Механика композитных материалов 4 1982
..pdf1. Крегерс А. Ф., Тетере Г. А. Оптимизация структуры пространственно-армиро
ванных композитов в задачах устойчивости. — Механика полимеров, 1979, № 1,
с.79—85.
2.Крегерс А. Ф., Мелбардис 10. Г. Определение деформируемости пространст
венно армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика поли меров, 1978, № 1, с. 3—8.
3.Крегерс А. Ф., Тетере Г А. Применение методов усреднения для определения
вязкоупругих свойств пространственно армированных композитов. — Механика ком позитных материалов, 1979, № 4, с. 617—624.
4.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление полимерных и
композитных материалов.^ 3-е изд. Рига, |
1980. 571 с. |
оптимизации сложных си |
|
5. Эглайс В. О. Алгоритм интуитивного поиска для |
|||
стем. — в кн.: Вопросы динамики и |
прочности, 1980, |
вып. 36, |
с. 28—33. (Рига). |
Институт механики полимеров |
Поступило |
в редакцию 08.12.81 |
|
АН Латвийской ССР, Рига |
|
|
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 4, с. 648—652
УДК 539.4:624.073
Р. В. Кондратьев, И. Н. Преображенский
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНЫ из композитного ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА С ОТВЕРСТИЕМ ПРИ СДВИГЕ
Рассматривается задача устойчивости прямоугольной пластины с одним прямоугольным неподкрепленным вырезом. Пластина выполнена из композитного ортотропного материала типа СВАМ. Контурные линии выреза параллельны линиям наружного контура. Пластина с конечным отношением сторон, шарнирно опертая по наружному контуру, нагру жена равномерно распределенными по внешней границе усилиями сдвига. Решение данной задачи основано на методе, изложенном в рабо тах [1, 2]. В соответствии с этим методом исследование ведется в ли нейной постановке с использованием сплошной модели с физико-меха ническими параметрами, имеющими разрывы однородности. Описание жесткостных параметров модели осуществляется с помощью математи ческого аппарата обобщенных функций.
Особенностью задачи устойчивости пластины с отверстием является неоднородность докритического напряженного состояния. Для решения уравнения Сен-Венана необходимо предварительно найти распределение напряжений в срединной поверхности. В некоторых работах, посвящен ных задаче устойчивости пластины с отверстием, неравномерностью на чального докритического напряженного состояния пренебрегают. При этом основываются на энергетических соображениях применительно к задаче об общей потере устойчивости. Подробно вопрос о погрешности метода сплошных моделей рассмотрен в [2]. В настоящей статье докритическое напряженное состояние принимается однородным. Принима ется также, что напряжения в пластине не превосходят предела упру гости.
Упругие свойства ортотропного материала характеризуются следую щими величинами: модулями упругости £ х0 и Еу0 по направлению осей х и уу модулем сдвига G0, коэффициентами Пуассона pi и |х2, соответст вующими поперечным деформациям вдоль осей у их.
Изучение поведения пластины с отверстием осуществляем на основе исследования устойчивости сплошной модели, жесткость которой явля ется функцие^й координат. Этот переход удается осуществить с помощью импульсивной функции нулевого порядка от двух переменных. Рассмот рим пластину со сторонами а и Ь. Вдоль стороны длиной а расположим ось ху а b у (рис. 1), где h — толщина пластины; Xi, yi — координаты вершин прямоугольного выреза. Модули упругости и сдвига представим как непрерывные функции координат х и у следующим образом:
|
Ех= Ех0у(х; у)\ |
Еу= Еу0у(х\ у) ; |
G = G0y(x\ у), |
(1) |
|
где |
у(*;1/) = 1-Го(*-*>; у - у х) +Г0(* -* 2; у - у {) +Г„(*-л:,; |
у - у 2) - |
|||
Го(я Х2уу у2) • С учетом |
(1) запишем изгибные жесткости: |
|
|||
|
Dx= Dx0y(x\ у)-, |
Dy =Dy0y(x-, у); |
Dh = Dhoy(x, у), |
(2) |
|
где |
Dxо = |
Еуоh3 |
; Dhо= |
Goft* |
|
|
12(1 —(.11Ц2) ’> Dyo— 12(1-|Л,|Ц2) |
12 • |
|
Уравнение равновесия для ортотропной пластины с жесткостными параметрами, претерпевающими разрывы однородности, имеет вид
д4W |
п |
d4W |
d*W_ |
d2Dx / d2W |
d2W \ |
Dx д |
+ 2Dxy - |
v ду4 |
дх2 ' дх2 |
ду2 / |
|
дх4 |
' |
ли дх2ду2 ‘ |
|
d3W |
)+*£( |
d3W |
||||
+ дх \ dx3 + Р2 дхдг/2 |
дх2ду + |
||||||
/ ‘ ~ |
ду |
Pi |
|||||
( d2W |
d2W \ |
. , |
d2D,t |
(?2Г |
. „ dDh |
||
X \ ~ d f |
•И-i ЙЛ'2 / |
+ 4 |
дхду |
охоу |
дх |
||
|
|
|
d3W |
|
c,d2W |
|
|
|
|
X <?л:2дг/ |
- 2 S — — =0. |
||||
|
|
|
дхду |
|
&W |
dWy |
ду3 |
+ ду2 X |
d3W |
dDh |
дхду2 |
+ 4 — - X |
ду |
( 3)
Здесь Dxv= Dx\i2 + 2Du. Функцию, аппроксимирующую нормальный про гиб W, будем искать в виде двойного тригонометрического ряда:
оооо
w = 2 J |
2 J |
s i n — |
■s i n “ T ~ • |
( 4 ) |
771=1 |
71=1 |
|
^ |
|
Выбор способа аппроксимации W в виде (4) обусловлен следующими соображениями. Функция (4) удовлетворяет как статическим, так и гео метрическим граничным условиям на внешнем контуре пластины.
Введение сплошной модели делает необязательным удовлетворение граничным условиям на контуре выреза. Следует также отметить, что правомерность использования аппроксимации W в форме (4) для ап проксимации функции прогиба пластины с отверстием подтверждается результатами экспериментов работы [3], которые показывают, что форма срединной поверхности пластины с отверстием после потери устойчивости мало отличается от формы потери устойчивости сплошной.
Решение уравнения (3) ищем методом Бубнова. Вводя в уравнение
(3) функцию |
W в виде |
(4) |
и параметры |
жесткости |
(2), |
умножим по- |
|||||||
лученное выражение |
на |
. |
тпх |
. пли |
и проинтегрируем в пределах |
||||||||
sin |
-- sin |
|
|||||||||||
от 0 до а, и от 0 до Ь. При решении уравнения |
(3) |
методом Бубнова |
|||||||||||
следует иметь в виду, что интегралы типа |
|
|
|
|
|
|
|||||||
а |
Ъ |
/ |
. тпх |
. рпх \ |
. |
|
ппу |
. |
qny |
\ |
, |
||
f |
f |
|
|||||||||||
J |
J |
( s in —— s i n |
^ j |
(Sin — |
s m — |
)dxdy |
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не равны нулю в том случае, если т = р и n = q. Интегралы типа |
|||||||||||||
а |
Ъ |
|
тпх . |
рпх |
\ |
( |
|
ппу |
. |
qny |
\ , |
, |
|
Ж0 0 |
|
|
|||||||||||
cos — |
sln — |
) |
[ cos |
— |
sin — |
j dxdy |
не равны нулю, если (т ± р ) и (n ± q ) принимают нечетные значения.
Рис. 1. |
Рис. 2. |
В результате интегрирования получаем систему линейных алгебраи ческих уравнений относительно коэффициентов Атп:
АрдВ{ (р-,ф Ф1{Р\Я) + ЕЕ АтпФг{т\ n; р; q) =
|
т «1 72 = 1 |
|
кр |
8mnpq |
(5) |
= SmA |
(m2—р2) (n2- p 2) |
|
|
|
Здесь (m±p) и (га±р) — нечетные. В системе (5) использованы сле дующие обозначения:
|
Ф !(т; п) =0,25 [ аб— |
+Ar2t/iH-A:i^2—^2^/2+ |
(У^Уг) (sin |
X |
|
||||||||||||||
|
2mjt*i |
. |
2т л *2 |
\ |
|
6 |
, |
|
/ |
. |
2nnt/i |
|
. |
2плу2 |
\ |
|
|||
|
х |
|
—sin |
|
|
2nn v 1 |
^ |
\ |
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ab |
l . 2тлmnx\ |
. |
2wu/i |
|
. 2mnx2 |
. |
2wt#i |
|
. |
2mnx\ |
X |
|||||||
|
|
1,oxusin----- |
sin— г—---- |
sin----—- s in — |
---- sin |
--------- a |
|||||||||||||
|
2пттс2 '' |
|
a |
|
|
b |
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. 2nny2 |
|
. |
2mnx2 . |
2nny2 |
л |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Xsin |
|
+ |
sin |
|
sin • |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
л |
|
|
|
|
. |
(m-p)nxi . |
(n-q)nyi |
, |
v |
. w |
|
|||||||
|
Ф2(т; n; p; <7) = —K\ sin------ |
------- |
|
sin---------------- |
|
|
|
\-K2sin X |
|
||||||||||
|
у (m+p)nxi |
_.fl (n - g )n yl |
^ |
cin |
(tn-p)axi ^ |
{n+ g)nyx |
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
|
b |
|
|
3 |
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
- K . sln J m + p ) « , sln ,("+<?)"!/. +Kl s |
i |
a |
n |
s |
|
i |
n |
|
_ |
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
r |
(лН-Р)я*2 |
(n-q)nyi |
|
|
(m -p)nx2 ^ |
|
(n+q)nyx _ |
|||||||||||
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
. |
(m+p)jtx2 . |
(n+q)nyi , |
|
. |
(m -p )ju i . |
|
(n - q )n y 2 |
|
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
(m +p)nx 1 |
(n-q)my2 |
Аз Sin |
(m-p)nxi |
Sin |
(n+q)ny2 |
h |
||||||||||
— A2 Sin |
--------------- |
a |
Sin-------- |
|
|
;---------- |
|
|
a |
|
b --------- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, |
V |
im +P)nx 1^ |
(п+?)лр2 |
J, |
|
(m -p)nx2 |
|
|
(n—q)ny2 |
|
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
, |
I/ |
(>n+p)nx2 ._ (n - q ) n y 2 |
|
|
(m—p)nx2 |
|
|
(n + q)ny2 |
|
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(m+p)nx2 . |
(n+q)ny2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
—A4 sin |
------ |
-------- |
|
sin |
---------------- |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
/Cl =0,25 |
Г |
B2b |
L |
n(n — q) |
|
fiC2= 0,25 |
[ |
B2b |
n(n —q) |
||
X3 = 0,25 [' |
B2b |
|
|
■n(n + q) |
|
|
' |
B2b |
/<4=0,25 | |
|
|
B3a |
B4b (m —p) |
Bba (n - q) |
|
+ n(m —p) |
a(n—q) |
b(m—p) |
|
|
+ |
B3a |
B4b(m + p) |
B5a(n—q) |
-fie] |
(m + p) л |
a(n—q) |
b (m+p) |
||
|
B3a |
_ B4b(m — p) |
B5a(n + q) |
|
+ я ( т —p) |
a(n + q) |
b(m — p) |
- - f i e ] ; |
|
+ |
B3a |
B4b(m+p) |
B3a(n + q) |
+5б ]; |
n{m+p) |
a(n + q) |
b{m + p) |
_ I ran Y |
В2 = —DXQC2~ |
B{=DX° \ — ) • |
B$— |
2D 2/0Ca 4Dm( = ) ! ( |
~ ) |
; |
b , _ |
|
A*oCi‘> |
B$= DyoCi'y |
|
^ |
^ |
т/гя2 |
|
|
|
|
|
|
|
M i-lтг2 |
|
|
|
|
|
BG= 4DIIQ— -— |
|
|
|
|||
|
|
|
ab |
|
|
|
|
c, |
|
C 2 = ( ^ |
L )‘ |
/ / 72Я |
\ / |
||
|
|
|
|
|
_I_ . |
|
|
C3 = m /т о , |
|
r . _ l |
|
|
|
||
При сохранении в системе уравнений |
(5) двух первых значений индек |
||||||
сов т и п , |
равных 1 и 2, получаем систему из четырех уравнений: |
||||||
A\\B\Q)l + А12Ф2+ Л 21Ф2 + А22 ^ Ф2---- — *$кр j |
= 0; Л 11Ф2+ А\2 (В\Ф^ + |
||||||
|
+ Фг) +^21 ^ ФгН— |
*SKp j +Л 22Ф2 = 0; |
(6) |
А\\Фг+^12 ^ ФгН— д- *5кр j +Л 21(-S1Ф1+ Фг) +Л 22Ф2 = 0;
А ц ^ Ф2----g- SKр j +An®2+A2i®2+A22(Bi®i + Ф2) =0.
Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение от носительно критической нагрузки SKp.
В качестве иллюстрации рассмотрим прямоугольную шарнирно опер тую пластину с вырезом, выполненную из материала СВАМ 10: 1. Пусть размеры этой пластины будут а = 0,2; Ь = 0,1; /г = 0,002 м. Параметры ма териала: £ х=198; £^ = 400; G = 71,5 кПа; рц = 0,222; pi2 = 0,110. Расчеты, выполненные «на руках» для пластины с вырезами различной площади, дают результаты, представленные в таблице и на рис. 2. Расчеты выпол нялись приближенно с учетом наиболее весомых членов системы (6).
В случае квадратной изотропной пластины без отверстия системы (6) дает следующий результат. Имеем: х\=х2 = у\ = у2; Dxo = Dyo = Dxyo=DQ\ a = b. В этом случае Ф2 = 0 при
любых индексах m, n, р, q\ Ф* =
= 0,25а2; |
В,=А>я4[ ( — f |
+ |
/м \212 |
L \ а J |
(6) |
+ 1—I I |
Система уравнений |
запишется так:
Ап -0,25a2£ i—А22 32 Si<p = 0;
32
Ai2 • 0,25a2£ i+ A 2i ——£кр= 0;
32
A2I *0,25a2£ i+ A i2 —- Si<p = 0;
A22*0,25a2£ i —Aw ■^ Sup — 0.
^ПЛ' м2 |
•^ОТП’ м“ |
-Г0тн’ % |
®отп' % |
0,02 |
0 |
0 |
100 |
0,02 |
0,0012 |
0,06 |
95- |
0,02 |
0,0032 |
0,16 |
85 |
0,02 |
0,0050 |
0,25 |
74 |
П |
Примечания. Fna — площадь пластины; |
|||
— площадь отверстия; F0тп= |
Fom |
|||
гота |
~~в— — |
|||
относительная |
площадь |
отверстия; |
Г пл |
|
S0Tu = |
||||
£ |
отп |
|
|
|
= |
крii -Г — отношение |
5 ир пластины с от- |
||
верстнем к SKp |
пластины без отверстия. |
Эта система распадается на две независимые системы относительно
коэффициентов |
Атп, |
в |
одной из которых коэффициенты имеют ин |
|||||
дексы, сумма |
которых |
четное |
число, |
в другой |
нечетное. Рассмот |
|||
рим первую из них: |
|
оо |
|
|
32 |
|
||
А ц -0,25a2Bi — А22 |
|
|
|
|||||
~ S I(p=0; A22'0,25Q'B I |
Л и — |
Sup 0. |
||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
э |
|
Определитель, этой системы дает наименьшие корни. Здесь |
||||||||
|
г |
/ п |
|
4л4°° |
|
п м |
64яФо |
, |
|
5 i (1;1)= |
- ^ - ; |
|
Bi(2,2) — |
— |
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
71ADQ |
_ |
_32 |
|
|
|
|
||
32 |
|
|
”9“ |
|
|
|
|
|
5 нр |
16л4/)0 |
|
|
|
|
|||
~ |
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 6 |
\ n-D0 |
л 2D0 |
|
где К —11,1. Точное значение коэффициента К =9,34 [4].
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Преображенский И. Н. Устойчивость прямоугольных пластинок с круговыми от
верстиями. — В кн.: I Всесоюз. коиф. по проблемам устойчивости в строительной ме ханике: Тез. докл. 1972, с. 65—67.
2.Преображенский И. Н. Устойчивость и колебание пластин и оболочек с отвер
стиями. М., 1981. 190 с.
3.Налоев В. Г: Устойчивость пластин с вырезами. — В кн.: Теория оболочек и
пластин: Тр. IX Всесоюз. коиф. по теории оболочек |
и пластин. Л., 1975, с. 138— 140. |
4. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М., |
1963. 879 с. |
Завод-ВТУЗ при Московском автомобильном |
Поступило в редакцию 08.12.81 |
заводе им. И. А. Лихачева |
|
Государственный комитет СССР по науке и технике, |
|
Москва |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 4, с. 653-662
УДК 539.3:534.1 + 678.067
А. Е. Богданович, Э. Г Фелдмане
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И ПРОЧНОСТЬ СЛОИСТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВОМ УДАРЕ
В ряде экспериментальных работ (например, [1—4]) было уста новлено, что процесс выпучивания, цилиндрических оболочек, подвер женных осесимметричной осевой ударной нагрузке, начинается сразу же вслед за ударом и развивается около торца, по которому произве ден удар. На первой стадии выпучивание носит осесимметричный ха рактер, причем прогиб в окрестности торца всегда развивается в на правлении внешней нормали. Объясняется это стесняющим влиянием граничных условий на торце, приводящим к ярко выраженному крае вому эффекту. В более поздние моменты времени прогиб на некотором расстоянии от торца обращается в нуль, оформляется первая кольце вая складка. В дальнейшем процесс осесимметричного выпучивания может либо распространиться на всю поверхность оболочки (что на блюдалось в ряде экспериментов [3, 4], либо перерасти в процесс неосесимметричного выпучивания, обусловленный наличием неосесим метричных начальных несовершенств и заключающийся в образовании нескольких поясов ромбических вмятин и выпучин (это наблюдалось практически во всех известных экспериментальных исследованиях).
Процесс неосесимметричного выпучивания, в отличие от осесиммет ричного, начинает интенсивно развиваться лишь через значительный промежуток времени после приложения внешнего воздействия, по до стижении нагрузкой величины, превышающей критическое статическое значение. Напряженное состояние в оболочке, складывающееся на ста дии осесимметричного выпучивания, служит, таким образом, фоном, на котором происходит развитие неосесимметричных деформаций. Вслед ствие этого исследование краевого эффекта и расчет напряженно-де формированного состояния на стадии осесимметричного выпучивания интересны с точки зрения дальнейшего исследования процесса неосе симметричного выпучивания. Кроме того, потеря несущей способности оболочки, подверженной осевому удару, при определенных условиях может наступить еще до заметного развития неосесимметричных де формаций, что придает расчету осесимметричного выпучивания само стоятельный интерес.
Задача расчета в геометрически нелинейной постановке осесиммет ричного деформирования цилиндрической оболочки, подверженной осевому удару, поддается эффективному решению лишь численными ме тодами. Конечно-разностные методы были применены к этой задаче, видимо, впервые в работе [5]. Результаты представлены в виде зави симостей прогиба от осевой координаты в несколько последовательных моментов времени. Было установлено, что расположение максимума прогиба с течением времени меняется, но ни в одной точке прогиб не обращался в нуль, т. е. согласно этим результатам выпучивание на всей поверхности оболочки происходило наружу. Результаты, получен ные в последующих расчетах [2, 3, 6], также выполненных конечно разностным методом, лучше отражали экспериментально наблюдаемую картину выпучивания оболочки на осесимметричной стадии. Было по лучено, что в определенный момент времени прогиб на некотором рас стоянии от торца обращается в нуль, после чего происходит «прощел-
кивание» оболочки вовнутрь и в конечном итоге образуется ряд кольце вых поясов вмятин и выпучин. В [7] методика расчета, разработанная в этих работах, была обобщена на случай однородных ортотропных оболочек. Отметим, что результаты в перечисленных работах приве дены лишь для двух типов условий закрепления торцов — жесткого защемления [5] и шарнирного опирания [2, 3, 6, 7].
В настоящей работе поставлены три основные цели. Во-первых, ис следовать применимость различных возможных типов уравнений дви жения (безмоментных, линейных моментных, уравнений нелинейного динамического краевого эффекта) для расчета осесимметричного на пряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при осевом ударе. Во-вторых, проанализировать краевой эффект при раз личных видах граничных условий на торцах и установить расположе ние зон наиболее опасного выпучивания. В-третьих, путем послойного анализа прочности с использованием тензорно-полиномиального крите рия исследовать местоположение первой зоны разрушения и время до первого разрушения слоя в зависимости от скорости нагружения, усло вий закрепления торцов и структуры многослойного пакета оболочки.
1. Краевой эффект в цилиндрической оболочке при осевом ударе.
Рассмотрим ортотропную* круговую цилиндрическую оболочку длиной L, толщиной Л, радиусом срединной поверхности R. При описании на пряженно-деформированного состояния будем исходить из гипотез Кирхгофа—Лява и обобщенного закона Гука для ортотропного мате риала. Приведем возможные варианты уравнений осесимметричного движения, расположив их в порядке усложнения:
1) безмоментные уравнения |
|
|
N'x=ii |
д2и в Ny _ d2w |
( 1) |
|
Ж ’ ~ R =ll~dF |
|
и соотношения между усилиями и перемещениями |
|
|
Ns=Cnu ' - C n |
ц у=Саи ' - С а ^ р - - , |
(2 ) |
w = w0+ — ~ — (Cl2Nx- C nNv)-, и'= |
( 3) |
|
W 1 ^ 2 2 — W 2 |
^ 1 1 ^ 2 2 “ Ь 12 |
|
где и — осевое перемещение; w — прогиб; до0 — начальный прогиб; Nx, Ny — осевое и кольцевое усилия; р — масса единицы поверхности оболочки; Cij — жесткости ортотропного пакета [8]; штрихом обозна чена производная по координате х вдоль образующей. Используя (1) и (3), уравнения движения можно записать в усилиях:
&NX = CnN"x- j p N v-, р |
=Cl2N"x- |
— N.V> |
(4) |
dt2 |
дР |
R2 |
|
2) линейные моментные уравнения |
d2w |
|
|
д2и Ny |
(5) |
||
n *= v ~№ |
- v - w |
|
|
|
|
где Dn — изгибная жесткость пакета [8]; связь между усилиями и перемещениями устанавливается формулами (2). После несложных преобразований система (5) может быть записана относительно про гиба и осевого усилия:
d*2W |
|
= - D n ( w - w 0)"" |
С ц С о 2 — Ci22 |
D 12 |
|
Р ~Н7Г |
------ — |
— - ( w - W o j + ^ r - - N x; |
|||
дР |
|
|
CnR2 |
CnR |
|
d2Nx |
Р цСц ( w - w 0)‘ , , |
C’i2(CnC22—С]22) |
Cl22 |
||
I*- дР |
|
R |
|
CnR3 |
( » - » . ) - - ^ x |
XNx+ C nNx"-
* Неортотропные оболочки рассмотрены в п. 3.
3) простейший вариант уравнений с геометрической нелинейностью можно получить, добавив во вторые уравнения (5) и (6) нелинейный член (Nxw')'\
|
д‘*и |
N |
|
|
dPw |
(7) |
|
; |
~ |
- D ll( w - w 0)""+{Nxw')' = li - :7r |
|||
или |
01* |
л\ |
|
|
at2 |
|
|
|
С11Соо—СiQ2 |
С19 |
|
|
|
d2w |
|
|
|
|
||
р —— = -£ > ц (ш -ш 0)////--------р„ (до-до0) + - -— NX+ (Nxw')'; |
|
|||||
dt2 |
|
|
CnR2 |
c nR |
|
( 8). |
d*Nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
С,г(С|; С ъ7/С |
| |
- ^ 4 |
X |
|
» — |
я |
|
||||
c^2 |
|
C |
|
СПЯ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
связь между |
усилиями |
и |
перемещениями сохраняется |
линейной |
(2); |
4) дополнив систему (7) нелинейными соотношениями между уси
лиями и перемещениями |
|
Nx** = с„ ( u ' + ± w n ) - C ia^ Z - , Ny= Ci2 |
w'2 ) —С22— 7Г — > |
|
(9) |
придем к уравнениям, которые по аналогии с соответствующими урав нениями в статическом случае [9] будем называть уравнениями нели нейного динамического краевого эффекта. Подставляя (9) в (7), по лучаем
Си ( к '+ i » " ) -
1 Г ( ы'+ \ w'2) |
R2 |
- Dii(w ~ wo)""+ [ Си (« '+ Y |
w'2) х |
||
|
|
|
|
|
|
|
до —до0 |
, У |
д2до |
|
|
|
X w ' - C 12- |
R |
■ш = ц |
dt2 |
(Ю ). |
Уравнения безмоментной теории будут интегрироваться в перемен ных Nx, Ny\ линейные моментные уравнения (6), а также уравнения
(8) — в переменных Nx, до; уравнения нелинейного динамического краевого эффекта (10) — в переменных и, до. Остальные неизвестные функции могут быть для каждого из случаев определены по формулам (3), (2) и (3), (9) соответственно.
В дальнейшем будут рассмотрены следующие шесть типов гранич ных условий на торцах оболочки:
w = w" = 0,
>ч II |
|
§ II £ |
о |
до^до'^О ,
Nx= - Pit) при x = 0, L;
Nx= - P i t ) при x = 0,L; Nx==- P ( t) при A=0, L;
(11)
(12)
(13)
w' = w'"=0, Nx——P(t) при *=0; |
|
до = до'=0, Nx= —P(t) |
при x = L; |
||||||
w' = w"' = 0, |
Ых<=—Ру) |
|
|
|
|
|
х=Ь\ |
(14) |
|
при х = 0; |
ы = до = до' = 0 при |
(15) |
|||||||
w'=w"' = 0, |
Nx= —P(t) |
при а' = 0 ; |
и= до = до"= 0 при .x—L. |
(16) |
|||||
Начальные условия зададим в. виде |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dw |
|
Л |
I |
ди |
|
|
|
до ,=о=аУо; |
~dt |
(=0=0; |
u]t=0=l T «-» = 0; |
|
|
||||
|
dNy |
|
Л |
|
dNx |
|
|
||
А^ж|(=о=й/у| (=о= |
dt |
= |
0 |
; |
— - |
= 0 при 0<.x<.L\ |
|
||
<-о |
|
dt |
г=о |
|
|
||||
|
dNx |
t=о |
dP |
|
|
(=0 при х = 0', L. |
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
Численное интегрирование всех приведенных вариантов уравнении движения проводилось по продольной схеме метода прямых. Входящие в уравнения и граничные условия дифференциальные операторы по пространственной координате аппроксимировались соответствующими конечно-разностными операторами, в результате чего исходная смешан ная краевая задача сводилась к задаче Коши для системы обыкновен ных дифференциальных уравнений. Если конечно-разностная сетка по координате содержит N + 2 узла, считая граничные точки л;= 0 и x = L, то получается задача Коши для системы 4N уравнений первого по рядка. Особую роль в рассматриваемой задаче играет неоднородное граничное условие Nx\x=0tL= —P(t), которое при решении уравнений
(10)нелинейно и содержит производные от искомых функций. В связи
сэтим при использовании равномерной конечно-разностной сетки это граничное условие аппроксимировалось с четвертым порядком точно сти, в то время как уравнения и остальные граничные условия — со вторым. Задача Коши интегрировалась методом Рунге—Кутта четвер того порядка. Сходимость вычислительной схемы проверялась измене нием числа узлов от N= 99 до N = 299. Для величины скорости нагру
жения V=5P* (см. ниже) при N=199 и N = 299 были получены практически совпадающие результаты. Численные расчеты для этой ско рости (а также для более высоких скоростей) проводились при N = = 199. Для V= P* оказалось необходимым принять N=^299.
В качестве примера рассмотрим оболочку из однонаправленного
углепластика с армирующими волокнами, |
ориентированными вдоль об |
||||
разующей. |
Примем R/h = 200; |
L/R = 2; |
Е\ = 11,95-1010 |
Н/м2; |
Е2 = |
= 0,95-1010 |
Н/м2; Gi2 = 0,457• 1010 |
Н/м2; vi2 = 0,3; р= 1,5-103 |
кг/м3; |
ш0 = 0. |
Осевое сжимающее усилие на торцах будем считать линейно растущим
во времени. Введем безразмерное время т = ^ -, где с= |/ —^ — скорость
продольной волны сжатия в оболочке; тогда Р(%) = Vx. Скорость на гружения V можно задавать через эйлерово критическое усилие, рав ное для рассматриваемой оболочки Р*= 0,265-Ю6 Н/м. В дальнейшем, если это не оговорено особо, принимаем V=5Р*.
Рассмотрим результаты интегрирования безмоментных уравнений
(4). На рис. 1 приведены зависимости осевого напряжения ox=Nx/h от координаты х в несколько моментов времени. Во-первых, отметим, что расчет точно дает введенную выше скорость распространения волны нагрузки с. Наиболее интересный результат состоит, видимо, в следую щем. Вскоре после того, как продольные волны, движущиеся симмет рично от обоих торцов, встречаются (при т = 0,25) в середине оболочки, напряжение ох становится весьма слабо зависящим от координаты.
-бхю 8н/м2
--------- U 6 -
Рис. 2. Зависимости прогиба от координаты л: при решении трех типов уравнении
движения.