Теория и методы принятия решений а также Хроника событий в Волшебных
..pdfПриведем иллюстративный пример. Пусть имеются два критерия и две альтернативы: Ai, А2. В табл. 5.6 представлены сравнения, позволяющие вычислить веса критериев.
|
|
|
Т а б л и ц а 5.6 |
||
Матрица сравнения для критериев |
|
||||
Критерий |
Ci |
с 2 |
Собственный |
Вес |
|
вектор |
|||||
|
|
|
|
||
Ci |
1 |
3 |
1,732 |
0,75 |
|
с 2 |
0,333 |
1 |
0,577 |
0,25 |
В табл. 5.7 и 5.8 даны сравнения альтернатив по критериям.
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.7 |
|
Сравнение по критерию Ci |
|
||||
Альтернатива |
A I |
а 2 |
Собственный |
Вес |
|
вектор |
|||||
|
|
|
|
||
Ai |
1 |
3 |
1,732 |
0,75 |
|
а 2 |
0,333 |
1 |
0,577 |
0,25 |
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.8 |
|
Сравнение по критерию Сг |
|
||||
Альтернатива |
Ai |
а 2 |
Собственный |
Вес |
|
вектор |
|||||
|
|
|
|
||
Ai |
1 |
0,333 |
0,577 |
0,25 |
|
А2 |
3 |
1 |
1,732 |
0,75 |
Подсчитаем показатели качества альтернатив: V(Al) =0,75 ® 0,75+0,25 ® 0,25=0,625;
V(A2) =0,25 <8>0,75+0,75 ® 0,25=0,375.
Следовательно, Ai -> А2.
Добавим альтернативу Аз, сравнения с которой представле ны в табл. 5.9 и 5.10.
121
Табшшщш. 5x9
(Qpammum твтщштщпш^и
Атпщ^дв^чнщ |
Ац |
А е |
А » |
WttWflHjp |
Btec |
|
|
|
|
|
|
||
Ли |
И |
$ |
®Щ4 |
|
dULS |
|
A s |
|
1 |
6 0 1 |
а д з а |
вуюж |
|
А® |
тг |
9 |
И |
Ф ЛШ |
(Щ Ш |
|
Д^^ЯД) |
||||||
|
|
|
|
Табшшща 5хЛФ |
||
|
^атшитттщршощив)^ |
|
||||
|
Au |
A s |
A s |
__ |
Bfec |
|
Адындяашивт |
BtfWIW]p |
|||||
|
||||||
Аи |
1 |
|
3 |
1 |
ФДЗ |
|
A s |
3 |
И |
9 |
3 |
(Цф® |
|
A s |
938® |
(ИДИ |
1 |
оцда |
(ЦДЖ |
ДДащстшшепвдшвашпштит шшдедншпик:
* а д $ <ш>ш^'шишда ® %$&=%№%
аа,7»ад®@ ® де=<$ж
<8>®*775НН®^Щ® ®да=€дш.
(Сащррвшпташдиу, А®
%.1НЦошпташ(0 В1ш ний111шгата«ш1ит11ншаш1л
ДДбудвтиоцдшаппшншй АШШ°„ тщйд|дптниишй
ВВ (ИШИЩу ПЯИН1ДР> ШГООИЫШШ ДРШ о ствягию ПИШШКЙДИК. В0я>- двдвшге,, ш ш ЛШШР дддадцщишг ошшшштв ((& o s аДваяюшидпр зншвдмищ)) дщ$гк зшдюшхию (ции1вшпадвдщ|щнм) здхшша иицццшиц,
D9) ФВДИЕ ДЦЛИДДП» ДВДВДМИИШПД» ИШВЕШБ a mm illn W H Bi;, ЧШ В а^ШШЕЩПЬ
жшн. з ш ш щ , дцвдодшяаахе ит ццавш*ши&. Ш^-жгндгаа;, пвдтавпдг аяг вафйиттяиг ццвддйямйг всчитглягет дрясиявт притгадудаилв. ид япу- aagffi двиотддвгок пднрЕШШиивдтай д> тгпввдевиит татяиши ттдшгдрнвшшюшшнвк ившяндвзгаюк.
(Ш) ШПСЩШМ) ПШШ1ЯвШИ&. Ш ШИВИОЙИИШЕ® Щ\ Шф&ВВЯВ- <ХЭЭ%, ВШЕС ЧЕНШгаВС ХЩИДхЩШ^) цциштудшг HTHWRgiHMHH д*йвдяс-
тинных физических величин, таких как вес, громкость звука, яркость света и т.д. Результаты экспериментов показывают, что связь между субъективными измерениями двух стимулов и отношениями самих стимулов может быть представлена уни версальным степенным законом:
f(Si ) / f(S2 ) =( Si / Sj )*,
где Si, S2 —стимулы; f(S|) —субъективное измерение стимула; Р —положительная постоянная; для звуковых сигналов 1000 Гц она приблизительно равна 0,3.
В качестве одного из примеров Ф. Лутсма приводит изме рение громкости звука [6] в децибелах, как это принято в аку стике. Пусть So — интенсивность звука, взятая в качестве опорной. Тогда
dB(S) - 10 log(S/So),
где dB(S) —интенсивность звука в децибелах по отношению к базовой интенсивности So.
Разность 10 дБ между интенсивностями звуков Si и S2 мо жет быть записана как dB(Si) —dB(S2) = 10. Откуда следует:
S, / S, = 10; f(Si) / f(S2 )=( Si / S j)" » 2.
Иначе говоря, при увеличении интенсивности звука на 10 дБ расстояние на шкале субъективных измерений удваивается.
Ф. Лутсма предлагает аналогичным способом строить шка лы для субъективного измерения различных факторов при при нятии решений. Так, при покупке автомобиля одним из важ ных критериев является цена. Предлагается установить значе ния Спйт. и Стах ~ диапазоны цен, реальных для покупателя. Интуитивно мы делим этот диапазон на несколько интервалов, определяющих существенные для человека различия в уровнях цен. Известный в психофизике закон Вебера утверждает, что субъективное расстояние между двумя стимулами пропорцио нально величине стимула. Тогда
Cj - Cj.i = k Cj.i , j= l,2 ...,
где Cj , Cj.i —субъективные восприятия различных цен; k —по стоянная. Таким образом,
Cj = (l+ k) Cj.i = (l+ k )j Cmin.
123
Итак, мы получили шкалу с геометрической прогрессией, с фактором прогрессии (1+к). Удобно ввести параметр шкалы p=ln(l+k), что позволяет определить деления шкалы как
Cj =exp(pj) Cmin, j=0,l,2...
Можно представить, что для цен на автомобили использу ется вербальная шкала следующего вида:
•дешевый; немного более дорогой;
•более дорогой;
•существенно более дорогой.
Кэтим четырем категориям можно добавить промежуточ ные и получить шкалу из 6—9 категорий с фактором прогрес
сии ехр(1 р)=1 +к, равным приблизительно 2 .
В общем случае переход от вербальных сравнений к числам задается шкалой, показанной в табл. 5.11.
|
|
|
Т а б л и ц а 5.11 |
|
Шкала относительной важности |
||
|
Уровень важности |
|
Количественное |
|
|
значение |
|
|
|
|
|
Sj |
Намного превосходит |
Si |
- 6 |
Sj |
Строго превосходит |
Si |
- 4 |
Sj |
Превосходит |
Si |
- 2 |
Sj |
Примерно равно |
Si |
0 |
Sj |
Превосходит |
Sj |
2 |
Si |
Строго превосходит |
Sj |
4 |
Si |
Намного превосходит |
Sj |
6 |
Итак, мультипликативный метод АНР предлагает выпол нение следующих этапов.
1.Первичное измерение с помощью словесной шкалы; осуществление сравнения на всех уровнях иерархий.
2.Перевод результатов в количественный вид с помощью
геометрической шкалы; обозначаем результат измерения 6|j
при сравнении элементов i и j по критерию t.
3. Определение баллов, отражающих сравнительные оцен ки важности альтернативы Ai по сравнению с альтернативой Aj по критерию t, с помощью преобразования г-j = ехр(р6у). Та
ким образом, осуществляется переход от матрицы попарных
124
сравнений, заполненной с использованием геометрической шкалы, к матрице субъективной относительной важности эле ментов иерархической схемы.
4. Подсчет коэффициентов важности альтернатив по крите рию i. Сначала определяется геометрическое среднее каждой из строк в матрице субъективной относительной важности эле ментов иерархической схемы — Wi (Aj) , где j=l,2,...,n. Затем эти показатели нормируются:
i=l
5. Определение аналогичным способом нормированных ве сов Wi на другом уровне иерархической схемы.
6. Определение ценности каждой из альтернатив с исполь зованием мультипликативной формулы:
v(Aj) = n [ v i(Aj)]“' i-1
Приведем пример расчета ценности альтернатив по муль типликативному методу АНР. Имеются те же четыре альтерна тивы: А, В, С, D —варианты постройки аэропорта. Пусть пред почтения между альтернативами оценены по вербальной шкале с шестью градациями: выбираем р=0,7. Коэффициенты важно сти альтернатив по критериям подсчитываются в табл. 5.12 — 5.15.
Т а б л и ц а 5.12
Сравнение по критерию Ci
Альтерна |
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
А |
В |
С |
D |
геометриче |
Вес |
|
тива |
|
||||||
|
|
|
|
|
ское |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
0 |
- 4 |
- 6 |
- 8 |
|
0,043 |
0,003 |
|
|
1 |
0,06 |
0,014 |
0,004 |
|
|
В |
4 |
0 |
- 2 |
- 4 |
|
0,7 |
0,05 |
|
|
16,44 |
1 |
0,25 |
0,06 |
|
|
С |
6 |
2 |
0 |
- 2 |
|
2,87 |
0,19 |
|
|
66,69 |
4,06 |
1 |
0,25 |
|
|
D |
8 |
4 |
2 |
0 |
|
11,59 |
0,757 |
|
|
270,4 |
16,44 |
4,06 |
1 |
|
|
125
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.13 |
|
|
|
|
Сравнение по критерию Сг |
|
|
|
||
Альтер |
|
А |
В |
С |
D |
Среднее |
|
Вес |
|
геометри |
|
||||||
натива |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ческое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
0 |
- 8 |
|
- 4 |
- 6 |
0,043 |
0,004 |
|
|
|
1 |
0,004 |
0,06 |
|
0,014 |
|
|
В |
8 |
0 |
|
2 |
1,5 |
7,48 |
|
0,65 |
|
|
270,4 |
1 |
4,06 |
|
2,85 |
|
|
С |
4 |
- 2 |
|
0 |
-1 ,5 |
1,1 |
0,096 |
|
|
|
16,44 |
0,25 |
1 |
|
0,35 |
|
|
D |
6 |
-1 ,5 |
|
1,5 |
0 |
2,86 |
|
0,25 |
|
|
66,69 |
0,35 |
2,85 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.14 |
|
|
|
|
Сравнение по критерию Сз |
|
|
|
||
Альтер |
|
А |
В |
С |
D |
Среднее |
Вес |
|
натива |
|
|
|
|
|
геометри |
|
|
|
|
|
|
|
|
ческое |
|
|
А |
0 |
2 |
|
4 |
8 |
11,59 |
0,757 |
|
|
|
1 |
4,06 |
16,44 |
270,4 |
|
|
|
В |
- 2 |
0 |
|
2 |
6 |
2,87 |
0,19 |
|
|
|
0,25 |
1 |
4,06 |
66,69 |
|
|
|
С |
- 4 |
- 2 |
|
0 |
4 |
0,7 |
0,05 |
|
|
|
0,06 |
0,25 |
1 |
16,44 |
|
|
|
D |
- 8 |
- 6 |
|
- 4 |
0 |
0,043 |
0,003 |
|
|
|
0,004 |
0,014 |
0,06 |
|
1 |
|
|
В клетках таблиц представлены численное выражение вер бальной сравнительной оценки (левый верхний угол) и значе ние Гу (правый нижний угол).
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.15 |
Сравнение критериев по важности |
||||
Критерий |
Ci |
с2 |
Сз |
Вес |
|
|
|
критерия |
|
Ci |
0 |
4 |
2 |
0,8 |
с2 |
- 4 |
0 |
2 |
0,12 |
Сз |
- 2 |
- 2 |
0 |
0,08 |
126
Аналогичным образом вычисляем веса критериев (табл. 5.15). Определяем ценности альтернатив:
V(A )= (0.003)0'8 +(0.004)°12 +(0.757)°-08 =1.51
V(B) = 1.916; V(C) = 1.807; V(D) = 2.278.
Получаем следующее упорядочение альтернатив по ценности:
D => В => С => А .
Итак, альтернатива D оказалась лучшей. Мультипликативный метод аналитической иерархии реа
лизован в виде системы поддержки принятия решений REMBRANDT [7].
10. Пример практического применения подхода АНР
Один из интересных примеров практического применения подхода АНР приведен в [8], посвященной выработке энерге тической политики Финляндии. В начале 80-х годов в парла менте Финляндии проходили оживленные дискуссии по про блеме выбора стратегического пути развития энергетики. Груп па финских ученых предложила новый способ анализа вариан тов решений —построение аналитической сети вариантов с об ратной связью.
Общая структура задачи представлена на рис. 5.2 в виде четырех уровней иерархической схемы. Особенность анализа состояла в выделении и отдельном рассмотрении трех целей второго уровня иерархии с точки зрения долгосрочных и крат косрочных последствий. Обратная связь состояла в предостав лении возможности каждому из участников анализа (политиче ским деятелям) провести свой личный анализ —назначить веса критериям, определить оценки каждой из альтернатив (боль шая электростанция на угле, атомная станция, небольшие электростанции) по критериям. Для агрегации оценок на каж дом уровне использовался основной метод АНР.
Анализ показал, что вариант построения большой электро станции на угле уступает двум другим и может быть исключен
127
из рассмотрения. Ценный результат анализа состоял в следую щем: хотя с точки зрения кратковременных целей построение атомной станции предпочтительнее, с точки зрения стратегиче ских, долговременных целей лучше строить небольшие элек тростанции.
Рнс.5.2. Иерархическая схема для анализа
Вы воды
1.В настоящее время одним из наиболее популярных методов
принятия решений является метод аналитической иерархии. В журналах опубликованы практические примеры использова ния этого метода в различных странах: США, Нидерландах, Финляндия, Индии и т.д.
2.В подходе аналитической иерархии прежде всего можно выде лить общую схему структуризации задачи: цели - критерии - альтернативы.
3.На каждом уровне иерархии осуществляется попарное сравне ние элементов уровня при помощи вербальной шкалы относи-
128
тельной важности. Результаты сравнения переводятся в числа в соответствии с заданной количественной шкалой.
4.Общая оценка важности альтернативы определяется путем суммирования произведений коэффициентов важности.
5.Метод мультипликативной аналитической иерархии отличается способом перевода вербальных измерений в числа и способом аг регации оценок при определении общей важности альтернативы.
6.Метод аналитической иерархии реализован в виде коммерче ской системы поддержки принятия решений Expert Choice. Мультипликативный метод аналитической иерархии реализован в виде системы поддержки принятия решений REMBRANDT.
Библиографический список
1.Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. М.: Радио и связь, 1991.
2.Belton V ., Gear А.Е. On a shortcoming of Saaty’s method of analytical hierarchies / / Omega. 1983, 11.
3.Stam A., Silva A.P. Stochastic judgements in the AHP: the measurement of rank reversal probabilities. Rep.WP-94-101. IIASA. Laxenburg, 1994.
4.Lootsma F.A. Scale sensitivity in the multiplicative AHP and SMART / / J. Multi-Criteria Decision Analysis. 1993. V. 2.
5.Lootsma F.A. Schuijt H. The multiplicative AHP, SMART and ELECTRE in
a common contex / / J. of Multi-Criteria Decision Analysis. 1997. V. 6.
6. Stevens S.S. On the psychophysical law / / Psychological Reviiew. 1957. V. 64.
7.Olson D.L., Fliendner G., Currie K. Comparison of the REMBRANDT system
with analytic hierarchy process / / European J. of Operations Research. 1995.
V. 32.
8.Ham alainen R .P., Seppalainen T.B. The analytic network process in energy analysis //Socio-Econ.Plann.Sci. 1986. V. 20, № 6.
Контрольное задание
Дайте определения следующих ключевых понятий:
Основные этапы подхода аналитической иерархии Построение иерархии Матрицы сравнений
Вычисление коэффициентов важности Лучшая альтернатива Проверка согласованности суждений
Матрицы сравнений при мультипликативном методе
5 Ларичев О.И. |
129 |
Геометрическая шкала измерений Вычисление коэффициентов важности в мультипликативном методе Лучшая альтернатива при мультипликативном методе
Проблема независимости от несвязанных альтернатив при подходе аналитической иерархии