Строительная механика стержневых систем. Часть 1
.pdfОпределим вертикальные реакции VА и VВ . Составим уравнения равновесия МВ 0 и МА 0, при этом нагруз-
ку, распределенную по треугольнику, заменяем равнодействующей силой, равной площади треугольника и приложенной в центре тяжести треугольника.
VAl |
ql2 |
|
1 |
S 0,4l(0,1l |
1 |
0,4l) P 0,8l |
0. |
Отсюда оп- |
|
2 |
2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
ределим VА . |
|
|
|
|
|
|
|
||
V l |
ql2 |
|
1 |
S 0,4l(0,5l |
2 |
0,4l) P 0,2l 0. |
Отсюда оп- |
||
B |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределим VВ .
Проверка вертикальных реакций уравнением Y 0. Вер-
тикальные реакции в арке (раме) находятся так же, как в простой балке того же пролета, находящейся под той же нагрузкой
(рис. 5.6, б).
Наличие промежуточного шарнира позволяет составить дополнительное уравнение равновесия. Используем его для определения горизонтальных реакций опор. Составим
МСлев 0 или |
МСправ |
0. Из |
уравнения Х 0 |
получаем, |
|||||||||||
что H А HB H. Величина Н называется распором. Запишем |
|||||||||||||||
уравнение МСлев 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
l |
|
q |
l |
|
l |
P 0,3l |
H f |
0. |
|
|||
|
A 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
МС0 |
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда МС0 |
Нf |
|
0, |
тогда Н |
М |
0 |
, где |
МС0 |
– момент |
||||||
|
С |
||||||||||||||
f |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
простой балки в сечении С. Аналогично, составляя уравнение
МСправ 0, получим Н МfС0 . Последнее уравнение можно использовать для проверки распора.
71
Определение усилий в сечении трехшарнирной арки (рамы)
Получим формулы определения изгибающего момента M, поперечной силы Q и продольной силы N для произвольного сечения «к» с координатами xк и ук . Пусть угол наклона касательной к
оси аркивсечении «к» к горизонтали к (см. рис. 5.6, а).
Рассмотрим равновесие левой части арки, представленной на рис. 5.7.
По определению изгибающего момента
Мк VA xк qxк2 P(xк 0,2l) H yк.
2
Мк0
Тогда Мк Мк0 Hyк, где Мк0 – изгибающий момент в сечении «к» простой балки (см. рис. 5.6, б).
Рис. 5.7
Поперечная сила в сечении есть сумма проекций всех сил, расположенных слева (или справа) от сечения, на нормаль в сечении арки, т.е. на ось, перпендикулярную касательной в сечении «к» к оси арки.
Учитывая правила знаков поперечной силы, получим:
Qк VA cos к qxк cos к P cos к H sin к ,
72
иначе Qк |
(VA qxк P)cos к H sin к, |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Q0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
0 |
cos |
|
H sin |
, где |
Q0 |
– поперечная сила в сече- |
т.е. Q Q |
к |
к |
|||||
к |
к |
|
к |
|
|
|
нии «к» простой балки (см. рис. 5.6, б).
Продольная сила в сечении есть сумма проекций всех сил слева (или справа) от сечения на касательную в сечении к оси арки. Продольная сила положительная, если проекция силы направлена к сечению.
Nк VA sin к qxк sin К Psin к |
H cos к , |
||
иначе Nк |
|
|
, |
(VA qxк P)sin к H cos к |
|||
|
0 |
|
|
т.е. Nк Qк |
sin к H cos к . |
|
|
Угол |
|
для сечений правой полуарки отрицательный |
(рис. 5.8).
Рис. 5.8
Итак, в трехшарнирной арке (раме) усилия в произвольном сечении от вертикальной нагрузки удобно определять по формулам:
М М0 Hy,
Q Q0 cos H sin
N Q0 sin H cos .
Эпюры M, Q, N в трехшарнирной арке строят относительно оси арки, при этом ординаты эпюр откладывают по нормали в сечении к оси арки.
73
Покажем определение Мn0 и Qn0 (рис. 5.5, б), рассматривая равновесие левой части:
M 0 |
V |
|
0,8l q 0,8l 0, 4l P 0,6l |
1 S |
|
0,3l( |
1 |
0,3l). |
||||
n |
|
A |
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
3 |
|
Из равновесия правой части получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
M 0 |
V |
0, 2l q 0,2l 0,1l S |
n |
0,1l 1 |
0,1l |
||||||
|
|
n |
В |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Sn ) 0,1l 2 0,1l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом нагрузку, распределенную по трапеции, разбиваем на нагрузку, распределенную по прямоугольнику с интен-
сивностью Sn |
и по треугольнику |
с |
наибольшей интенсив- |
|||||||||
ностью |
(S Sn ) (см. рис. 5.6, б). Момент в сечении от равно- |
|||||||||||
мерно |
распределенной |
нагрузки |
равен |
– Sn 0,1l 1 0,1l , |
а от |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
нагрузки, |
распределенной |
по |
треугольнику, |
равен |
||||||||
1 (S Sn ) 0,1l 2 0,1l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая левую часть, получим |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Q0 V |
|
q 0,8l P |
1 S |
|
0,3l. |
|
||||
|
|
n |
|
|
A |
|
|
|
2 |
n |
|
|
Рассматривая правую часть, получим |
|
|
|
|||||||||
Q0 V |
q 0,2l |
Sn S |
0,1l. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
n |
B |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее слагаемое – это равнодействующая нагрузки, |
||||||||||||
распределенной по трапеции, равная площади трапеции. |
0,1l. |
|||||||||||
При расчете арку |
удобно разбить сечениями через |
Обязательно брать сечения под сосредоточенной силой, там, где начинается и заканчивается распределенная нагрузка и опорные сечения. Расчет сводят в таблицу.
74
Но- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мер |
x |
y |
tgα |
sinα |
cosα |
M0 |
H·y |
M |
Q0 |
Q0·cosα |
H·sinα |
Q |
Q0·sinα |
H·cosα |
N |
сече- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На эпюре Q под вертикальной силой P скачок равен P cos , а на эпюре N скачок равен P sin
5.3. Расчет трехшарнирной арки (рамы) с затяжкой на вертикальную нагрузку
Затяжка на уровне опорных шарниров (рис. 5.9)
Рис. 5.9
Вертикальные реакции опор определяем, как и в простой балке, уравнениями: МВ 0 и МА 0 (см. подразд. 5.2). Из
уравнения Х 0 получаем НВ 0.
75
Усилие в затяжке Nзат находим через уравнение МСлев 0
или МСправ 0.
Составим уравнение равновесия правой части: МСправ 0,
V |
l |
P 0,3l N |
|
f 0. |
Иначе, |
М0 |
N |
|
f 0. Отсюда |
|||
|
|
|
||||||||||
B 2 |
|
|
|
|
зат |
|
|
С |
|
зат |
|
|
Nзат |
|
М |
0 |
, т.е. формула такая же, как и для определения распо- |
||||||||
|
С |
|||||||||||
f |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ра в обычной трехшарнирной арке (раме).
На усилия в сечениях арки влияет усилие в затяжке.
По аналогии с формулами M, Q и N обычной трехшарнирной арки (см. подразд. 5.2) получим:
Мк Мк0 Nзат yк , Qк Qк0 cosαк Nзатsinαк ,
Nк [Qк0 sinαк Nзат cosαк ].
Тогда в таблице определения усилий вместо H появляется Nзат. Для расчета удобно взять сечения через 0,1 l.
Повышенная затяжка (рис. 5.10)
Рис. 5.10
76
Вертикальные реакции находим из уравнений равновесия
МВ 0 |
и МА 0 (см. подразд. 5.2). |
Из уравнения Х 0 |
||||||||||
находим, |
что H A 0, Nзат |
находим из |
уравнения |
МСправ 0 . |
||||||||
V |
l |
P 0,3l N |
|
d 0. |
Иначе M 0 |
N |
зат |
d 0. |
Отсюда |
|||
|
зат |
|||||||||||
B 2 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
MС0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Nзат |
|
M 0 |
. Уравнение МСлев 0 используем для проверки най- |
|||||||||
C |
||||||||||||
d |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
денного значения Nзат .
По аналогии с выводом формул M, Q и N (см. подразд. 5.2) в обычной трехшарнирной арке получим формулы M, Q и N для сечений ниже затяжки и для сечений выше затяжки.
Сечение 1 ниже затяжки имеет координаты xI и yI .
M I = M I0 , QI QI0 cos I , NI = – QI0sinαI .
Для сечения в правой половине арки (ниже затяжки) в формулах следует учитывать знак угла.
Сечение «к» выше затяжки. На M к , Qк и Nк влияет усилие в затяжке. Пусть координаты сечения «к» – хк и yк .
Mк = Mк0 Nзат yк (f d) .
Обозначим y |
к |
( f |
d) y* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда M |
к |
M 0 N |
зат |
y* , |
Q Q0cosα |
к |
N |
зат |
sinα |
к |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
к |
к |
к |
|
к |
|
|
|
|||||||
N |
к |
[Q0 |
sinα |
к |
N |
зат |
cosα |
к |
]. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, в сечениях, где примыкает затяжка, имеем скачок на эпюрах Q и N, т.е.
|
Qлев |
Q0 |
cos |
|
, |
Qправ |
Q0 |
cos |
n |
N |
зат |
sin |
, |
|
|||
|
n |
n |
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
лев |
|
0 |
|
|
|
прав |
|
|
0 |
sin n |
|
|
|
|
, |
|
|
Nn |
Qn sin n , |
Nn |
Qn |
Nзат cos n |
|
||||||||||||
|
Qлев |
Q0 |
cos |
n' |
N |
зат |
sin |
n' |
, Qправ Q0 |
cos |
n' |
, |
|||||
|
n' |
n' |
|
|
|
n' |
|
|
n' |
|
|
||||||
лев |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
, |
прав |
|
|
|
0 |
|
|
|
Nn' |
Qn' sin n' |
Nзат cos n' |
Nn' |
Qn' |
sin n' . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для сечения n' угол n' |
отрицательный. Величина скачка |
на эпюре Q определяется |
Q Nзат sin n , а на эпюре N: |
N Nзат cos n .
В таблицу расчета арки с повышенной затяжкой вводится дополнительная графа y* . Для сечений ниже затяжки y* не имеет смысла, в таблице делается пропуск.
5.4. Пример расчета трехшарнирной арки
Построить эпюры M, Q и N для арки с повышенной затяжкой на вертикальную нагрузку, если арка очерчена по окружности (рис. 5.11). Уравнение окружности (с началом координат на
опоре А) |
|
y |
R2 (0,5l x)2 |
|
R f , |
где R – радиус окружно- |
|||||||||||||
сти, R |
|
f |
|
|
l2 |
|
, |
sin |
l 2x |
, cos |
|
y Rf |
, l = 18 м, f = 4,5 м, |
||||||
|
2 |
|
8 f |
|
2R |
|
|
R |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d = 2,6 м. Получим R |
4,5 |
|
|
182 |
11,25 м, lзат = 14,4 м. |
||||||||||||||
2 |
8 |
4,5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.11
78
|
1. Определение реакций опор: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
МВ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
VA 18 15 0,7l 1 0,4l 10 (1 |
0,4l + 0,1l) 0. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
15 0,7 18 |
|
1 0,4 18 10 (0,4 |
0,1) 18 |
|
|||||||||||
VA |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
18,9 кН. |
|
||
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
A |
0 , |
V |
|
18 15 0,3l 1 |
10 |
0, 4l (0,5l + 2 0, 4l) 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4,5 18 |
1 |
10 0,4 18 (0,5 |
0,8) 18 |
|
||||||||||
VB |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
32,1 кН. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
y 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Проверка |
|
|
вертикальных |
|
|
|
реакций |
||||||||
15 |
1 0,4 18 10 18,9 32,1 0; |
51 51 0. |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Горизонтальная реакция H A 0 |
из уравнения x 0. |
||||||||||||||
|
Находим Nзат: МСлев 0, |
Nзат |
|
М0 |
|
|||||||||||
|
C |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|||
МC0 |
VA 9 15 0,2l 18,9 9 15 0,2 18 116,1 кН/м |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Nзат |
116,1 44,65 кН. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для проверкиусилия Nзат |
достаточно найти МC0 , идясправа: |
||||||||||||||
М0 |
V |
|
9 1 |
0,4l 10 2 0,4l 32,1 9 1 0,4 18 10 |
2 0,4 |
|||||||||||
C |
|
B |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
18 116,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Определение изгибающих моментов М0 и поперечных сил Q0 в простой балке того же пролета и находящейся под той же нагрузкой (рис. 5.11, б).
МA0 0, Мn0 М10 18,9 1,8 34,02 кНм,
М20 18,9 3,6 68,04,
79
М30 18,9 5, 4 102,06, М40 18,9 7, 2 15 1,8 109,08,
МС0 116,1.
М40' 18,9 10,8 15 5, 4 |
1 1,8 2,5 1 1,8 121,77 (идя |
|
||||||
слева). |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М40' 32,1 7,2 2,5 5,4 2,7 1 7,5 5,4 2 5,4 121,77 |
|
|||||||
(идя справа). |
|
|
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
М3'0 |
18,9 12,6 15 0,4l 1 5 3,6 |
1 3,6 119,34 (идя |
сле- |
|||||
ва). |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М3'0 |
32,1 5,4 5 3,6 1,8 1 |
(10 5) 3,6 |
2 3,6 119,34 |
|||||
(идя справа). |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М20' 18,9 14,4 15 0,5 18 |
1 |
7,5 5,4 1 |
5,4 100,71 |
(идя |
||||
слева). |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М20' 32,1 3,6 7,5 1,8 0,9 1 |
(10 7,5) 1,8 2 1,8 100,71 |
|||||||
(идя справа). |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мn0' М1'0 |
32,1 1,8 57,78, |
МB0 0. |
|
|
||||
Q0 |
18,9 |
кН, Q0 18,9, |
Q0 18,9. |
|
|
|
||
A |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Q0лев 18,9, Q0прав 18,9 15 3,9. |
Q0 18,9 15 3,9. |
|
||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
Q0 |
18,9 15 3,9, Q0 18,9 15 1 1,8 2,5 1,65. |
|
||||||
С |
|
4' |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 |
18,9 15 1 3,6 5 5,1 (идя слева). |
|
||||||
3' |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q0 |
32,1 5 10 3,6 5,1 (идя справа). |
|
||||||
3' |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q20' 18,9 15 12 5,4 7,5 16,35 (идя слева).
80