- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
ТО
а
—^ 4 1 - 0 0 3 (^ - 2 )] п(< - 2)
(здесь применяем теорему запаздывания: если f(t)\LF(p)t то
f(t-T)~e-P*F(p)).
Значит,
^ (0 = (1 — COS 011(0 — 2[1 — cos(/— 1)]Л — 1)+ [1 — соз(/— 2)]т|(/ — 2) или
* (0 = 2 [sinJ i- ii(/) —2sin2 |
11 (/— lH -sin2* - ^ ^ —2)J. |
Решить следующие задачи Коши:
я " + 4* = /( /) , * ( 0) = * ' (0) = 0 .
|
|
|
|
|
x" + x = f(t), |
|
|
|
|
|
|
|
х (0) = 1, |
х' (0) = 0. |
|
|
|
/ft) |
|
|
х" -]- 9х= / ((), |
||
720. |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
.V(0) = 0, |
х' (0) = 1. |
|||
|
|
17 2 |
\ |
|
|||
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
/ft) |
|
|
х”— 2х' -\-x=*f(t), |
||
721. |
1 |
• |
1 |
! |
|||
|
|
||||||
|
|
> |
1 |
|
х (0) = л-' (0)=0. |
||
|
|
* |
1 |
i |
|||
|
|
т |
_i |
|
|
q 2d За t
722. Частица массы т движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы пй.х,' пропорциональ ной смещению, и силы сопротивления 2/мру, пропорцио нальной скорости. В момент времени 1 — 0 частица нахо дится на расстоянии хп, от положения равновесия и обла дает скоростью и«. Показать, что если имеет место равен ство п2 = Х2 —р2, то смещение частицы определяется выра жением
e~nt [/i.v0 cos nt + (o0 + M-Vo) sin nt\.
723. Частица массы m может совершать малые коле бания относительно положения равновесия и находится под воздействием восстанавливающей силы гпп2х, пропор циональной смещению. Она выводится из состояния покоя постоянной силой F, действующей в течение времени Т. Показать, что амплитуда колебания равна
2F |
■ пТ |
гг, |
---;Sin„- |
при /> 7 \ |
|
mu' |
2 |
v |
724.Математический маятник длины I выводится из положения равновесия малыми отклонениями точки под веса в горизонтальном направлении. Показать, что если точка подвеса переместилась иа расстояние а, то отклоне ние маятника равно а (1 — cos /г/), n2= g/l.
725.Частица брошена вертикально вверх со скоростью t»„. На нее действуют сила тяжести и сила сопротивления 2kmv. Показать, что в момент времени t она будет нахо
диться на расстоянии — (1 — <г2к/) от точки
бросания.
726. Материальная точка массы 2 грамма движется
прямолинейно |
под действием -силы F, |
возрастающей на а |
||||||
дин в секунду. |
В |
начальный |
момент |
точка |
находилась |
|||
в начале |
координат |
и имела скорость |
уо= 10 |
см/с. Зная, |
||||
что начальная |
величина силы |
F0 —4 дн и что на расстоя |
||||||
нии 450 см от начала координат скорость |
v = 105 см/с, |
|||||||
определить, значение |
величины а. |
|
|
|
||||
727. Материальная точка массы m движется прямоли |
||||||||
нейно, отталкиваясь от начала координат |
О с силой F, |
|||||||
прямо пропорциональной |
расстоянию (F = 4m.v). На точку |
|||||||
действует |
сопротивление |
среды R = 0mv. |
В |
Начальный |
момент расстояние от начала равно 1, а скорость равна нулю. Найти закон движения точки.
728.Тяжелая точка массы т падает в среде, сопротив ление которой прямо пропорционально первой степени скорости. Определить наибольшую скорость трчки, если при v — 1 м/с сила сопротивления равна одной трети веса точки и начальная скорость vn — 0.
729.Материальная точка массы пг движется в среде, сопротивление которой прямо пропорционально первой степени скорости (коэффициент пропорциональности к). Какое расстояние пройдет точка до остановки, если" ей сообщена начальная скорость v0 и кроме силы сопротив ления никаких других сил нет?
730. Тяжелая однородная цепочка массы т и длины 2/. лежит на гладком горизонтальном столе так, что поло вина ее свешивается со стола. Определить закон движения цепочки во время ее соскальзывания со стола и найти вре мя соскальзывания.
731. Точка массы т находится на прямой, проходящей через два центра А и В, расстояние между которыми 2d. Центры притягивают точку с силами, прямо пропорциональ ными расстоянию до центра; коэффициент пропорциональ
ности |
mk% одинаков |
для |
обоих центров. В начальный |
||
момент |
точка |
находится |
на расстоянии а от середины О |
||
отрезка |
АВ, не имея начальной скорости. Определить |
||||
закон движения точки. |
, |
массы |
|||
732. |
Неподвижный |
центр О притягивает точку |
|||
т с силой F = \xmr, |
где |
г —расстояние точки от |
этого |
||
центра |
и р. — постоянный коэффициент. В начальный мо |
||||
мент г = а и скорость |
ц = 0. Через сколько времени точка |
||||
достигнет центра О? |
|
начальная скорость t'0 = 6 м/с. |
|||
733. |
Лодке |
сообщена |
Через 69 с после начала движения эта скорость уменьша ется вдвое. Найти закон движения лодки, если сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости ло дки.
734. Материальная точка массы т — 2 совершает прямо линейные колебания по оси Ох под действием восстана вливающей силы, пропорциональной расстоянию точки от начала координат (коэффициент пропорциональности ра
вен 8), |
и возмущающей силы F —4 cost. Найти закон |
движения |
точки, если в начальный момент ,v = 0 и ц = 0. |
735. Определить движение материальной точки масс!71 т, притягиваемой к неподвижному ueHfpy О силой, прям0 пропорциональной расстоянию и равной k2m на расегой' нии, равном единице длины.
Вначальный момент точка находилась на расстояний
аот центра О и имела скорость vn, пёрпендикулярну)0
кпрямой, соединяющей начальное положение с центром О-
736.Решить задачу 735, предполагая, что точка М отталкивается от центра с силой, прямо пропорциональ' ной расстоянию, при том же коэффициенте пропорциональ' ности.
737.К цепи, состоящей из емкости С и индуктивности L, соединенных последовательно, в момент времени t —О
приложена |
э.д.с. |
E co s(со*-fa). |
Начальные.ток и заряД |
|
равны нулю. Показать, что ток в момент t равен |
||||
Е {со sin (oai -fa) —п cos a sin nt —со sin a cos nt) |
||||
где у2 = |
; |
предполагается, что |
/г Ф со2. |
|
738. К цепи предыдущего примера, с нулевыми начала |
||||
ными током |
и зарядом в момент времени t = 0, приложена |
|||
э. д. с. Esinnt с |
резонансной |
частотой. Показать, что |
||
ток равен |
Е |
sin nt, |
где /z2 = £1g. |
|
739. К сопротивлению R, обладающему индуктивностью L, приложена э. д. с. Е sin (со/ + «)• Начальный ток равен нулю. Показать, что ток равен
__ 1
Е{sin (у — а)е с + sin (сot + a — y)} (R2+ L2со2) 2,
, о)L
где tgy= -£ -.
740. К цепи, в которую последовательно включены L, R, С с начальными током и зарядом, равными нулю,
приложена |
э. |
д. с., |
равная Ех при |
0 < Ц ^ Т и Е2 при |
|||
t > T \ |
Ех, |
£2 —постоянные. Показать, что |
при |
ток |
|||
в цепи |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
e-Mt sin nt - |
г >sin п (t - |
Т), |
|
||
где р = 21' |
и |
nt = |
причем |
предполагается, |
что |
||
д2>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
741. |
Цепь, |
состоящая |
из индуктивности L, |
сопротив |
||||
ления R и емкости С, соединенных последовательно, |
||||||||||
включается |
на постоянную э. д: с. Е. |
Начальный |
заряд |
|||||||
и |
ток равны |
нулю. Показать, |
что ток / в момент времени |
|||||||
t |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
при |
«2> |
О, |
|
|
|
|
|
^-e-^sin nt |
|
|||||
|
|
|
|
^ |
tervt |
при |
пг= О, |
|
||
где |
= |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ТУ |
|
|
|
|
|
|
Р е ше н и е н е к о т о р ы х л и н е й н ы х |
|
|
||||||
|
|
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й с п е р е м е н н ы м и |
||||||||
|
|
к о э ф ф и ц и е н т а м и |
|
|
|
|
||||
|
|
Пусть |
имеем уравнение |
|
|
|
|
|||
|
|
Оо (0 |
(0 + « 1 (0 х'”- ' 1 ( 0 + ... + « » (О х ( 0 = / (0- |
(7) |
||||||
где |
а0 (/), |
аг (/), ... , а„ (/) — многочлены |
от I степени sgm, а /( 0 — |
|||||||
функция-оригинал. Будем |
предполагать, |
что задача Коши |
|
|||||||
|
|
|
х 7-0 — х0, |
х' |
1/_о= АГо |
„(Л -1) I |
— г ! " - 1) |
(8) |
||
|
|
|
* |
1г—0— ло |
для уравнения (7) имеет решение. Пусть
х(0~.‘ Х(р).
В силу теоремы о дифференцировании изображения |
|
|
|||||||||||
(*v,sl (0 =■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
(- 1)ft |
|
{L{X<S)(0 ) ! = ( - D * ^ K |
A' ( р ) - р |
|
у1*~Щ |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
Здесь |
L {*(S) (/)} — изображение |
функции |
x<s)-((). |
уравнения (7) |
преоб |
||||||||
Таким |
образом, |
применяя |
к обеим |
частям |
|||||||||
разование |
Лапласа, |
мы |
превратим (7) |
в дифференциальное |
уравне |
||||||||
ние m-го порядка относительно изображения |
X (р) |
функции х (/)• |
|||||||||||
Если |
т < |
я, |
то |
задача |
интегрирования |
уравнения (7) |
упрощается. |
||||||
П р и м е р |
4. Найти |
общее |
решение |
уравнения |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
tx"— 2х' —0. |
|
|
|
(9) |
||
Р е ш е н и е . |
Пусть |
х (/) |
X (р). Тогда |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
х' ( 0 |
= |
рА' (р)—х (0), |
^ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
л " ( 0 |
= |
р |
- Х |
( р ) - р х ( 0 ) - х ' (0), |
|
|
Уравнение (9) принимает вид
- р- |
~ 2рХ W +* (°) - |
2рх (р)+ 2* (°)= 0 |
|
ИЛИ |
dX (р) |
|
|
|
- Х(р) = |
3* 10) |
|
|
dp |
||
|
р |
р- |
Интегрируя это уравнение как линейное неоднородное уравнение относительно X (р), найдем
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(/) = |
*(0 ) + С, 3! |
|
|
|
|||
есть решение |
исходного |
уравнения. |
|
Бесселя |
|
|
|||||
П р и м е р |
5. |
Рассмотрим уравнение |
|
|
|||||||
Г-х" (/) + Ы |
if) + |
(/2- |
л2) * (0 = |
0 |
(/ > |
0, |
п - целое) |
(10) |
|||
и будем искать решение уравнения |
(10), удовлетворяющее |
началь |
|||||||||
ным условиям |
х(0) = х0, х/ (0) = дг1. |
|
|
|
|
|
|||||
Пусть А' (/) =т= X (р). |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||
х' (/) = |
рХ (р) - |
х0, |
х" (/) = р-х (р) —рх0 — |
|
|||||||
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° Х" |
|
|
|
(р} ~ РХ° |
|
|
|
W b |
|
||
<х’ |
|
|
1рх (Р)- * • ! - - £ |
fPx |
(Р)Ь |
|
|||||
и уравнение ( 10) перейдет в следующее: |
|
|
|
|
|||||||
$ |
ip** <p>i - |
1 |
IP* ( p |
) i + |
^ - « 2* (р)=° |
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Н -Р 5) |
^ |
^ |
+ |
3Р |
^ ^ |
+ ( 1 - /Г - )* (р ) = ° . |
(И) |
||||
Для решения уравнения (11) введем новую независимую пере |
|||||||||||
менную и новую искомую функцию формулами |
|
|
|
||||||||
|
|
p = sh«, |
А'(р) = |
^ . |
|
|
|
||||
Уравнение (11) перейдет пруи этом в следующее: |
|
|
|||||||||
Его общее решение |
|
г = |
+ Car* « . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|