Основы метода конечных элементов
..pdf- Заметим, что неравенство п. 3) теоремы |
1.1 |
выполняется, |
если |
|||
(х, и, /?) > |
О при всех значениях аргументов х £ (0, |
1), и, р. |
Это |
|||
очевидно из разложения функции / (х, и, р) |
в ряд |
Тейлора по |
аргу |
|||
менту р. |
F называется выпуклым на линейном множестве М сг |
|||||
Функционал |
||||||
с= D (F), если |
|
|
|
|
|
|
F(u) + F(v) — 2 F \ ~ ^ - ^ 0 , |
и, V £ M. |
|
|
|||
Функционал называется существенно выпуклым на М, если равен |
||||||
ство выполняется лишь при и — v. |
|
|
|
|
|
|
При исследовании свойств конкретного функционала |
часто оказы |
|||||
вается полезной следующая теорема. |
|
т. е. А = grad F, |
||||
Теорема 1.2. Если градиент функционала F, |
||||||
имеет производную Аи, положительную при любом |
и £ D (Л), |
при |
||||
чем D (A') ZD D (Л) для любого и £ D (Л), то функционал F существен |
но выпуклый на множестве D (Л). Если, кроме того, F (и) непрерывен, то этот функционал выпуклый на D (F). Далее, если F (и) непреры
вен, а производная Л„ его градиента равномерно положительно огра
ничена снизу, |
т. е. |
|
|
(Лии, v) > у2 II v|р, |
у = const > О, |
где I •I — норма пространства, на |
котором определен функционал |
|
F, и D(A') ^ |
D (Л), то функционал F ( и) существенно выпуклый на |
|
множестве D |
(F). |
|
Доказательство данной теоремы см. в [64].
Наконец, напомним определение минимизирующей последователь ности для функционала. Пусть d — точная нижняя граница ограничен ного снизу функционала F (и):
d = inf F {и).
u£D(F)
Последовательность {ип} функций, принадлежащих D (F), называется минимизирующей для этого функционала, если
limF(H„) = d.
п-+оо
2. Положительно определенные операторы и энергетический метод. Линейный оператор Л, действующий в вещественном гильбертовом пространстве Я, называется симметричным, если область его опреде ления D (Л) плотна в Я и для любых элементов и, v £ D (Л) справед
ливо равенство
(Аи, v) = (и, Av).
Симметричный оператор Л называется положительно определен
ным, если для любой функции |
и £ D (Л) |
справедливо |
неравенство |
|||
|
(Ли, и) > у 21|и|Р, |
|
|
|
|
|
где у — положительная |
постоянная. Если |
для |
V и £ D (Л) |
выпол |
||
няется неравенство (Ли, |
и) ^ |
0, причем (Ли, |
и) = 0 |
только |
тогда, |
когда и = О, то симметричный оператор А называется положитель ным. В дальнейшем при изложении материала параграфа 1.2 мы сле дуем в основном работе [66].
С каждым положительно определенным оператором А можно свя зать некоторое гильбертово пространство, которое называют энерге тическим пространством данного оператора. Это пространство будем
обозначать в дальнейшем так: НА. Строится На следующим |
образом. |
Каждой паре элементов и, v из множества D (Л) поставим |
в соответ |
ствие число [и, v\A: |
|
[и, v]A = (Аи, v), V и, v£D(A). |
(116) |
Нетрудно убедиться, что выражение (1.16) удовлетворяет всем аксио мам скалярного произведения. Приняв [и, v]Aза скалярное произве дение, множество D (А) можно обычным способом, т. е. введя предель ные элементы, пополнить до полного гильбертова пространства. Это пополненное пространство и есть энергетическое пространство НА. Норма в нем определяется по общему правилу:
II и|А= [U, и\А.
Величины [и, v]Aи |и \а называют энергетическим скалярным произ ведением элементов и, v и энергетической нормой элемента и соответ ственно.
Доказано, что все элементы пространства НАпринадлежат также исходному пространству Н. Множество элементов, образующих энер гетическое пространство положительно определенного оператора, плотно в исходном пространстве.
Для всех элементов и £ НАсправедливо соотношение
I M K - f ll«lk
В качестве иллюстрации приведем простой пример положительно определенного оператора Л, действующего в Н = L2 (0, 1). Область определения его D {А) состоит из функций и {х) £ С2 [0, 1], удовле творяющих условию и (0) = и (1) = 0, а действует оператор по фор муле
Аи = |
<Ри |
|
dx2 |
||
|
Нетрудно убедиться, что данный оператор действительно удовлетво ряет всем требованиям, предъявляемым к положительно определен ным операторам. Кроме того, можно показать, что энергетическое про странство этого оператора состоит из абсолютно непрерывных на 10, 1] функций и (*), первые производные которых суммируемы с квадратом
на [0, 1] и которые удовлетворяют условию и (0) = и (1) = 0. Иными
о
словами, НАсостоит из тех же функций, что и пространство W[ (0,1). Для данного НА энергетическое скалярное произведение и энерге тическая норма определяются по формулам
I«• |
J - г г - г Н * . |
Здесь необходимо подчеркнуть, что в данном случае функции про странства//л удовлетворяют тем же краевым условиям и (0) = и (1) = = 0, которым подчинялись функции из области определения D (Л)
оператора А. Однако если в Ьг (0, 1) рассмотреть оператор Ви = —
у которого D (В) состоит из функций |
и (х) £ С2 [0, |
1], |
подчиненных |
|
краевым |
условиям |
|
|
|
du |
du |
(*) Х = \ = 0, а > |
0, |
Р > 0, |
dx |
■сш W |^о = 0. dx |
|||
то окажется, что энергетическое пространство Нв этого |
положительно |
определенного оператора состоит из тех же функций, что и простран
ство Wl (0, 1), причем функции данного энергетического пространства не обязаны удовлетворять никаким краевым условиям.
Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из области определения оператора и которым не обязательно должны удовлетворять функции из энергетического пространства, называются естественными для дифференциального оператора. Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из энергетического пространства, называют главными. (Подробнее о главных и естествен
ных краевых условиях см. в [66].) |
|
Дляположительно определенного оператора |
Л,действующего |
в гильбертовом пространстве Я, квадратичный функционал |
|
F(u) = (Au,u)-2(u,f), f£H |
(1.17) |
называют функционалом энергии оператора Л. Очевидно, D (А) = D (F). Доказано, что задача о минимуме функционала энергии на мно жестве D {А) эквивалентна задаче о решении операторного уравнения
A u^f. |
(1.18) |
Это устанавливает следующая теорема. |
оператор |
Теорема 1.3. Пусть А — положительно определенный |
в гильбертовом пространстве Н. Если уравнение (1.18) имеет решение, то это решение сообщает функционалу энергии (1.17) наименьшее значение. Обратно, элемент гильбертова пространства и0, реализую. щий минимум функционала (1-17), удовлетворяет уравнению (1.18).
Аи0= /.
Указанный элемент и0 может быть только один.
Таким образом, если одна из этих задач разрешима, то разрешима и другая, и элемент, удовлетворяющий одной из задач, удовлетворя ет и другой. Однако из этого утверждения еще не следует существова ние решения этих задач. Более того, задача о минимуме функционала (1.17) может вообще не иметь решения, если D (F) = D (А).
Однако область определения функционала (1.17) легко расширить
на |
все |
энергетическое пространство Н а и представить |
функционал |
F |
(и) в |
виде |
|
|
|
F(u) = lu,uU — 2(u, f), |
(1.19) |
где и £ Н а CZ Н.
Теперь можно искать минимум функционала F (и) не в D (Л), а в На.
Оказывается, что в энергетическом пространстве существует один и только один элемент и0£ НА> на котором функционал (1.19) до стигает минимума. Элемент и0£ НА> реализующий минимум этого функционала, называют обобщенным решением уравнения (1.18). При этом функционал (1.19) можно записать в виде
F{u) = ||ы— ы0||д— 1|ы0||д.
Становится очевидным, что
m\nF{u) = — \\и0(А.
и£НА
Если обобщенное решение и0 принадлежит области определения оператора А, то и0 является классическим решением уравнения (1.18), т. е. решением в обычном смысле. Метод решения операторных урав нений (1.18), состоящий, в переходе к вариационной задаче о миниму ме функционала (1.19), называют энергетическим методом.
3. |
Процесс Ритца. Процесс Ритца является одним из методов по |
строения |
последовательности приближений к элементу, реализующему |
минимум функционала (1.19) в энергетическом пространстве Нл. Та ким образом, этот метод позволяет построить приближение к обобщен ному решению уравнения (1.18).
Для осуществления процесса Ритца выбирают последовательность
координатных (базисных) элементов |
|
<Pi. Фа........Фп. |
С1-20) |
удовлетворяющих следующим требованиям:
1)все элементы ф„ £ На',
2)при любом п элементы <р1( <р2, ..., <р„ линейно независимы;
3)последовательность (1.20) полна в НА-
Из первых N координатных элементов строят линейную комби нацию
|
|
к= 1 |
|
О -2 ! ) |
|
|
|
|
|
с произвольными числовыми коэффициентами а |
|
|||
|
Для получения приближенного обобщенного решения в функцио |
|||
нале (1.19) полагают и = |
uNи неизвестные коэффициенты |
akJ k = 1, |
||
2, |
N, определяют из условий минимума функции N переменных |
|||
|
F (uN) = F (alt а2, |
aN). |
|
|
|
Так как оператор А положительно определенный, можно показать, |
|||
что условия |
|
|
|
|
|
dFdf |
] = 0 , k = 1, 2, |
. . . , N, |
(1.22) |
являются необходимыми и достаточными для определения минимума функции F (аъ а2, ..., аы).
Систему линейных алгебраических уравнений (1.22) можно за писать в виде
N |
|
|
£ [ф/. Фkha/ = (/, <р*), k = 1, 2, |
, N, |
(1.23) |
/= ! |
|
|
а если координатные элементы принадлежат D (Л), то в виде
N |
|
£ М ф*. Фj)a, = (f, ф*), k = 1, 2, |
, N. |
/ = 1 |
|
Таким образом, построение приближенного обобщенного решения за дачи (1.18) сводится к решению системы линейных алгебраических
уравнений. Так как элементы (фл}^ линейно независимы, то определи тель системы линейных алгебраических уравнений (определитель Грама) отличен от нуля и, следовательно, система однозначно разре шима.
Найдя коэффициенты akl k = 1, 2, ..., N, из системы (1.23) и под ставив найденные значения в (1.21), получают элемент (uN)*, который называют приближенным решением уравнения (1.18) по Ритцу. Отно сительно этого решения справедлива следующая теорема [66].
Теорема 1.4. Если А — положительно определенный оператор, то приближенные по Ритцу решения уравнения (1.18) сходятся к точно му обобщенному решению этого уравнения как в энергетической норме> так и в метрике исходного пространства.
Таким образом, метод |
Ритца состоит в замене пространства |
НА |
||
в вариационной |
задаче |
(1.19) |
последовательностью конечномерных |
|
подпространств, содержащихся в й ^ и имеющих размерность N. Эле |
||||
мент uNназывают |
допустимой |
(пробной) функцией. На каждом |
под |
пространстве размерности N минимизация функционала приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений. Число урав нений совпадает с размерностью подпространства.
Описанный процесс Ритца допускает следующую модификацию. Вместо последовательности координатных элементов (1.20) можно вве
сти последовательность наборов |
элементов |
|
||
Фи. Ф12» •••» |
Ф1^1» |
|
||
Ф21> |
Ф22> |
•••. |
Ф2Л2* |
(I 24Д |
фпЬ |
фп2» |
••• 9 |
Фnkn> |
|
которые должны подчиняться условиям:
1) |
все элементы (1.24) принадлежат НА\ |
Фnkn линейно |
2) |
для любого п элементы /г-го набора cpni, сра2, ...» |
|
независимы; |
пространства |
|
3) |
для произвольного элемента и энергетического |
НА и любого числа е > 0 существует такой номер N (я, е), что при лю бом п > N можно отыскать постоянные а|п), а ^ , ..., а ^ , удовлетворяю-
и — 2 |
а/л)фп/ < 6 . |
/= | |
1И |
Приближение к решению в этом случае можно записать в виде |
|
ип= |
£ а/фя/, |
|
/= | |
а коэффициенты ау определяются, как и раньше, из условий минимума функционала (1.19). Результаты, касающиеся сходимости приближен
ных |
решений к точным, остаются справедливыми и в случае набора |
координатных элементов вида (1.24). |
|
4. |
Основные понятия и теоремы о собственном спектре операторов. |
Пусть А — линейный оператор в гильбертовом пространстве Н. Зна чения числового параметра X, при которых существуют нетривиальные
(отличные от нулевого) решения операторного уравнения |
|
Аи — Хи = 0, |
(1.25) |
называются собственными числами уравнения, а соответствующие им |
|
нетривиальные решения — собственными |
элементами. Собственные |
числа и собственные элементы уравнения |
(1.25) называют также соб |
ственными числами и собственными элементами оператора А. Задачу
отыскания X и нетривиальных решений |
уравнения |
(1.25) |
называют |
||
проблемой |
собственных значений. |
|
|
|
|
Проблема собственных |
значений при |
определенных |
условиях мо |
||
жет быть |
сформулирована |
как вариационная задача. |
Это |
возможно, |
|
например, |
когда оператор |
А — симметричный и полуограниченный |
|||
снизу, т. е. удовлетворяет |
неравенству |
|
|
|
(Аи, и) > у |МР,
где у — вещественное, не обязательно положительное число. (Как из вестно, собственные числа симметричного оператора — вещественны).
Возможность вариационной постановки задачи на собственные зна чения для данного оператора определяется следующими двумя теоре мами.
Теорема 1.5. Пусть А — полуограниченный снизу симметричный оператор и пусть у0— точная нижняя граница значений функционала
°(u)=JShr |
0 -2 6 ) |
||
Если существует элемент и0 £ D (А) |
такой, что |
||
Ф («о ) |
(ЛЦр. “о) |
_ |
„ |
(«и. “о) |
|
7°’ |
|
|
|
то 1’0 есть наименьшее собственное число оператора А, а и0— соответ ствующий собственный элемент.
Теорема 1.6. Пусть А.г ^ Я2 ^ ^ Хп— непосредственно следую щие друг за другом первые п собственных чисел симметричного полуограниченного снизу оператора А, а %, и2, ип — соответствующие
им ортонормированные собственные элементы. Пусть также суще ствует элемент и = « „ + 1 ¥= О, реализующий минимум функционала (1.26) при дополнительных условиях
{и, щ) = О, (и, и2) = О, . . . , (и, ип) = 0. |
(1.27) |
Тогда ип+\ есть собственный элемент оператора А, отвечающий соб ственному числу
{Аип+\у ип+\)
X/l+i
(ип+" ап+\)
ф ( U n + 1 ).
Это собственное число — ближайшее, следующее за Ял.
Таким образом, теорема 1.5 сводит задачу о нахождении наимень шего собственного значения и соответствующего собственного эле мента иг симметричного полуограниченного снизу оператора А (урав нения (1.25)) к вариационной задаче об отыскании минимума функцио нала (1.26):
\ = min Ф(и) = Ф(ы1), ueD(A)
а теорема 1.6 сводит отыскание собственных значений Хп+\ и Ил+ь п ;> 1, к вариационной задаче определения элементов, реализующих минимум функционала (1.26) при дополнительных условиях (1.27). Положительно определенный оператор является симметричным и полуограниченным снизу, поэтому для него справедливы все результа ты, сформулированные выше. Более того, для положительно опреде ленных операторов, возможно, целесообразно введение понятия обоб щенных собственных чисел и соответствующих им обобщенных соб ственных элементов. Это понятие вводится по аналогии с понятием обобщенного решения операторного уравнения Аи = / из энергетиче
ского пространства НА.
Элемент и £ НА, и Ф 0, и число Я называются обобщенным соб ственным элементом и обобщенным собственным числом положительно определенного оператора Л, если они удовлетворяют тождеству
|и, т\]а = Х{щ л).
Вариационная формулировка задачи отыскания наименьшего обоб щенного собственного числа Хх и соответствующего собственного эле мента щ (если они существуют) положительно определенного операто ра А может быть выражена соотношением
. |
Iи, «U _ |
1«1> Ц1U |
^ ~ ™ HA |
(«. «) |
' |
Аналогично если известны п первых обобщенных собственных чисел положительно определенного оператора А
Х1< Хг< |
< К |
и соответствующие им попарно ортогональные собственные элементы
u2t |
9 ип |
и если существует элемент ип+\, реализующий минимум функционала
R (и) = |
[“ . |
и\А |
|
|
|
|
|
(и, |
и) |
|
|
|
|
|
|
|
A,„+ i = |
min |
[и. и\А |
lun+i> Un+l^A |
(1.28) |
||
|
(и, и) |
|
= R (U n+l), |
||||
|
|
|
|
(“л+1 > ип + 1) |
|
||
то ип+\ является |
обобщенным |
собственным элементом оператора А, |
|||||
отвечающим собственному числу |
■Это |
собственное число непосред |
|||||
ственно следует за Кп. В (1.28) через Н{а |
обозначено подпространство |
||||||
пространства На, ортогональное в метрике На к ult м2, ..... и„. |
Не |
||||||
трудно |
показать, |
что Н(а = На П Н(п>, |
где Н(п) — подпространство |
пространства Н, ортогональное в метрике Н к собственным элементам
ии и2, ..., ип. (Заметим, что отношение R (и) = ~ ч |
а с т о называют |
(иу |
U) |
отношением Рэлея.) |
|
^Приведенные результаты подсказывают только способ построения собственных чисел, если существование их уже установлено. Форму лируемая ниже теорема определяет достаточные условия существова ния обобщенных собственных значений положительно определенного
оператора [68].
Теорема 1.7. Пусть положительно определенный оператор А, дей ствующий в гильбертовом пространстве Н, таков, что любое множе ство элементов, ограниченное в энергетической норме, компактно в Н. Тогда оператор А:
1)имеет бесконечную последовательность обобщенных собствен ных чисел
сединственной предельной точкой на бесконечности;
2)соответствующие собственные элементы образуют систему, полную как в Н, так и в НА.
Отметим, что условие данной теоремы можно сформулировать и так: энергетическое пространство На вкладывается в исходное простран ство Н вполне непрерывно.
Условимся в дальнейшем слово «обобщенные» для краткости опус кать. Будем считать, что собственные элементы положительно опре деленного оператора А ортонормированы в исходном пространстве Н. Тогда можно показать [68], что система собственных элементов орто гональна и в энергетическом пространстве НА:
|
(uit Uj) = 6//; [ul9 Uj]A= 0, |
если i Ф /, |
причем I ut 1л = |
где \ — собственное |
число, отвечающее элемен |
ту щ. |
|
|
Важную роль в проблеме собственных значений играет минимаксимальный принцип (или принцип минимакса).
Пусть А — положительно определенный оператор, удовлетворя ющий условию теоремы 1.7. Если Sn есть я-мерное подпространство
пространства На, то собственное число кпопределяется соотношением
кп= min шах R (и), |
(1-29) |
Sn v^Sn |
|
т. е. кп— наименьшее из максимальных значений |
R (о) на Sn при все |
возможных наборах га-мерных подпространств Sn с. На- (Доказатель ство справедливости принципа минимакса можно найти в [101].)
Остановимся весьма кратко и на рассмотрении более общей проб
лемы собственных значений |
|
Аи — кВи = 0, |
(1.30) |
но только для случая, когда операторы А и В — положительно опре деленные и D {А) с D (В) а Н. Эти операторы порождают соответ ствующие энергетические пространства На и Нв, так что для любого и с D (А) с= D (В) можно определить как ||ы||л, так и ||«||в. Относи тельно собственных чисел и собственных функций операторного урав нения (1.30) имеется ряд теорем, аналогичных теоремам для уравнения Аи = ки. Сформулируем (без доказательства) некоторые из них [66].
Теорема 1.8. Собственные числа уравнения (1.80) вещественные (и положительные). Собственные элементы, отвечающие различным соб ственным числам, ортогональны в метрике Нв-
Можно считать, что совокупность всех собственных элементов урав нения (1.30) ортонормирована в Нв- Нетрудно убедиться, что система собственных элементов ортогональна и в На-
Теорема 1.9. Пусть операторы А и В таковы, что всякое множе ство, ограниченное в На, компактно в НвТогда
1) уравнение (1.30) имеет |
бесконечное множество собственных чисел |
|||
0 < кг< |
к2< |
< кп< |
|
|
причем кп оо при п -> |
оо; |
|
|
|
2) соответствующие |
собственные |
элементы |
образуют систему, |
|
ортонормированную в Н в, ортогональную в Н а и |
полную в обоих про |
странствах.
Теорема 1.10. Пусть d есть точная нижняя грань функционала
Ф (и |
(Ли, и) |
(1.31) |
|
(Ви, и) |
|||
|
|
||
Если существует такой элемент и0, что |
|
||
|
(Аи0, щ) |
. |
|
Ф К ) |
(Ви0, и0) |
’ |
то d есть наименьшее собственное число уравнения (1.30), а и0— от вечающий ему собственный элемент этого уравнения.
Теорема 1.11. Пусть kr ^ k 2^. ... кп есть п первых собственных чисел уравнения (1.30), а ии и2........ип, — соответствующие им соб ственные элементы, ортонормированные в НвПусть существует элемент un+i> реализующий минимум функционала (1.31) при допол нительных условиях
(Ви, щ) = 0, (Ви, и2) = 0, (Ви, ип) = 0.
Тогда ип+\естъ собственный элемент уравнения (L30), соответствую щий собственному числу
Хп+\ = Ф (ип+\) = |
И цп+1» ип + 0 |
|
|
(Вип+1» wn+i) |
9 |
||
|
это собственное число — ближайшее, следующее за Хп.
Таким образом, теорема 1.9 устанавливает существование собствен ных чисел и собственных элементов уравнения (J.30) при положитель но определенных операторах Л, В, а теоремы 1.10 и 1.11 указывают на способ их построения путем решения некоторых вариационных задач.
Для уравнения (1.30) также возможно введение понятия обобщен ных собственных чисел и соответствующих им обобщенных собствен ных векторов. Построение этих обобщенных собственных значений осуществляется посредством решения следующих вариационных задач.
Найти минимум функционала R (и) = |
[“ » U\A |
D (R) = |
На, т. е. |
|||||
найти |
|
|
|
|
|
1и. и\ву |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= min R (и) = |
fri» |
ujlA |
|
|
||
|
|
иенА |
|
К » |
ui\в 9 |
|
|
|
если требуется построить наименьшее собственное число ^ |
и собствен |
|||||||
ный элемент иг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если известны собственные элементы иъ и2у ...» иПУортонормиро- |
||||||||
ванные в НВу а требуется построить (п + |
1)-е обобщенное собственное |
|||||||
число |
1 и собственный элемент ип+1, то задача |
формулируется гак: |
||||||
найти минимум функционала |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R(u) = |
и)в |
|
|
|
|
при дополнительных |
условиях |
1«> |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
т. е. |
[Щщ]в = 0, \и, и2[в = 0, . . . |
> [и, ип]в = о, |
(1.32) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XП+ 1 = |
min |
[Ц> |
и]А |
|
|
|
|
|
1“ . |
и\в |
Кг+1>ип+\\в 9 |
|
“ £н ав
где Нав — подпространство пространства НАу элементы которого удовлетворяют условиям (1.32).
5. Процесс Рэлея — Ритца в проблеме собственных значений. Для численного решения проблемы собственных значений, сформулирован ной в вариационной форме, с успехом применяется процесс Ритца. (Свой метод решения вариационных задач Ритц опубликовал в 1908 г. Этот метод является обобщением метода Рэлея, используемого ранее для решения некоторых задач на собственные значения. Поэтому, если речь идет о решении проблемы собственных значений, данный ме тод (процесс) часто называют процессом Рэлея — Ритца.)