Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета
..pdfСравнивая эту формулу с формулой (59) для среднего числа положи тельных пересечений среднего уровня, получаем еще одну интерпре тацию параметра 0:
|
|
Умакс ( — <*>) |
(90) |
|
|
|
|
|
|
у + ( ° ) |
|
Возвратимся к формуле (85). Подстановка сюда выражений (86), |
|||
87) и (88) после небольших преобразований дает: |
|
||
РмакЛу»)^-=--- |
p'V |
+ |
|
( Кк РР2- 1 е х р [ . |
|||
V |
2лра* |
2(p2- l K |
J |
, 2 я — |
exp |
( — ^ ) Ф ( -------— ------- ) J• |
(91) |
Формула (91) была впервые получена Райсом [99].
Пусть параметр (3 достаточно близок к единице. Тогда первое сла гаемое в фигурных скобках формулы (91) будет достаточно мало по
сравнению со вторым. Во втором же слагаемом можно положить |
|
|
если |
н, > 0; |
(92) |
Ф |
t v - o . |
|
если |
|
Таким образом получаем простую формулу для плотности распреде ления максимумов узкополосного процесса:
Рынке (^ *) ~
если |
* . > 0 ; |
(93) |
|
|
|
если |
^ 0. |
|
Из формулы (93) Ъидно, что распределение максимумов узкополосного процесса приближенно следует распределению Релея. Кстати, форму ла (93) может быть получена из приближенной формулы (78), если под ставить в нее вместо v+(n*) выражение (58).
Пусть теперь Р ,^> 1. Тогда в формуле (91) второе слагаемое будет мало по сравнению с первым. Для плотности распределения максиму мов получаем формулу
Рынке (р *) |
|
(94) |
Следовательно, при р > |
1 распределение |
максимумов гауссов |
ского процесса приближается к гауссовскому распределению. |
||
Кривые распределения |
(91) для различных |
значений параметра Р |
представлены на рис. 52. Заметим, что обычно величина параметра р
изменяется в небольших пределах. Рассмотрим, например, случайный процесс, спектральная плотность которого принимает постоянное зйачение в диапазоне частот со1 <С со < со2 и равна нулю вне этого диапа зона (рис. 53, а). Среднее число положительных пересечений нуле вого уровня в единицу времени определяется по формулам (57) и
(59) и составляет
1
М ° > = " Ё г / - Т 'Т Р
где 0 — со3/а>1. Среднее число максимумов в единицу времени, опре деляемое по формуле (68), будет
|
, |
, |
(О, |
_ / " з |
0>— 1 |
|
vMaitc ( °°) ^ |
2л |
V |
5 |
О3— 1‘ |
||
Отношение этих чисел равно коэффициенту |3 и составляет |
||||||
6 _ |
3 |
/'(Qa- i ) ( 9 - l ) |
||||
Р |
V 5 |
|
|
03-1 |
|
|
График, построенный |
по этой формуле, приведен на рис. 54. g Пре |
|||||
дельном случае 0 ->■ оо (это |
соответствует |
переходу к «белому щуму») |
||||
имеем |
|
|
|
|
|
" |
3
Р|/5 '
Вкачестве другого примера рассмотрим процесс, представлЯ(е)щ||1-| собой сумму стохастически независимых узкополосных процессор иил
иv2(t) (рис. 53,6). Типичная реализация такого процесса п о к а з а ,)а рис. 55. Обозначим эффективные частоты процессов vt и v2 чер^3 6Jl „
со2. а их дисперсии через а? и а%■При этом (о2> сор Среднее чи^лС, По ложительных пересечений нулевого уровня составляет
v Ц-Ц- 3 - Л / v2 02+1 v+(0)— 2л У у2 +1 ’
в то время как среднее число максимумов
VM.i.<c (— <») = |
<*i 1 f |
V2О4+1 |
2л V |
Y 2 0 2 + 1 ' |
|
Здесь использованы обозначения |
|
|
0 = — ; |
Y = — • |
|
Ml |
<*1 |
|
Коэффициент р определяется как
оV (уа04+ 1)(т2+ 1)
Р " |
Y2 О2 +1 |
По этой формуле построен график, приведенный на рис. 56. Макси мум коэффициента р достигается при уб = 1 и составляет
о |
02+ 1 |
Рмакс |
2Q |
Таким образом, параметр р принимает значения, существенно превы шающие единицу, только при 0 > 1 .
До сих пор мы занимались распределением максимумов стационар ного гауссовского процесса. Ввиду симметрии распределений относи тельно нулевого уровня плотность распределения минимумов будет совпадать с плотностью распределения максимумов, если в последней v* заменить на — у*. Производя такую замену в формуле (91) и заме чая, что
<£(— «) = 1— ф(н),
придем к следующей формуле:
|
y p - \ c v |
!\ |
|
Приближенная формула типа (93) имеет вид |
|
|
|
О, |
если |
v* > |
0; |
Рт\\\ (^*) ~ |
если |
< |
0. |
|
§ II 1.7. Оценки для вероятности редких выбросов и для функции надежности
Переходим к основной |
задаче |
теории случайных выбросов, пред |
||
ставляющей интерес |
для |
расчета |
надежности. Как было |
указано в |
§ II 1.3, определение |
функции надежности в простейшей |
постановке |
сводится к нахождению вероятности случайного события, состоящего
в том, что за заданный промежуток времени 0 ^ |
т <; t не произойдет |
||||||||
ни одного положительного пересечения процессом v(t) уровня v |
|||||||||
|
|
P(t) ~ РГ |
sup |
U ( T ) C V |
|
(95) |
|||
|
|
|
|
\ |
О < т |
|
|
|
|
Выведем |
приближенные |
формулы, |
связывающие |
эту вероятность со |
|||||
средним числом N+iv#; 0 ^ |
т ^ |
положительных пересечений уров |
|||||||
ня v* за заданный промежуток времени. |
|
|
|||||||
Полагая, что Р(0) = |
1, |
вычислим |
вначале вероятность |
того, что |
|||||
за время 0 ^ т ^ |
t произойдет хотя бы один отказ: |
|
|||||||
С одной |
стороны, |
эта вероятность определяется как |
|
||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
<2 (0 = |
|
2 <2к(о*; |
о < т < о . |
|
|
||
где |
0 ^ т <; /) — вероятность |
случайного |
события, |
состояще |
|||||
го в том, что за время 0 <; т ^ |
/ произойдет ровно k положительных |
пересечений уровня и*. С другой стороны, среднее число поло>китель. ных пересечений этого уровня выражается через введенные вероятнос. ти следующим образом:
оо
N+(v.\ 0 < т <*) = 2 kQk (om; 0 < т < /) .
Составляя разность выписанных выражений, получим
N+ (о,; 0 < т < /) —Q(0 = |
(k— \)Qh(к,; 0 < т < t). |
(96) |
|
k= '2 |
|
Поскольку в правой части соотношения (96) стоит неотрицательная величина, то приходим к соотношению:
С(0<ЛГ+К; 0 < т < |
0 - |
(97) |
Таким образом, среднее число пересечений |
|
0 < т < t) дает |
для вероятности Q(t) строгую оценку сверху.
Сделанный вывод носит тривиальный характер, если среднее число пересечений уровня v* превышает единицу. Однако в задачах теории надежности среднее число выходов системы из области допустимых состояний должно быть достаточно малым числом. Более того, для вы соконадежных систем выброс за пределы допустимой области в про странстве качества является весьма редким событием. При этом сред нее число пересечений будет весьма мало по сравнению с единицей и для достаточно перемешанных процессов будет иметь тот же порядок, что и вероятность Q(t).
Рассмотрим соотношение (96) при условии, что |
|
#+(»*; 0 < т < *)< !• |
(98) |
В правую часть соотношения (96) входят вероятности двукратного, трехкратного и т. д. положительного пересечения процессом v(t) уров ня v Естественно предполо
жить, что для широкого класса случайных процессов вероят ности многократных выбросов будут пренебрежимо малы по сравнению с вероятностью одно кратного выброса, если выпол нено условие (98)i. Другими сло вами, вероятность обнаружить реализации типа 2 , 3 и т. п. (рис. 57) будет пренебрежимо мала по сравнению с вероят ностью обнаружить реализацию
типа 1. Вводя несколько более сильное предположение о том, что пра вая часть соотношения (96) мала по сравнению с каждым из слагае мых, входящих в левую часть, получим приближенное равенство
Q ( t) ^ N + ( v t \ 0 < т < /)• |
(99) |
Отсюда с учетом соотношения (43) получаем для функции надежности (95) приближенную формулу
t |
|
Р ( /) « 1 — $ v+ (tv, т)Л , |
(10°) |
о |
|
где (у*; т) — число положительных пересечений уровня у* в еди ницу времени.
Формулы (99) и (100) были предложены впервые в работах автора [12, 14, 123]. Кроме того, было введено приближенное распределение для абсолютных максимумов процесса v(t) на интервале 0 <; т ^ Обозначим возможные значения абсолютных максимумов через у*. Функция распределения для у*
F (уф| 0 < т < t) = Р Гsup у (т) < |
y j |
[о |
J |
совпадает, очевидно, с функцией надежности (95). Отсюда с учетом приближенной формулы (100) можем принять, что для достаточно боль
ших у* |
у0 |
F (у* | О ^ т ^ t) s» 1—N+(v.M\ 0 ^ т < / ) .
Здесь у0(/) — корень уравнения
|
|
|
|
N + (vt ; 0 < т < 0 = 1 - |
|
|
(101) |
Распространяя эту формулу на все значения у * > |
у0 и полагая, что |
||||||
F(v* | 0 |
т < |
/) st |
0 при у* < у0 (рис. 58), |
получим [14]: |
|
||
|
|
|
|
0, |
если |
у* < у0(0 |
; |
Р К |
10 < |
т < 0 |
~ |
<w+(g. ;° т 0 |
если |
у* > у0 (0 |
(102) |
|
|
|
|
dv* |
- |
||
|
|
|
|
|
|
|
В качестве примера рассмотрим стационарный гауссовский процесс. Для этого процесса среднее число положительных пересечений уровня у* в единицу времени дается формулой (58). Подстановка в формулу
102) дает |
|
|
} |
p ( y J 0 < r < / ) ^ |
|
||
0, |
|
если |
у, < у0 (/); |
2 ехр| |
(v... — aV 1 |
(103) |
|
|
еСЛ” |
V’ > V M |
|
г , |
V |
||
Для корня v0(t) уравнения (101) получаем выражение |
|||
у„ (0 = |
а + аг, ] / |
2 ,п ^ - - |
(104) |
Формула (99) дает оценку сверху для вероятности редких Сбро сов; формула (100) дает оценку снизу для функции надежности /95ч Следует ожидать, что эти оценки будут достаточно близки к Точным значениям, если система является высоконадежной, а процесс v(t)
т
будет достаточно сильно перемешанным. Примером сильно переме шанного случайного процесса может служить эргоднческий стационар ный гауссовский процесс. В качестве примера противоположного типа укажем на синусоидальный процесс с амплитудой, которая изменяется случайным образом от одной реализации к другой (рис. 59). Очевидно, если у такого процесса произойдет однократное положительное пере
сечение некоторого уровня о*,
(99) и (100) грубую одностороннюю оценку или они позволяют пай™ достаточно точное приближение для вероятности редкого выброса QhH и для функции надежности P(t).
Для узкополосных процессов лучше пользоваться приближенными формулами (99) и (100), подставляя в них вместо N+ и v+ среднее чис ло выбросов огибающей. Например, для математического ожидания числа положительных пересечений узкополосным центрированным гауссовским процессом вместо (58) получаем формулу
_ |
о)е |
у* |
/ о |
* |
|
|
|
|
(105) |
Здесь а>е = (Ое — О2; |
0 — несущая |
частота |
процесса, относительно |
которой пик спектральной плотности Sc,(a>) полагается симметричным. Другой приближенный подход к задаче об определении вероятности редких выбросов основан на использовании распределения Пуассона
[103]. Допустим, что в течение |
времени |
регистрируется на |
ступление некоторых событий. |
Пусть k — число |
событий за время |
наблюдения, а — математическое ожидание этого числа. Полагая, что
распределение событий следует закону Пуассона, получим, что вероят ность наступления k событий за время наблюдения 0 т ^ / состав ляет
Ри |
■£■*-«(* = (), 1 , ...)• |
|
1г\ |
Явления, которые описываются при помощи такой схемы, называются пуассоновскими потоками событий.
Будем интерпретировать положительное пересечение процессом v(t) уровня v* как событие в пуассоновском потоке. Тогда функция надежности P(t) определяется как вероятность того, что за время 0 ^ ^ т ^ t не произойдет ни одного события. Таким образом, функция надежности определяется по формуле пуассоновского распределения при k = 0. При этом вместо математического ожидания а следует под
ставить |
среднее число |
положительных |
пересечений N+{p#\ 0 < |
^ т ^ |
Приближенная |
формула для |
функции надежности приоб |
ретает вид |
|
|
|
|
P(t) « |
exp |
(106) |
Сравнивая формулу (106) с формулой теории надежности (3), прихо дим к соотношению
= |
0 - |
(107) |
Таким образом, интенсивность отказов к отождествляется здесь со средним числом положительных пересечений уровня а* в единицу вре мени. Если процесс v(t) стацио нарный, то лц-(у*)= const; отсюда приходим к экспоненциальному
закону надежности
e-%Mt |
|
P ( t ) ^ e ~ v+(v*'>t. |
(108) |
||
|
В последнее время был опуб |
||||
|
ликован ряд математических ра |
||||
|
бот [5, |
125 и др.], посвященных |
|||
|
установлению условий, |
при ко |
|||
Рис. 60 |
торых |
приближенное равенство |
|||
(108) |
|
выполняется в ас |
|||
|
ческом |
смысле. Были доказаны |
|||
предельные теоремы, относящиеся к стационарным гауссовским |
|||||
процессам. Условия этих теорем содержат |
некоторые |
требования |
|||
регулярности и перемешанности; |
кроме того, |
требуется, |
чтобы уро |
вень v* и время наблюдения t увеличивались некоторым согласован ным образом. Применение этих теорем к практическим задачам затруд нительно. К тому же если даже установлено, что условия теорем вы полняются, то остается неясным вопрос об абсолютной величине и зна ке погрешности при определении функции надежности. В этом смысле
формула (100) имеет то преимущество, что она дает для функции на дежности строгую оценку снизу (рис. 60). Заметим, что правая часть формулы (100) представляет собой первые два члена разложения экспо ненты (106) в степенной ряд. При выполнении условия (98) формулы (100) и (106) дают весьма близкие результаты. В этом случае следует отдавать предпочтение более простой и надежной формуле (100).
В недавно опубликованной статье В. Ф. Шукайло [122] системати чески сопоставлены результаты, которые дают различные приближен ные подходы, с опытными данными. При этом сравниваются средние
значения абсолютных максимумов |
стационарного гауссовского про |
|
цесса за интервал времени 0 |
т ^ |
Приведем результаты вычисле |
ний, основанные на приближенном распределении (103). Среднее зна чение абсолютного максимума определяется как
00
<».)= j v * p ( v* ) d v t .
Подставляя сюда распределение (103) и интегрируя, получим
0 *> |
Л |
vo~a\ |
а |
Prs2 |
Vo— а |
|
||
~2 |
prs3 |
1 + ^ - |
аV |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где vQ(t) определяется |
соотношением |
(104), |
a |
prsп(и) |
функция |
|||
^-распределения Пирсона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
А'* |
|
(109) |
prs„(“)= |
—----- --------- |
I »•«-'« |
' dx. |
При больших значениях аргумента могут быть использованы асим птотические представления для функции Пирсона. После упрощения получаем приближенную формулу
( v ,) ^ r a + ov |
( П О ) |
]A ln (Ое2лt J
Аналогичные вычисления, основанные на предельной теореме Кра мера [125] для процесса с корреляционной функцией типа е~а*х\ дают:
|
I |
2 In |
G)e t |
|
|
|
( 111) |
|
|
2я |
|
21 п |
|
|
|
|
|
|
у |
, |
|
||
|
|
|
|
2л |
|
||
Здесь С = 0,57722 |
— постоянная |
Эйлера. При |
достаточно |
боль- |
|||
ших (oet второй член в скобках становится малым по сравнению |
с пер |
вым. Расхождения между результатами, которые дают формулы (НО) и (111), при этом становятся несущественными. В приведенной ниже
таблице, взятой из статьи [122], приводятся средние значения абсо лютного максимума гауссовского процесса, нормированного при а = = О, от- = 1 .
с |
|
|
|
|
(ос t |
|
|
Источник |
Корреляционная функция |
|
2п |
|
|||
с |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
2,12 |
| 8,5 |
21 ,2 |
|
1 |
Опыты В. |
И. Тихонова |
е—аггг |
1,70 |
2,48 |
2,89 |
|
|
|||||||
|
[ПО] |
|
|
|
|
|
|
2 |
Оценка по методу В. В. Бо |
Существует К(х) |
1,81 |
2,48 |
2,83 |
||
|
лотина [14] |
|
е- и ‘г« |
|
|
|
|
3 |
Оценка по предельной тео |
1,70 |
2,35 |
2,71 |
|||
|
|||||||
|
реме Крамера |
[125] |
|
|
|
|
Рассмотрим некоторые обобщения формулы (100). При выводе этой формулы предполагалось, что при t = 0 система находится в допусти мой области. Другими словами, полагалось, что при / = 0 функция надежности Р = 1. Если это условие не выполнено, т. е. если возмож ны реализации процесса v\t), пока занные на рис. 61, то необходимо внести изменения в формулу (100).
Трактуя отказы при t = 0 и при
t > 0 как несовместимые случайные события и заменяя условную ве роятность отказа при t ;> 0 ее
оценкой сверху (97), |
получим для |
|
безусловной |
вероятности отказа |
|
соотношение |
|
|
<2 (/)<<Э(0) + |
||
+ |
0 < т |
0 11 — Q (0)]. |
ен терминах функций надежности ; ю соотношение принимает вид
P (t)> P (0 ) — N + у*;0<т<ОР(0).
Для высоконадежных систем при выполнении условий, для которых справедлива формула (100), получаем приближенную формулу
P ( t ) ^ P ( 0 ) - N + ( v ^ 0 < |
т < /) Я (0). |
|
|||
Если Р(0) = 1, то вновь приходим к формуле (100)*. |
|
||||
* Если v(t) — реализация стационарного |
случайного процесса, |
то Р(0) = |
|||
= F(v*) Ф 1. Применение формул типа (100) |
к стационарным процессам оправ |
||||
дано при 1 — Р(0) <£ 1; 1 — P(t) < |
1 и при таких |
t , что |
1 — P(t) > 1 — Р(0). з а. |
||
метим также, что при Р(0) Ф 1, |
вообще говоря, |
АЦ-(у*; |
0 < т < t) ф |
;о |
|
< т < 0- |
|
|
|
|
|