то условие (3.26) сведется к виду
ф - RI = ср0; ф - сро = RI,	(3.28)

эквивалентному закону Ома. Соотношение (3.28) удовлетворя­ ется при подключении напряжения фо к участку границы 5Г с напряжением ф через сопротивление R

3.2.3. Модели стационарных полей

Существуют два способа построения электрических моде­ лей физических полей в элементах технических устройств. Мо­ дели могут быть построены из сплошных проводящих сред. В этом случае модельное поле характеризуется непрерывным распределением параметров, в частности, электрического по­ тенциала. Можно построить также сеточные электрические мо­ дели, основанные на конечно-разностной аппроксимации непре­ рывного поля. В этом случае модельное поле задается дискретно в узлах сетки.

При использовании сплошных проводящих сред модель исследуемого объекта выполняется из сплошного проводящего материала. В качестве такого материала могут быть использова­ ны любые среды, слабо проводящие электрический ток.

Для исследования полей в элементах конструкций машин могут быть созданы полноразмерные модели. Например, для изучения температурного поля в лопатке газовой турбины мож­ но изготовить полноразмерную модель лопатки, задать на гра­ ницах этой модели необходимые граничные условия, а затем измерить распределение потенциала в модели. Однако такие модели очень сложны и, главное, сугубо индивидуальны.

К счастью, большинство реальных полей обладает плоско­ стной или осевой симметрией, позволяющей ограничиться изу­ чением поля в одной характерной плоскости. Так, если пренеб­ речь концевыми эффектами, можно считать, что распределение температур идентично в ряде последовательных сечений лопат­

ки турбины. Точно так же идентичны в этих сечениях и поля скоростей обтекающего лопатку газа.

В подобных случаях достаточно изучить рассматриваемое поле или в тонком плоском (рис. 3.3, а), или в некотором клино­ вом слое (рис. 3.3, б), вырезанном плоскостями симметрии / и II. Возможность использования свойств симметрии и тонких слоев упрощает построение моделей, делает их универсальными. В электрическом поле плоскости симметрии могут быть выпол­ нены из изолирующих материалов, на границе которых выпол­ няется условие д(р/дп = 0.

Рис. 3.3. Использование свойств симметрии при моделировании полей: а - плоскопараллельное поле,

б - осесимметричное поле

При этом имитация клинового слоя требует увеличения проводимости проводящего слоя пропорционально радиусу мо­ дели. Такой эффект можно получить или в плоском слое за счет соответствующего увеличения концентрации проводящего на­ полнителя, или за счет изменения толщины проводящего слоя из однородного материала.

Для задания граничных условий при моделировании в сплошных проводящих средах используются электроды и изо­ ляторы. Так, для задания на некотором участке границы модели

Результаты моделирования представляются сеткой экви­ потенциальных линий (<р = const), соответствующих изолиниям изучаемой функции. Получение такой сетки связано с решением двух задач: определением потенциала (р в заданных точках об­ ласти и фиксацией найденных точек.

Использование сеточных моделей основано на конечно­ разностной аппроксимации уравнений в частных производных.

Для электрического моделирования поля, описываемого уравнением Лапласа, может быть использована сетка рези­ сторов R (Л-сетка). Общий вид одного слоя сетки показан на рис. 3.5, а, схема узловой точки - на рис. 3.7, а. Согласно пер­ вому закону Кирхгофа для каждой узловой точки сетки имеем:

I 1	’	1	R	^	D =0,	(3.32)
					R
(	6		\		|	(3.33)
	1	ф, - 6Фо = 0 ; Ф о= т Ф/
R V1<=1			J		6

где (ро - потенциал в узловой точке; ф/ - потенциал в соседней точке сетки, связанной с рассматриваемым узлом; R = Ry - со­ противление между узлами; /, - ток, подтекающий к узлу со сто­ роны соседней точки сетки.

Рис. 3.5. Общий вид сеток резисторов для моделирования стационарных полей

Рис. 3.6. Общий вид сеток резисторов для моделирования полей с источниками потенциала

Распределение потенциала (р на й-сетке аналогично рас­ пределению потенциала, заданному путем конечно-разностной аппроксимации уравнения Лапласа, причем соответствие в дан­ ном случае устанавливается с помощью одного коэффициента

Ф

аналогии ( М = — ).

Ф

Для моделирования поля с распределенными источника­ ми, описываемого уравнением Пуассона [24], может быть ис­ пользована Л-сетка с дополнительными источниками тока (рис. 3.5, б и рис. 3.7, б). Для узла такой сетки первый закон Кирхгофа имеет вид:

	6	>	(3.34)
R	Е < р, - 6Фо = V
	/=1	J

Аналогия уравнений модельного и натурного полей дос­ тигается при условии:

М .	А/ф= -	; М, = А(^ Ф° ) - М„	(3.35)
77“ = !;
М ЛМ,	Ф	/ 0	R

где h - шаг сетки координат для натурного поля; Л(^'0,Фо) - суммарная мощность источников натурного поля в элементар­ ном объеме А3, соответствующем рассматриваемой точке i^o-

Легко показать, что (3.36) эквивалентно (3.18), так как

М к = м,мд

(3.36)

При создании конкретных моделей на основе сеток сопро­ тивлений используются те же принципы, что и при использова­ нии сплошных проводящих сред. Так, в силу симметрии моде­ лирование плоскопараллельных и осесимметричных полей осу­ ществляется на двумерной сетке сопротивлений, причем в по­ следнем случае имитация клинового слоя достигается соответ­ ствующим выбором сопротивлений (рис. 3.8).

Для изучения трехмерных полей могут быть использова­ ны объемные сетки сопротивлений. Граничные условия задают­ ся с помощью потенциалов, токов или потенциалов, подклю­ ченных к конкретным граничным узлам сетки через заданные сопротивления. Задание постоянного потенциала осуществляет­ ся закорачиванием граничных узлов. Разрыв цепей на границах

<Эф л соответствует условию —- = 0, и т.д.

дп

При использовании сеточных моделей реальные криволи­ нейные границы области исследования заменяют их конечно­ разностной аппроксимацией.

Сравнивая сеточные модели с моделями со сплошной проводящей средой, нужно учитывать следующие факторы. С одной стороны, использование конечно-разностной аппрок­ симации всегда связано с внесением погрешности за счет пере­ хода от производных к их конечно-разностным выражениям. Поэтому сеточные модели в принципе менее точны, чем модели из сплошной проводящей среды. С другой стороны, сеточные