- •А.Ю. Крюков, Б.Ф. Потапов
- •Крюков, А.Ю.
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СУЩНОСТЬ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1.1. Понятие о моделировании и свойства моделей
- •1.1.2. Цели моделирования
- •1.1.3. Виды моделирования и классификация моделей
- •1.2.1. Общие положения и основные определения
- •1.2.2. Структура математической модели и ее построение
- •1.2.3. Иерархия математических моделей
- •1.2.5. Классификация математических моделей
- •1.2.6. Геометрическое представление математических моделей
- •1.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •2.1. МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ
- •2.2. МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ
- •2.2.1. Общая характеристика моделей, их структура и сущность
- •1. Компонентные уравнения
- •2. Топологические уравнения
- •Компонентные и топологические уравнения электрической системы
- •2.2.5. Задания для самостоятельной работы
- •2.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •3.2.1. Общие принципы моделирования полей
- •3.2.2. Особенности построения моделей
- •3.2.3. Модели стационарных полей
- •3.2.4. Модели нестационарных полей
- •3.2.7. Задание для самостоятельной работы
- •3.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
- •4.1.1. Надежность объектов как комплексное свойство
- •4.1.2. Классификация отказов и временные понятия
- •4.3.1. Основные понятия, определения и положения
- •4.3.2. Основные характеристики случайных величин
- •4.4. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ
- •4.4.1. Показатели безотказности
- •4.6.1. Общая характеристика и виды моделей
- •4.6.2. Распределения, используемые в теории надежности
- •4.6.3. Композиция законов распределения
- •4.6.4. Задание для самостоятельной работы
- •4.7 ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ
- •4.8. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •4.8.1. Общие положения
- •4.8.2. Модели параметрических отказов
- •5.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ И СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ
- •5.1.1. Общие замечания, основные понятия и определения
- •5.1.2. Решение задачи о максимальном потоке
- •5.1.3. Потоки минимальной стоимости
- •5.1.4. Практические примеры сетевых задач
- •5.1.5. Некоторые обобщения по сетевым задачам
- •5.1.6. Альтернативные методы решения сетевых задач
- •5.2.1. Основные положения
- •5.2.2. Структура принятия решения
- •5.2.4. Пример применения классических критериев
- •6.1.1. Постановка задач оптимизации и критерии
- •оптимальности
- •6.1.2. Многокритериальные задачи оптимизации
- •6.1.3. Классификация методов оптимизации
- •6.2. РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
- •6.2.1. Методы математического анализа
- •6.2.2. Понятие о вариационном исчислении
- •6.2.3. Принцип максимума Понтрягина
- •6.2.4. Метод динамического программирования
- •6.3. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
- •6.3.2. Минимаксные стратегии одномерного поиска
- •6.3.4. Многомерные методы безусловной оптимизации
- •6.3.7. Заключение по прямым методам оптимизации
- •7 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Учебное издание
- •Учебное пособие
2.2.МОДЕЛИ МАКРОУРОВНЯ
2.2.1.Общая характеристика моделей, их структура и сущность
Объекты проектирования на макроуровне рассматривают ся как сложные системы, состоящие из совокупности взаимо действующих элементов. На макроуровне объект имеет слож ную неоднородную структуру, состоящую из элементов - объ ектов проектирования микроуровня, которые в дальнейшем рас сматриваются в виде неделимой единицы.
Модели макроуровня можно получить путем аппроксима ции распределенных моделей микроуровня на основе соответст вующих допущений относительно представления структуры
ифизических свойств объекта. При этом динамическая система
сраспределенными параметрами путем дискретизации в про странственных координатах представляется совокупностью ма териальных объектов, выделенных из сплошной среды, - дис кретных элементов с постоянными усредненными параметрами. Такую систему называют динамической системой с сосредото ченными параметрами.
Задача проектирования таких систем состоит в определе нии параметров рабочих процессов и структуры исходя из за данного описания внешней среды и предъявляемых технических требований.
Математической моделью объектов на макроуровне явля ется система обыкновенных дифференциальных уравнений:
^ Г = П У , о , |
(2-14) |
dt |
|
где t - независимая Переменная - время; V - вектор фазовых коор динат, который требуется определить в процессе решения задачи.
При построении моделей макроуровня используется два подхода: физический и формальный. Физический подход осно
ван на непосредственном применении физических законов, а формальный использует общие математические принципы при описании физических свойств объектов. Общим в использова нии обоих подходов является необходимость построения дина мической модели объекта.
Для выделения дискретных элементов из сплошной среды используют методы функционально законченных элементов и сосредоточенных масс.
Метод функционально законченных элементов основан на выделении типовых элементов технического объекта, завершен ных в конструктивном отношении и предназначенных для вы полнения определенных функций (например, в гидромеханиче ской системе - участок гидромагистрали, золотниковый клапан, дроссель, обратный клапан, насос, гидромотор и др.). Имея биб лиотеку математических моделей функционально законченных элементов и зная структуру технического объекта, можно соста вить полную модель.
Наиболее часто при построении динамической модели ис пользуют метод сосредоточенных масс. Этот метод применим, если система имеет явно выраженный дискретный спектр собст венных частот, что характерно для объектов, у которых масса распределена в пространстве неравномерно.
Например, в механической системе автомобиля масса вращающихся деталей в основном сосредоточена в маховике двигателя, крупных шестернях трансмиссии, барабане стояноч ного тормоза, колесах, имеющих большие радиальные размеры и обладающих большими моментами инерции, а соединяющие их детали (валы, муфты, карданные передачи и др.) имеют ма лые радиальные размеры и массу, но обладают существенными упругими свойствами. Из названия метода следует, что он пред назначен для моделирования технических объектов, мерой инертности элементов которых служит масса.
При построении динамической модели методом сосредо точенных масс выделяют некоторые абстрактные материальные
субстанции, наделяя их определенными физическими свойства ми. Такими субстанциями являются: сосредоточенные массы (материальные точки и абсолютно твердые тела), эквивалентные массам соответствующих частей технического объекта, и эле менты, лишенные массы (невесомые), отображающие характер взаимодействия сосредоточенных масс.
Сосредоточенные массы обладают инерционными свой ствами и способностью накапливать кинетическую энергию.
Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется посредством упругих, инерционных, диссипативных, фрикци онных и трансформаторных элементов.
Упругие элементы {элементы типа С) отображают упру гие свойства динамической системы. Они обладают способно стью накапливать потенциальную энергию.
Инерционные элементы {элементы типа L) отображают энергию изменения фазовых координат, обладают способностью накапливать кинетическую энергию.
Диссипативные элементы {элементы типа R) отобража ют свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивны ми элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скоро сти перемещения взаимодействующих сосредоточенных масс.
Фрикционные элементы отображают физические свойства фрикционных механизмов технического объекта.
Трансформаторные элементы отображают безынерцион ные преобразования параметров потока энергии, осуществляемые техническими устройствами, называемыми трансформаторами.
Сочетанием этих простейших элементов, а также источ ников фазовых переменных может быть получена модель тех нического объекта практически любой сложности.
Состояние сосредоточенных масс характеризуется фазо выми координатами типа потока. Обычно это геометрические координаты сосредоточенных масс либо скорости их движения в фазовом пространстве. В последнем случае фазовые координа
ты типа потока составляют только часть координатного базиса, в состав которого кроме них также входят переменные типа по тенциала, характеризующие состояние упругих элементов.
В механике фазовые координаты типа потока выбирают в качестве обобщенных координат. Количество независимых обоб щенных координат системы равно числу ее степеней свободы.
Переменные же типа потенциала всегда принадлежат к за висимым координатам и выражаются через переменные типа потока. Переменные типа потенциала характеризуют запас энер гии в системе.
Воснове математической модели макроуровня лежат ком понентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элемента ми. Рассмотрим эти уравнения.
1.Компонентные уравнения
Взависимости от способа построения динамической мо дели каждый элемент может наделяться одним или несколькими физическими свойствами.
Вданном разделе рассматриваются только простые дис кретные элементы, т.е. элементы, обладающие одним физиче ским свойством.
Состояние простого элемента характеризуется одной фазовой переменной типа потока и одной переменной типа по тенциала. Физическое свойство элемента (закон его функциони рования) описывается математической моделью, выражающей зависимость между этими фазовыми переменными. Это выраже ние называют компонентным уравнением.
Основные физические свойства технических объектон любой физической природы - инерционные, упругие и диссипа тивные. Они отображаются в динамических моделях соответст венно инерционными, упругими и диссипативными элементами.
Компонентные уравнения дискретных элементов Moiyi быть получены аппроксимацией моделей микроуровня или не посредственным использованием физических законов.