Механика композитных материалов 6 1980
..pdfВ связи с этим поиск новых методов регулирования начальных напря жений представляет значительный практический интерес. Один из та ких методов и рассматривается в данной работе. Он заключается в опре делении закона изменения коэффициентов термического расширения аг и ао, обеспечивающего отсутствие температурных напряжений при одно родном изменении температуры в анизотропном кольце. Требуемое из менение коэффициентов температурного расширения предлагается осу ществлять за счет легко реализуемого технологически изменения угла намотки ф(л) по радиусу наматываемого изделия. Таким образом, за дача сводится к определению зависимости qp(г), обеспечивающей отсут ствие напряжений в кольце при любом однородном изменении его темпе ратуры. Для решения этой задачи, положив аг=сге = сг2 = 0, получим из уравнения совместности осесимметричных деформаций в цилиндрически ортотропном кольце зависимость между коэффициентами температур ного расширения
,ar= -^ -(pa0), |
(1) |
где p= r/rD; гв — внутренний радиус. При выполнении этой зависимости однородное изменение температуры в кольце не вызывает появления напряжений.
Отметим, что уравнение (1) справедливо не только для линейно-уп ругого тела, но и при любой связи между напряжениями и деформа циями. В случае, если аг,е зависят от температуры, уравнение (1) можно
решать относительно величин
тг
а%,е=-=— J ar,Q(T)dT,
1 2 ~ 1 1~
где Т1, Т2 — начальная и конечная температуры кольца. В этом случае изменение температуры на величину Т{—Т2 не будет сопровождаться появлением напряжений, хотя в процессе самого изменения темпера туры от Ту до Т2 напряжения могут появляться.
Частное решение аг= ае = const, соответствующее изотропному или трансверсально-изотропному кольцу с плоскостью изотропии, перпенди кулярной оси кольца, не представляет интереса. Считая аг и ае функ циями от угла намотки ср (угла между окружной координатой и нап равлением укладки нити или жгута на поверхность наматываемого из делия), перепишем (1) в виде
dae dq>
аг(ф) -а е (ф ) =р dq> dp
Используя начальное условие р = 1, ф = фв, получаем
р= ехр [ J { |
- ^ - |
------i^ - -“— } ^ф] |
(2) |
<Рв |
с?ф |
аг(ф)—ае(ф) |
|
Уравнение (2) определяет функцию р(ф), обратную искомой ф(р). Рассмотрим возможное упрощение зависимости (2). Оно связано с тем, что аг — коэффициент температурного расширения перпендикулярно к слоям — мало зависит от направления укладки арматуры в слоях (это подтверждается и данными, приведенными на рис. 1—б). Положив аг= const, из (1) получим (аг—ае)р = С, где С = аг — ае(фв); (ф= фв при Р=1). Окончательно получаем следующий вариант упрощенной записи
( 2) :
ССг |
ОС0 (фв) |
/о\ |
Р = ----------- |
7~^Г- |
W |
« г — а е ( ф )
100
75
50
25
0 |
10 |
30 |
50 |
70 |
90 |
Рис. 1. Зависимость коэффициентов температурного расширения пакета слоев в окруж ном (а) и радиальном (б) направлениях от угла намотки у стекло- (/), боро- (2), угле-
(3)и органопластиков (4) на эпоксидном связующем.
2.Перейдем к определению зависимостей аг,е(ф) для материала ци линдра, образованного спиральной намоткой композита, т. е. усреднен ных коэффициентов температурного расширения слоистой среды, состоя щей из набора цилиндрических ортотропных слоев (i) с осями ортотро-
пии 2^, повернутых на угол ср относительно окружного направления 0, причем углы поворота соседних слоев равны по модулю, но противо положны по знаку. Подобная задача рассматривалась в [14] при пред положении о плоской деформации слоев (е2 = 0). Целесообразно полу чить решение без предварительных ограничений на характер напряжен ного состояния пакета в целом. С этой целью запишем кинематические и статические условия, характеризующие совместную работу слоев в па кете, относительную толщину слоев будем считать одинаковой:
кинематические условия
статические условия
Обозначения в угловых скобках относятся к характеристикам материала в целом; обозначения без скобок — к характеристикам слоев; верхний индекс — номер слоя; оси ортотропии пакета слоев — 0, z, г\ оси ортотропии слоя — 1, 2, 3; оси г и 3 совпадают; оси 1, 2 повернуты на угол ф относительно 0, Z B слое i и на —ф в слое i + 1.
Уравнения связи между усредненными деформациями и напряже ниями в пакете слоев запишем в виде
<е0> = <а е>ДГ + <а00><а0> + <а02> <ст2> + <а0г> < аг>;
.<8z> = <а2> Д Г + <а20><а0> + <а22><а2> + < а 2Г><(Тг>;
= <аг>ДГ -Ь (с1го)(овУ -Н (.С1г2у^<т2^ -I- (cirr^^Or) >
<е02> |
^£('0^ = |
^ОгбХ {&rz)_= (CLTiTi)_ (j3rz) • |
Коэффициенты температурного расширения определяем, полагая все усредненные напряжения равными нулю, а изменение температуры Д71 постоянным во всех слоях. Используя (4), (5) и выражая коэффициенты податливости и коэффициенты температурного расширения слоев в нап
равлениях 0, z, г через константы в их осях ортотропии |
(1, 2, 3), полу |
||
чим, |
что в слоях все напряжения равны нулю, за |
|
исключением |
СlQz(i)= |
- O Q z (i+ l): |
|
|
|
(оь2 — а\)АТ ~ sin2<p |
|
|
|
Gez[i) = - |
|
( 6) |
|
[ (ai i + a22 — 2 ai2) sin2 2q> + al2l2 cos2 2(p] |
|
Используя (6) и формулы для преобразования а и а из 1, 2, 3 в 0, z, г для записи левых частей первых трех уравнений из (4), зависимости
(5) — для записи правых частей уравнений (4), получим
<ae>_=ai cos2 ф+jbc2 sin2 <p+ [2(a22 sin2cp — an cos2(p) +
+ (ai2i2+ 2ai2) cos 2cp]-^- sin2 2(p {ai — a2)/[{an + a22—
—2ai2) sin2 2ф+ ai2i2 cos2 2cp];
,<az>_=ai sin2 q> + a2 cos2 ф-f [2(a22 cos2 ф — an sin2 ф) —
— ( ^ 1 2 1 2 |
+ 2aJ2) cos 2ф] -i- sin2 2ф(ai — a2)/ [ (aii + a22 — |
|
|
—2а12)з т 22ф+ ai212 cos2 2ф]; |
(7) |
<ar> = а з + у |
sin2 2ф (a23 - ai3) (ai - a2) / [ (aii + a22 - |
2fli2) sin2 2ф + |
|
+ fll2 12 cos2 2ф]. |
|
Коэффициенты матрицы податливости слоя ац> выраженные через тех нические постоянные, имеют вид: aii = l/£V, a22= l / £ 2; а\2= а2\= — VI2/E2= = —v2i/El] a\2\2 =\jG\2. Зависимости аг,е(ф) для материалов, образо ванных намоткой четырех различных однонаправленных композитов (их свойства приведены в таблице), представлены на рис. 1. Коэффициент температурного расширения в осевом направлении а2(ф) =ае(90° — ф).
Как видно из этих данных, наибольшей анизотропией коэффициентов термического расширения обладают органопластики. Поэтому для этих материалов вопросы борьбы с температурными напряжениями представ ляют наибольший интерес.
Свойства однонаправленных композитов на эпоксидном связующем [15]
|
|
Тип арматуры |
|
|
Характеристика* |
стекло |
углеродное |
волокно |
органо |
|
||||
|
волокно |
волокно |
бора |
волокно |
(Ю~6 1 /град) |
3,750 |
-0,280 |
6,120 |
-6,000 |
a2=a3. (10-6 1/град) |
16,700 |
40,000 |
30,400 |
90,000 |
ап (10_6 см2/кгс) |
1,615 |
0,541 |
0,487 |
1,163 |
аа=азз. (10—6 см2/кгс) |
3,950 |
9,520 |
4,530 |
23,200 |
а1212. (10_6 СМ2/КГС) |
20,000 |
20,000 |
18,200 |
58,800 |
а12=а|3. (Ю -6 см2/кгс) |
-0,370 |
-0,150 |
-0,083 |
-0,372 |
а23 (10-6 см2/кгс) |
-1,950 |
-4,750 |
-2,260 |
-11,600 |
* Направление 1 совпадает с направлением волокон, направления 2, 3 перпендику лярны волокнам.
Рис. 2. Изменение угла намотки, обеспечивающее отсутствие термоупругих напряжении в кольцах из стекло- (/), боро- (2), угле- (3) и органопластиков (4) в диапазоне отно сительных размеров от 1 до 10 (2—а); начальные и средние участки кривых показаны на рис. 2—б, в. Кривая 5 на рис. 2—а соответствует зависимости (8). Кривая 6 на рис. 2—а соответствует зависимости (3) для стеклопластика при a r=const = a r Шах, кривая 7 —
зависимости (3) при a r = const = amin.
3. Зависимости (7) были использованы при численном интегрирова нии уравнения (2). В качестве начального условия полагалось срв=0 при р=1. Если не ограничивать верхний предел изменения угла намотки Ф , то предложенным методом оказывается возможным устранить темпе ратурные напряжения в цилиндрах любых относительных размеров. Это утверждение достаточно очевидно — при ф->-я/2, ае-*-аг материал ста новится монотропным в отношении термоупругих свойств, и в кольце из него температурные напряжения при однородном изменении темпера туры не появляются; естественно, что такое кольцо можно изготовить любых размеров. Это можно видеть и из уравнения (2): при ае-ихг р—>-оо. Результаты численного интегрирования уравнения (2) при зави симостях аг,е(ф), приведенных на рис. 1, представлены на рис. 2. Эти данные являются универсальными в том смысле, что их можно использо вать при любых начальных условиях — значениях ф= фв на внутреннем радиусе в наматываемом кольце заданных относительных размеров т. При этом для определения ф(р) придется только менять масштаб вдоль оси р. Это осуществляется следующим образом: на графике выбирается рв, соответствующее заданному начальному значению фв; это значение рв и будет соответствовать внутреннему радиусу; текущий радиус кольца Наружному радиусу ры= т будет соответствовать на графике величина
р= г/лв при фв=т^=0 будет связан со значениями р на графике как р= р/рв- р= /прв. На графике рис. 2 показаны различные диапазоны изменения углов намотки, обеспечивающие отсутствие температурных напряжений в кольце с rJrB= 2 , при различных начальных условиях на внутреннем радиусе фв = 0, фв. , фВ2, фВз, фВ4. Диапазон возможных изменений угла намотки следует выбирать таким, чтобы удовлетворялись требования к несущей способности изделия. Следует отметить, что этот вопрос — опре деление несущей способности трубы, кольца или оболочки с переменным углом намотки по толщине является малоизученным. Для его исследо вания можно применить, например, метод послойной оценки несущей способности с выключением разрушившихся монослоев из работы [16].
Рассмотрим некоторые возможные упрощения зависимости (2). Пер вое из них связано с переходом к зависимости (3), т. е. с пренебреже нием изменением коэффициента аг при изменении угла. Если при этом
принять |
в |
качестве |
ar = const максимальное значение |
этого |
коэффи |
циента |
при |
ф±45° |
(см. рис. 1— б), то зависимости (2) |
и (3) |
практи |
чески совпадут. Если принять за ar= const минимальное значение этого коэффициента, то отличие будет более существенным, хотя и не очень большим (см. рис. 2—б). Таким образом, допущение ar= const представ ляется вполне приемлемым.
Qi+\ и ez = const и зависят, кроме того, от упругих констант, коэффициен тов термического расширения, перепада температуры, отношения радиу сов Ci= rilri+\, текущего безразмерного радиуса р= г//ч+1. Ввиду громозд кости и очевидности эти выражения не выписываются. Последним из
(п + 2) уравнений системы было равенство нулю осевой силы: |
1 |
п |
2я ^ /i+ l2 J(7z(p)pdp = 0. i=l cf
После решения системы и определения всех qi и ez = const напряжения рассчитывали по формулам
(Jr= A jWp* - 1- Л2(i)P_ft_1 + D i + B i E z)
|
GQ= A !«)kph~l+ A 2ii)kp-h~l + Di + BiEz\ |
(9) |
|||
|
CTZ = Ezlazz(i] + Vrz(i) Or + V0Z(% 0 — OLz{i)ATJazz(i>, |
||||
где |
1 |
|
|
|
|
|
[ ( D i + EzB i ) |
(cift+1 - 1) + q i C i W |
- q i + i \; |
||
|
(1 -C i2ft) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dh+l |
|
|
|
|
Л2<4>=> ( l - c F ) |
[ ( D i + E z B i) |
( 1 - C ih~ l ) + q i - q i + i C i h- 1] ; |
|||
м |
РоЮ-РгЮ |
n |
v „ ‘4) - v e.W |
|
|
Д<=~ |
0 - f t eew 'Ar: |
|
Pe= “ e+Ve^ ; |
||
|
|
Pr='ar+Vrzaz; |
|
||
ЬТт— O-rr Q'Tz'lQ’Zz> ^00 = 000 |
O'Qz’jdzz', V rz= |
Qrz/Ozzj |
|||
|
V0Z= —a0Z/azz; |
&=У&гг(г,/^00(г)* |
|
||
Рассчитанные по зависимостям |
(9) напряжения ar и а© в цилиндре |
с т = 5 и с переменным углом намотки, изменяющимся от фв = 0 в диапа зоне, определяемом графиком на рис. 2—а, малы по сравнению с напря жениями, возникающими в однородном цилиндре, намотанном с любым постоянным углом намотки из того же диапазона.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Бидерман, В. Л., Дмитриенко И. П., Поляков В. И., Сухова Н. А. Определение
остаточных напряжений при изготовлении колец из стеклопластика. — Механика поли меров, 1969, № 5, с. 892—898.
2.Болотин В. В., Болотина К. С. Технологические напряжения и трансверсальная
прочность армированных пластиков. — В кн.: Прочность материалов и конструкции. Киев, 1975, с. 231—239.
3. Болотин В. В., Воронцов А. Н. Образование остаточных напряжений в изделиях из слоистых композитов в процессе отверждения. — В кн.: Механика деформируемого твердого тела и теория надежности конструкций. Тр. Московск. энерг. ин-та. 1975. М., вып. 227, с. 55—62.
4. Портнов Г. Г., Бейль А. И. Модель для учета нелинейности свойств полуфабри ката при силовом анализе намотки композитов. — Механика полимеров, 1977, № 2,
с.231—240.
5.Тарнопольский Ю. М., Портнов Г Г. Программированная намотка стеклоплас
тиков. — Механика полимеров, 1970, № 1, с. 48—53.
6. Портнов Г Г., Спридзанс Ю. Б. Намотка колец из стеклопластика с изменением усилия натяжения по программе. — Механика полимеров, 1971, № 2, с. 361—364.
7. Благонадежин В. Л., Перевозчиков В. Г Остаточные напряжения в кольцах из стекдопластика, полученных методом послойного отверждения. — Механика полимеров, 1972, № 1, с. 174— 176.
Изменение параметров коронарного |
Для |
расширения |
круга |
|||||||||||
кровообращения при включении в работу |
задач, |
которые |
можно |
ре |
||||||||||
насоса-баллончика, % к исходному уровню |
шать |
с |
|
помощью |
предло |
|||||||||
|
|
|
|
Результаты |
женной модели, в нее вве |
|||||||||
|
|
|
Резуль |
эксперимента |
дена зависимость количества |
|||||||||
Исследуемый |
|
после |
начала |
кислорода, |
потребляемого |
|||||||||
|
таты |
контрпульсации |
||||||||||||
параметр |
|
модели |
|
|
сердечной |
мышцей |
за |
|
один |
|||||
|
|
|
рования |
через |
через |
цикл |
сокращения, М У02 от |
|||||||
|
|
|
|
30 с |
10 мин |
средней |
|
величины |
потока, |
|||||
|
|
|
|
|
|
протекающего по |
обменным |
|||||||
Средний |
поток |
в |
-33,0 |
I см 1 |
1-10 |
сосудам |
|
миокарда |
|
QK |
||||
систолу |
|
|
4,0 |
- 11 |
(рис. 3). Эта зависимость |
|||||||||
Средний |
поток |
в |
6 |
представляет |
собой |
аппрок |
||||||||
диастолу |
в |
1,5 |
1. |
-1 0 |
симацию |
результатов |
|
опы |
||||||
Средний |
поток |
|
||||||||||||
течение цикла |
|
|
|
|
тов работы |
Дэниэля |
|
[13]. |
||||||
Потребление кис |
1,5 |
- 8 |
- 8 |
Далее |
была предпринята по |
|||||||||
лорода |
миокар |
|
|
|
пытка |
моделирования |
коро |
|||||||
дом |
|
|
|
|
|
нарного кровотока |
с учетом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
возмущений, |
вносимых |
ра |
||||||
|
|
|
|
|
|
ботой |
|
|
внутриаортального |
насоса-баллончика. Результаты моделирования и данные эксперимен тов, проведенных на животных с интактными сердцами [14], представ
лены в таблице.
Анализ данных, приведенных в таблице, показывает, что модель правильно воспроизводит реакцию коронарного кровотока на включение в работу насоса-баллончика в течение начальной фазы опыта. Однако с течением времени характеристики потока в сосудистом русле сердца резко изменяются и перестают соответствовать результатам моделиро вания.
В опытах на животных снижение коронарного кровотока и потреб ления кислорода неишемизированным миокардом наблюдается при работе насоса-баллончика вслед за их первоначальным увеличением. Принято считать, что это снижение, связанное с уменьшением работы левого желудочка, происходит из-за эффекта «разгрузки сердца». При этом предполагается, что основную роль в формировании такой реак ции сердца играют механизмы саморегуляции коронарного кровотока [15, 16].
Оценить деятельность этих механизмов можно с помощью анализа результатов соответствующих экспериментальных исследований. Так, в работе [17] показано, что при внезапном увеличении давления перфу зии коронарной системы изолированного сердца поток в ней вначале резко возрастает, а потом постепенно снижается практически до ис ходного уровня. С другой стороны, в экспериментах [18] перфузия ко ронарного русла совершалась от источника постоянного давления, при чем наблюдалось повышение или понижение коронарного кровотока в ответ на соответствующие изменения механической работы миокарда.
Сопоставляя эти данные, можно предположить, что равновесное со стояние в системе коронарного кровообращения наступает при дости жении баланса между доставкой кислорода и других продуктов обмена к миокарду и его энергетическими затратами. Это динамическое рав новесие между доставкой и потреблением возможно лишь при посто янной величине сопротивления коронарных сосудов. При сдвиге равно весия в ту или иную сторону включаются в работу механизмы само регуляции коронарного кровотока, которые соответствующим образом изменяют сопротивление коронаров.
Приняв это предположение, можно частично объяснить расхождение результатов моделирования и экспериментальных данных, наблюдае мое по истечении первых 30 с опыта (см. табл.). Действительно, ведь