j2,v*V vp i ( ^ l ) S p lft+ |
jv p h = |
~ [& j 2,vX V vp 2{^ \ )8p lh + |
Obj^v1 ^ v p 3 ( S 2 ) 7 p 1/l“t"a i6,vl 1ЛфЗ ( S 3) P p Ui] »
a ,j4tvl V vp 4 (C 2 )V P 1/t + a j6,v1Vvp4 ( S 3) P p Wi] ; ( 2 . 8 )
E jv p h = |
— [<X j2,vV vp3(t,\) &ph + |
<Zj4,\Vvp\ ( £ 2) Yp^ + |
OCje.vV'vpl (^ з ) P P '‘ ] |
; |
|
||||||||||||||
Q jv p ft= |
— |
|^<Xj2lvV ’v p 4 ( S l ) 6 p ,i + |
aj4 .v V / v p 2 (S 2 )Y p ,t + |
a j6,vVrv p 2 (S 3 ) P P * ] |
i |
|
|||||||||||||
*Sinv^= Otj2,n^nv3(Si) |
4" 0Ci4,n^nvl (S2) YvJ 4" 0Cj6,n^nvl (S3) PvJ, |
|
|
||||||||||||||||
TinvJ = 0^i2,n^nv4 (Si) |
4" 0Ci4/Ti^nv2 (S2)YvJ 4" OCi6,4^Tiv2 (S3) PvJ> |
|
|
||||||||||||||||
f invi= OCi^.n^nvl (Si) Svl J 4”ОСг^п^ЛпуЗ (S2) Yv1J 4"CXi6,n^nv3 (S3) Pvlj, |
|
||||||||||||||||||
H in \ i = |
& i2,n^hnv2( S i ) |
S v lj 4 " G&14,71 *A»7iv4 ( S 2) Y v1J 4“ ^ i6 ,n 1^nv4 ( S 3) P vl j * |
|
||||||||||||||||
Величины |
aj2 ,n, |
a ;4,n |
и |
a j6,n |
(/= 1 ,2 ,3 ) |
выражаются |
через |
«11,71, |
|||||||||||
ai2,7i,...» «66,71 и amf>n(1 |
(w = 1,6; / = |
1,3) |
следующим образом: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
a j2 ,n = |
« j2,n 4“ « j 1,71(1*d 4a 42,7i 4- « j1,710 ^5«52,n 4- « j2,7i*1J X |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
X ^4«42,TI 4“ «^'2,71^^5^52,71 4" «j3,7i^^4«42,7i 4“ «j3,7i^^5«52,7i» |
|
|
|
|||||||||||||||
|
aj4,Ti = |
«j4,n 4 -«ji,n ^^4«44,n 4-.«j i,7i(1^dsas4 4-« ji ,7i(1J^6 X |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
X «64l7i4-«j2,7i(1)C4a44)n+ |
aj2ln(1)C5«54,7i4-«j2,7i(l)C6«64,7i4- |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4“« j3,7i(1)&4«44,7i 4-« j3,n(1* ^5«54,T1 4" «j3,7i(1 * &6«64,7i*, |
|
|
|
(2.9) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
j 6,n = |
« j6,7l + |
« j 1,71(1 ^ ^ 4 «4 6 ,7 l 4 ” « J l , 7 l (1) ^5«56,Tl 4 - « j 1,71(1^ 6 « 6 6 ,7 l 4 - |
|
|
||||||||||||||
4 " « ;2,7111^4«46,71 4 " « j2,7i(1* ^5«56,7» 4 “ « j2 ,7 i(1* «6«66,7i 4 " « j3,7i *1* ^ « 4 6 ,7 1 4 " |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4-«j3,7i(1^5«56,7i 4"«j3,7i(1 b6«66,7i; |
/ = |
1,2, 3, |
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b4 = «62,7i(l)«51,7i(1) («63,71(1)«51,7111)«4 2 ,п 19 + a 6 2 ,7 i(9 a 5 3 i7l(1)a 4 i,n (1) — «63,тг(1)«52,т1(1) X |
|||||||||||||||||||
X « 4 1 ,n (l) "~ «6 2 ,7 i(1^«51,7i(l)«43,7i^1)) _1'J |
^ 5 = |
“ |
«62,7i(1^«41,7i(1) («6 2 TI(1 *«51,71^0 _1 ^4*> |
||||||||||||||||
& 6 = (« 5 2 ,n (1)«41,7i(1 )- « 5 1 ,7 i(1)«42,7l (1)) («62,71(1)«51,71(1)) ” 1&4; |
« 4 = |
(«5 2 ,TI(1 )X |
|||||||||||||||||
X « 4 1 ,n (1)- « 5 1 ,7 i(1,«42,7i(1)) " 1[ ( a 51,7l (l)«43,7il l , - « 5 3 ,7 l (1)«41,7i(1)) b 4 4 -«5 1 ,7 i( l) ] ; |
^5 = |
||||||||||||||||||
= («52,7i(1)«41,7i(1) “ |
«51,7i(1)«4 2 ,n (1)) “ 1[(«5 1 ,7 i(1)«43,7i(l) — «53,7i(1)«41,7i(1)).^ 5 ““ |
«41,7i(I)] *» |
|||||||||||||||||
« 6 = («52,7i(1,«41,7i(1) — « 5 1 ,n (1)«42,7i(1 )) ~ 1 («51,7i(1)«43,7i(1) *“ «53,T I( I ) «41,71(1)) ^6*» |
|||||||||||||||||||
d A= |
- |
(«4 1 >n (1)) " “1 - |
a 42,7i(1) ( a 4 i >n (1)) “ 1^ 4 - « 4 3 ,7 i( l ) ( a 41l7i(I)) " 1&4; |
|
( 2. 10) |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
d$ = ■— «42,7i(1) («41,71(1)) " " 1C 5 ~ « 4 3 , TI( 1) («41,7i( l ) ) - 1 b 5 ‘, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
d e = |
— «42,TI( 1) (« 4 1 ,п (1)) “ 1Сб — «4 3 ,TI(1) (« 4 i,7 i(1)) ^6* |
|
|
|
|
|||||||||||
В ы п и ш е м в ы р а ж е н и е д л я 6 Л\ Y тЛ $ п к ( f t = 1 , 2 , 3 ) : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P TI1 = |
(ОС-21,7iC3C33triOCii,71 |
OC3if7iOC23,7iO&ii,n) [ |
(0&31,7i0&i3,n |
0^33,7i |
X |
|
|
||||||||||||
X |
cc ii,n ) |
(a25,7iC C ii,n“ “ a 2 i,7 ia i5 ,n ) |
4- |
(о^з.тгО&и.п — 0^13,71^ 21,71) |
X |
|
|
||||||||||||
|
X |
( a s s .T ia ii.n |
o^3i,7iOti5,7i) 1 |
|
P7i^= |
(o&ii,nO&3i,7iObi3,n |
|
|
|
|
|||||||||
— о^зз,71ocn,7i2) |
d a2 i,7 ia33,7iaii,n |
осз^тгссгз^оси.п)- 1p7*.1» P7i3== (ап .п С Х гз.п аи .п |
a n ,7 ia i3 ,n a 2 i,n ) ((х>2\,п&з$1п&1\,п~'' схз1,7г0^23,710^11,71) P 71*? |
^ |