Математическое моделирование в естественных науках

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 13-01-96006

р_урал_а, № 14-01-00069-а).

Список литературы

1. Исупова И.Л., Трусов П.В. Математическое моделирование фазовых превращений в сталях при термомеханической нагрузке // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. –

№3. – С. 126–156.

2.Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 3. – С. 157–191.

3.Курдюмов Г.В. Явления закалки и отпуска стали. – М.: Металлургиздат, 1960. – 64 с.

4.Новиков И.И. Теория термической обработки металлов. – М.: Металлургия, 1974. – 400 с.

5.Няшина Н.Д., Трусов П.В. Моделирование мартенситных превращений в сталях: кинематика мезоуровня // Вестник Пермского национального исследовательского политехническо-

го университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 118–151. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.05

6.Смирнов М.А., Счастливцев В.М., Журавлев Л.Г. Основы термической обработки стали: учеб. пособие. – Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1999. – 496 с.

51

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

С.Е. Батин1, М.Б. Гитман2

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, [e-mail], 2gmb@ pstu.ru)

Рассматривается задача о нахождении вероятностных характеристик функций случайных величин, а именно совместной плотности распределения совокупности случайных величин, находящихся в детерминированной функциональной зависимости от совокупности величин с известным законом распределения. Приведены содержательная, концептуальная и математическая постановки задачи, а также общий вид решения и ряд примеров, демонстрирующих возможности рассматриваемого метода.

Ключевые слова: стохастические модели, распределение функций случайных величин.

Работа посвящена определению вероятностных характеристик функций случайных величин. Исходными данными задачи являются совместная плотность распределения совокупности случайных величин и функциональная зависимость, связывающая некоторую исследуемую совокупность случайных величин

сисходной.

Врамках поставленной задачи будем полагать, что

– функциональное преобразование, связывающее исходную и исследуемую случайные величины, является детерминированным;

– функциональное преобразование является обратимым и обратное преобразование дифференцируемо.

Плотности распределения исходной и исследуемой совокупностей случайных величин могут быть связаны через якобиан обратного преобразования [3]:

g( y1, y2, ..., yn) = f [ψ1( y1, y2, ..., yn), ψ2( y1, y2, ..., yn), ..., ψn (y1, y2, ..., yn)] J ,

52

yi = xi

где g( y1, y2 ,..., yn ) – плотность распределения исследуемой сово-

	купности случайных величин, а ψ	(y , y	, ..., y ), i =		и		J		– об-
				1,n
	i	1 2	n

ратное преобразование и модуль его якобиана соответственно. Решение задачи в случае меньшего числа исследуемых

случайных величин по отношению к числу исходных может быть получено сведением задачи к решению при равном их числе введением дополнительных случайных величин и по-

следующим интегрированием.

Получаемые интегралы в общем случае могут не иметь выражения в элементарных функциях, что обусловливает необходимость их численного вычисления. Исходя из вида получаемых подынтегральных функций, наиболее приемлемым методом численного интегрирования является метод Монте-Карло [2]. Выбранный метод демонстрирует высокую точность, что показано на рис. 1. Кроме того, в случае необходимости точность вычислений может быть увеличена путем использования большего числа опорных точек.

0.007

0.006

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001

6

4

2

2

4

6

Рис. 1. Относительная погрешность численного интегрирования для задачи о распределении частного нормально распределенных случайных величин

53

Общее решение может применяться в различных частных задачах. На рис. 2, 3 приведены примеры решения задач о распределении жесткости на кручение однородного изотропного упругого цилиндра [1, 4] в предположении о нормальности распределения его радиуса и модуля сдвига и задачи о распределении сопротивления участка электрической цепи, состоящего из параллельно соединенных резисторов, сопротивление которых распределено нормально.

Рис. 2. Распределение	Рис. 3. Распределение сопротивления
жесткости стержня	участка цепи, состоящего из двух
на кручение	параллельно соединенных резис-
	торов, сопротивление которых
	распределено нормально

Анализируя полученные результаты, можно сделать выводы об универсальности полученного решения задачи, а также высокой точности получаемых результатов.

Список литературы

1.Temam R., Miranville A. Mathematical Modeling in Continuum Mechanics. – New York: Cambridge University Press, 2005.

2.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука: Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978.

3.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1989.

4.Седов Л.И. Механика сплошной среды. – Т. 2. – М.:

Наука, 1970.

54

МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИОННОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО АЛЮМИНИЯ

Е.Е. Батухтина1, В.А. Романова2, Р.Р. Балохонов3

(1Национальный исследовательский Томский государственный университет,

Томск, Россия, [e-mail],

2 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН,

Томск, Россия, [e-mail],

3Национальный исследовательский Томский политехнический университет,

Томск, Россия, [e-mail])

В работе предложена трехмерная модель, описывающая деформационное поведение поликристаллического алюминия в рамках физической теории пластичности. Зеренная структура вводится в явном виде. Проведены расчеты одноосного растяжения поликристаллического образца.

Ключевые слова: алюминиевые сплавы, поликристаллическая структура, физическая теория пластичности, локализация пластической деформации.

Современные алюминиевые сплавы широко применяются во многих отраслях промышленности благодаря сочетанию легкого веса с высокими характеристиками прочности

ипластичности. Прогнозирование поведения алюминиевых сплавов в условиях нагружения представляет научный и практический интерес для оценки надежности эксплуатации деталей

иконструкций.

Наряду с экспериментальными методами исследования широко применяются методы численного моделирования. Создание математических моделей, адекватно описывающих поведение материалов на разных масштабных уровнях, является нетривиальной задачей вычислительной механикии материаловедения [1].

Один из перспективных подходов, позволяющих получить информацию о локальных характеристиках напряженнодеформированного состояния на микро- и мезоуровнях, предполагает введение в модель микроструктуры материала в яв-

55

ном виде. В работе [2] поликристаллические структуры алюминиевых сплавов, характерные для условий поставки и прокатки, были сгенерированы методом пошагового заполнения. В качестве примера структура с равноосными зернами приведена на рисунке, а.

Следующим шагом является построение определяющих соотношений, описывающих упругопластический отклик зерен. Наиболее строгий подход предполагает учет упругой и пластической анизотропии на микроуровне. Упругий отклик зерен описывался в рамках анизотропной теории упругости для ГЦК-кристал- лов. Для описания пластического поведения зерен использовалась физическая теория пластичности, основанная на законе Шмида [1, 3]. В рамках этого подхода поликристалл описывается как конгломерат монокристаллов, имеющих различную кристаллографическую ориентацию относительно глобальной системы координат. Пластическая деформация в зерне начинается тогда, когда касательное напряжение в какой-либо системе скольжения достигает критического значения. В силу симметрии кристаллической решетки каждый кристалл обладает совокупностью эквивалентных систем скольжения. В случае с алюминием, обладающим ГЦК-решеткой, четыре плоскости скольжения {111} и три направления скольжения <110> в каждой плоскости образуют 12 эквивалентных систем скольжения.

В соответствии с представлением модели физической теории пластичности, учитывающей в явном виде кристаллографическую ориентацию, тензор скоростей пластических деформаций запишется как

где – ориентационный тензор.

В условиях квазистатического нагружения при комнатных температурах скорость пластического сдвига можно представить в виде степенной зависимости от напряжения сдвига τ(α):

56

где – начальная скорость сдвига, одинаковая для всех систем скольжения, ν – коэффициент скоростной чувствительности. Эти константы задаются таким образом, чтобы удовлетворить условию нечувствительности материала к скорости нагружения, поскольку последующая краевая задача решается в динамической постановке. Изотропное упрочнение задано через зависимость от накопленного пластического сдвига на данной системе скольжения:

где – критическое начальное напряжение сдвига монокристаллов алюминия, одинаковое для всех систем скольжения, k и b – аппроксимационные коэффициенты, определенные из экспериментальных кривых нагружения монокристаллов. Третий член суммы учитывает зернограничное упрочнение поликристалла через закон Холла–Петча. Здесь k1 – коэффициент зернограничного упрочнения, D – диаметр зерна, в численной реализации определенный как диаметр сферы такого же объема.

Верификация модели проведена путем сравнения с экспериментальными данными для моно- и поликристаллов алюминия в условиях одноосного растяжения. Краевая задача одноосного растяжения решалась методом конечных элементов с использованием программного пакета ABAQUS/Explicit. Выбор динамической постановки и явной схемы для решения задач квазистатики обусловлен существенно более низкими требованиями к вычислительным ресурсам по сравнению со статическими задачами. Известно, что при определенных условиях решение динамической задачи совпадает со статическим решением с приемлемой точностью. Для этого материал должен быть

57

не чувствителен к скорости нагружения, и нагрузка должна прикладываться достаточно плавно, чтобы минимизировать волновые эффекты, неизбежно присутствующие в динамике. С помощью тестовых расчетов были подобраны параметры нагружения, обеспечивающие совпадение решений динамической и квазистатической задач с отклонением не более 5 %. Модель упругопластического отклика зерен была введена в ABAQUS через процедуру VUMAT.

Серия расчетов была проведена для поликристаллов с различной геометрией зерен и текстурой. В качестве примера на рисунке приведены результаты расчета растяжения структуры с равноосными зернами. В расчетах варьировались углы Эйлера, определяющие ориентацию кристаллографических осей зерен относительно глобальной системы координат. Разброс углов прецессии и собственного вращения задавался случайным образом в пределах от –180° до 180°, угла нутации – в пределах от –90° до 90°.

а

б

Рис. Модель поликристаллического алюминия (а) и распределение эквивалентных пластических деформаций (б) при растяжении до 1 %

Расчеты показали, формаций (см. рисунок, масштаба локализации.

что распределение пластических де- б) демонстрирует два характерных Области локализации более мелкого

58

масштаба связаны с пластическими сдвигами вдоль межзеренных границ, со смещениями и поворотами отдельных зерен. Более крупный масштаб связан с образованием полос сдвига, проходящих через весь образец и вовлекающих в пластическую деформацию целые группы зерен. На свободной поверхности образца (верхняя поверхность, см. рисунок, б) мезополосы ориентированы перпендикулярно оси растяжения. На боковых поверхностях полосы ориентированы под углом 45 град к оси растяжения. Такое поведение соответствует экспериментальным наблюдениям [3].

Расчеты для различных структур и текстур показали, что наряду с текстурой на характер локализации пластической деформации оказывает существенное влияние форма зерен.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 14-08-00277-а).

Список литературы

1.Trusov P.V., Shveykin A.I. Multilevel crystal plasticity models of singleand polycrystals // Phys. Mesomech. – 2013. – 16 (2). – Р. 99–124.

2.Romanova V.A., Balokhonov R.R., Schmauder S. Numerical study of mesoscale surface roughening in aluminum polycrystals

under tension // Material science and engineering A. – 2013. –

№546. – P. 255–263.

3.Grain-scale micromechanics of polycrystal surfaces during plastic straining / Dierk Raabe, Michael Sachtleber, Hasso Weiland,

Georg Scheele, Zisu Zhao // Acta Materialia. – 2003. – № 51. – P. 1539–1560.

59

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ РАСЧЕТА РАВНОВЕСНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ РАЗУПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА

К.В. Бердников1, А.В. Коркин2, В.В. Стружанов3

(1,3Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург, Россия, [e-mail], [e-mail]

2Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия, [e-mail])

Рассматривается задача о кручении стержня круглого поперечного сечения, изготовленного из материала, диаграмма деформирования которого при чистом сдвиге обладает падающей ветвью, характеризующей стадию деформационного разупрочнения. Для расчета равновесных положений предлагается итерационная процедура, математически формализованная в форме метода простой итерации. Исследована сходимость метода. Установлено, что начало расходимости метода простой итерации согласуется с моментом потери устойчивости процесса деформирования.

Ключевые слова: кручение, жёсткое и мягкое нагружение, упрочнение, разупрочнение, итерационная процедура, сходимость, устойчивость.

При деформировании элементов конструкций часть материала может переходить в неустойчивое состояние, когда деформации растут, а сопротивление материала падает (стадия разупрочнения) [1–3]. Это приводит к появлению таких не характерных для классической механики деформируемого твердого тела эффектов, как неединственность и неустойчивость положений равновесия. Поэтому для определения параметров равновесия и их устойчивости требуется применение нетрадиционных для механики твердого тела математических методов.

Выбор методов и разработку соответствующих расчетных методик целесообразно начинать с изучения простейших задач. В настоящей работе рассматривается кручение стержня с круглым поперечным сечением. Полагается, что нагружение осуще-

60