Строительная механика стержневых систем Часть 2
..pdfЗадача 8.1
Задача 8.2
8.3. Расчет один раз статически неопределимой фермы
Рассмотрим ферму на рис. 8.8.
Рис. 8.8
11
Пусть для каждого i-k-го стержня фермы задана своя жесткость EFi-k.
Ферма один раз статически неопределимая, nст = 1, причем неопределимость внутренняя. Примем основную систему (рис. 8.9). Усилие в стержне 11–12 принимаем растягивающим (Х1 показано от узла). Легко доказать, что основная система геометрически неизменяемая.
Рис. 8.9
Для определения усилий в стержнях заданной фермы необходимо найти неизвестное усилие Х1 из канонического уравнения метода сил:
|
|
Х |
|
|
, |
|
|
|
|
(8.2) |
||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
||
где – перемещение точек приложения силы |
Х |
основной |
||||||||||
системы по направлению |
Х |
|
от действия |
|
|
1 |
; |
|
– переме- |
|||
|
Х |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
щение точек приложения Х по направлению Х от действия на
основную систему внешней нагрузки. Формулы перемещений для фермы
s Ni-k Ni-k dx;
0 EFi-k
|
|
s |
N |
i-k N Р |
|
||
|
|
|
|
|
i-k |
dx, |
(8.3) |
|
|
|
|
||||
P |
|
0 EF |
|
||||
|
|
|
|
|
i-k |
|
12
где Ni-k – усилие в i-k-м стержне основной системы от загружения Х 1; Nip-k – усилие в i-k-м стержне основной системы от загружения внешней нагрузкой; S – длина стержня.
Усилия Ni-k и Nip-k , жесткость EFi-k определенного стерж-
ня – величины постоянные, их можно вынести за знак определенного интеграла по длине каждого стержня. Получим
|
|
|
|
|
( |
|
|
N |
i-k |
)2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
EF |
S |
i-k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k N Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
S |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k |
|
|
|
|
|
(8.4) |
|||||||||
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Р |
|
|
|
|
|
i-k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножим обе части на EF0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
EF |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
F0 |
S |
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
N i-k |
i-k |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
Fi-k |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
EF |
|
|
|
|
i-k N Р |
|
|
F0 |
|
S |
|
|
, |
(8.5) |
|||||||||||
Р |
N |
|
|
|
i-k |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k F |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k |
|
|
|
|
|
|
где F0 – площадь поперечного сечения какого-либо одного стержня или любое постоянное число; Si-k – длина стержня i-k.
Принято для каждого стержня фермы Е = const. Тогда из уравнения (8.2) получим
|
Х |
|
|
или Х |
EF |
|
|||||
|
|
Р |
|
0 |
Р , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
N i-k NiР-k |
Si-k |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
||||||
т.е. |
|
|
F |
|
(8.6) |
||||||
Х |
|
|
|
i-k |
|
. |
N i-k 2 F0 Si-k Fi-k
Покажем для фермы основной системы (см. рис. 8.9) определение усилий Ni-k и NiР-k .
13
Для определения перемещения 11 рассмотрим сначала
единичное состояние основной системы (рис. 8.10) и найдем усилия во всех стержнях
Рис. 8.10
Реакции опор нулевые.
Из равновесия узла 11 найдем N1 11 и N3 11 :
∑Х = 0, отсюда N1 11 sin1a ;
∑У = 0, отсюда N3 11 ctg dа .
Найдем усилие N1 2 . Для этого рассмотрим равновесие левой части фермы (см. рис. 8.10), образованной сечением I–I, как
M3лев 0 и получимN1 2 da .
Сечение I–I можно использовать для определения усилия N1 3 через уравнение M11лев 0 .
14
Для определения усилий N 2 3 и N 2 4 разделим ферму (см. рис. 8.10) на две части сечением II–II и рассмотрим Y лев.II II 0
и M3лев 0 . Из первого уравнения получим |
|
2 3 |
a |
|
, |
||||||||||||||
N |
|
||||||||||||||||||
dcos |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
из второго |
|
2 4 a . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Усилие |
|
|
3 4 0 из уравнения |
Y лев.III III 0 . |
Усилие |
|||||||||||
|
|
|
N |
||||||||||||||||
|
|
3 5 h a |
из уравнения M4лев 0 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
N |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рассматривая равновесие любой из частей фермы (см. |
||||||||||||||||
рис. 8.10), образовавшихся сечением IV–IV, как Y прав.IV IV |
0 |
||||||||||||||||||
Y лев.IV IV 0 и |
M5прав.IV IV 0 |
M5лев.IV IV 0 , получим, |
|||||||||||||||||
что |
|
4 5 0 и |
|
|
4 6 |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
Усилие в стойке N5 6 0 из равновесия узла 6.
Учитывая, что ферма (см. рис. 8.10) симметричная и нагрузка симметричная, усилия во всех стержнях фермы единичного состояния найдены (усилия в стержне 11–12 единичного
состояния Х 1).
Для определения усилий NiР-k рассмотрим грузовое состояние основной системы (рис. 8.11), принимая теперь Х1 0 .
Рис. 8.11
15
Из равновесия узла 11 найдем, что N3Р11 Р, а N1Р11 0 . Далее можно рассмотреть простейшую ферму (рис. 8.12),
передав усилия отброшенных стержней.
Рис. 8.12
Используя методы определения усилий в статически определимой ферме, найдем
N Р |
N Р |
3Р; |
|
N Р |
N Р |
0; |
|
|
|
|
9 10 |
1 2 |
|
|
1 3 |
7 9 |
|
|
|
|
|
N2Р 3 |
N7Р 10 |
2,5Р |
; |
N2Р 4 |
N8Р10 |
|
2,5Рd |
; |
||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
h |
|
|
N3Р 4 |
N7Р 8 |
1,5Р; |
N3Р 5 |
N5Р 7 |
|
2,5Рd |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
N4Р 6 |
N6Р 8 |
3Рd |
; |
N5Р 6 Р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определив Х1 , найдем усилие в любом i-k стержне заданной статически неопределимой фермы по формуле метода сил
Ni-k |
N |
i-k Х NiР-k . |
(8.7) |
Проверка правильности найденных усилий основана на отрицании взаимных перемещений любого сечения стержня вдоль этого стержня. В случае когда лишней связью считаем опорный стержень – на отрицании перемещения опорного сечения по направлению этого стержня. Значит,
16
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
N |
|
|
|
N |
i-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
i-k |
|
dx |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим обе части равенства на EF0 , получим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k |
N |
|
F0 |
S |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.8) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
i-k |
i-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
На основании формул (8.6), (8.7) и (8.8) удобно расчет ста- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тически неопределимой фермы свести к табл. 8.1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8 . 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица определения усилий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
F0 |
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F0 |
|
|
|
2 F0 S |
|
|
|
|
|
Р |
|
|
F0 |
|
|
|
|
N |
N |
N |
|
||||||||||
Название |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
NХ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
N |
N |
|
F |
S |
|
|
N |
|
N |
|
|
N |
|
N |
|
F |
S |
|
|
|
Х |
|
F |
|||||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стержня |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
S |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N Р |
|
F |
|||||||||||
В.П. |
2–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стой- |
1–2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
ГЛАВА 9. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ АРКИ
9.1. Понятие и расчет двухшарнирной арки
9.1.1. Понятие двухшарнирной арки
Двухшарнирной аркой называется криволинейный стержень, соединенный с массивом при помощи шарнирно неподвижных опор (рис. 9.1)
Будем рассматривать симметричные двухшарнирные арки.
Рис. 9.1
Высота арки называется стрелой подъема и обозначается f. Двухшарнирная арка один раз статически неопределима, т.е. пст = 1. Основные системы метода сил показаны на (рис. 9.2).
1-й вариант О.С. |
2-й вариант О.С. |
|
Рис. 9.2 |
1-й вариант основной системы есть трехшарнирная арка. 2-й вариант основной системы – криволинейная балка.
18
Расчет криволинейной балки проще, поэтому за основу принимаем 2-й вариант основной системы.
Чтобы раскрыть статическую неопределимость, необходимо найти Х1 из канонического уравнения метода сил:
11 Х1 1Р 0,
где 11 – перемещение точки приложения Х1 основной системы по направлению Х1 от действия силы Х1 1; 1Р – перемещение точки приложения Х1 по направлению Х1 от действия на
основную систему внешней нагрузки.
Формулыперемещений для случаякриволинейныхстержней:
|
М |
1 |
|
М |
1 |
ds |
|
N |
1 |
N |
1 |
|
ds |
|
Q |
1 |
Q |
1 |
|
ds |
(9.1) |
||||||||
|
|
EJ |
|
|
EF |
|
|
GF |
|||||||||||||||||||||
S |
|
|
S |
|
|
|
S |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
MP ds |
|
|
1 NP |
|
ds |
|
|
1 QP |
ds , |
|
||||||||||||||||
1P |
М |
1 |
|
N |
|
Q |
(9.2) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
||||||||||||||||||
S |
|
|
EJ |
S |
|
|
|
S |
|
GF |
|
|
|
где ds – дифференциал дуги; EJ – жесткость при изгибе (Е – модуль упругости; J – момент инерции сечения); EF – жесткость при продольном сдвиге (F – площадь поперечного сечения); GF – жесткость при поперечном сдвиге (G – модуль сдвига);
М1, N1, Q1 – единичные эпюры, соответственно изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, построенные относительно основной системы от силы Х1 1; MP , NP , QP – грузо-
вые эпюры соответственно изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, построенные относительно основной системы от действия внешней нагрузки; µ – безразмерный коэффициент, зависящий от формы сечения.
В зависимости от соотношения стрелы подъема и пролета арки различают арки подъемистые при lf 15 и пологие –
при lf 15 .
19
9.1.2. Расчет подъемистой двухшарнирной арки
Рассмотрим двухшарнирную арку (рис. 9.3)
Рис. 9.3
Примем основную систему, как на рис. 9.2, второй вариант. При расчете подъемистой арки в формулах (9.1) и (9.2) перемещениями от внутренних продольных и поперечных усилий пренебрегают ввиду их малости по сравнению с перемещениями от внутренних изгибающих моментов.
Поэтому
|
М |
1 |
М |
1 |
ds; |
(9.3) |
||
S |
|
|
|
EJ |
|
|
||
1P |
|
1 MP ds. |
|
|||||
М |
(9.4) |
|||||||
S |
|
|
|
EJ |
|
|
От криволинейных интегралов перейдем к определенным интегралам по пролету, поэтому единичные эпюры М1, N1, Q1 и грузовые эпюры MP , NP , QP построим относительно горизонтальной проекции оси арки (рис. 9.4 и 9.5).
Эпюра Q1 построена для случая, когда арка круговая или параболическая. Для стрельчатой арки в ключе на эпюре Q1 будет скачок: QСлев sin C , QСправ sin C .
Выделим в арке элементарный участок диной ds и найдем его горизонтальную проекцию (покажем рисунок в увеличенном масштабе).
20