Прикладная механика композитов
..pdfУстойчивость подкрепленных панелей |
61 |
получения приближенных оценок. В других случаях из-за сложности аналитического аппарата придется воспользо ваться графической формой представления характеристик устойчивости с указанием работ, где рассмотрено применение аналитических методов.
1.1. Начальная потеря устойчивости
Прежде чем перейти к обсуждению влияния комбиниро ванного нагружения, граничных условии, кривизны, подкреп ления кромок и других важных факторов, в первую очередь будет полезно проанализировать простейшее из доступных теоретических решений, относящееся к свободно опертой плоской пластине под действием однородного сжатия в пло скости. Решение этой задачи, которое можно найти в ряде книг [5, 20, 50], обычно имеет вид
Ncr |
^ [ Ш + 2{D' t WM) »2+-§М ^Л - о-» |
|
Критическая нагрузка Ncr зависит от изгибной жесткости, длины и ширины плоской панели и параметров волнообразо вания m и п, которые представляют собой число полуволн выпучивания в направлениях х и у соответственно. Этот вид уравнения иногда называют классическим потому, что он выведен в предположении об отсутствии трансверсального сдвига. Изменение критической нагрузки потери устойчи вости как функции отношения размеров пластины L/b по
казано на |
рис. 2. По мере увеличения L/b, т. е. по мере |
того как |
пластина становится длиннее, кривая критиче |
ской нагрузки становится более пологой. Также видно, что при некоторых значениях L/b меняется мода потери устойчи вости. Параметр р = mb/L представляет отношение шири ны выпученного элемента к длине одной волны выпучива ния; у плоских неподкрепленных изотропных панелей на чальная потеря устойчивости наступает при значении р, рав ном единице, когда параметр волнообразования п в направле нии у также равен единице. Как будет показано далее, у панелей более сложной конструкции значение р больше еди ницы и во многих случаях влияние кривизны и подкрепления кромок на число полуволн начальной потери устойчивости можно оценить с достаточной точностью, зная всего лишь радиус кривизны, ширину и длину панели.
Существует много простых формул для расчета критиче ской нагрузки начальной потери устойчивости тонких пластин при различных условиях нагружения [5, 20, 22, 50]. В неко торых из упомянутых монографий содержатся теоретические
62 |
Р. Арнольд, К. Кедвард, Е. Спайер |
результаты, которые могут оказаться полезными при анализе поведения более сложных конструкций подкрепленных па нелей, обсуждаемых в следующих разделах работы. Далее, там где это возможно, полученные численные результаты бу дут представлены в безразмерном виде путем нормирования
If
Рис. 2. Коэффициенты выпучивания плоских прямоугольных пластин 1Щ
к критической нагрузке эквивалентной плоской неподкрепленной пластины (уравнение (1.1)).
В следующих разделах более подробно обсудим характе ристики реальных конструкций подкрепленных панелей, ока зывающие большое влияние на прогнозирование критической нагрузки. Последовательность изложения не играет суще ственной роли, поскольку все рассматриваемые темы имеют прямое отношение к устойчивости подкрепленных панелей. Кроме того, почти все области практического применения композитных конструкций будут описаны с учетом одной или более рассматриваемых тем.
1.1.1. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЙ СДВИГ
Для конструкций из металлов влиянием трансверсального сдвига в общем можно пренебречь, за исключением случаев, когда относительная толщина поперечных сечений очень ве лика. Однако сравнительно низкие модуль и прочность мат рицы композитов делает влияние трансверсального сдвига
Устойчивость |
подкрепленных |
панелей |
63 |
|
значительным. На рис. |
3 |
[12] сопоставлены критические на |
||
грузки плоской панели |
в зависимости |
от относительной |
ши |
рины b/t, рассчитанные без учета N% и с учетом Ncr трансвер сального сдвига. Если произвольно принять, что толстой считается панель, критическая нагрузка которой составляет менее 95 % от рассчитанной по уравнению тонкой пластины,
то |
металлическую панель |
можно считать толстой при b / t ^ 20, |
|
а |
соответствующую панель из |
композита — при b/t ^ 5 0 . |
|
Аналогичные результаты |
были |
получены в работе [78] |
Рис. 3. Влияние трансверсального сдвига на критическую нагрузку на
чальной потери устойчивости;---------- |
пластина из алюминия;---------- |
пла |
стина из слоистого |
композита A-S/3501. |
|
для случая изгиба и выпучивания плоских квадратных пла стин большой относительной толщины с различными симмет ричными укладками.
Результаты, показанные на рис. 3, получены с помощью теоретической модели, разработанной на основе работы [31], являющейся обобщением работы [41], где рассматривались трехслойные пластины. На рис. 4 [31] показано, как ме няется критическая нагрузка в зависимости от отношения радиуса кривизны к толщине R/h и отношения модуля сдви га матрицы композита к модулю упругости при растяжении.
64 |
Р. Арнольд, К. Кедвард, Е. Спайер |
Рис. 4. Влияние межслойного сдвига на выпучивание при осевом сжатии длинных толстых цилиндрических оболочек. Свойства оболочки:
Еп/Еп == 0,75, Gu/Ец = 0,2, Vu/En = 0,125.
Критическая нагрузка, рассчитанная с учетом трансверсаль
ного сдвига, обозначена через Ncr, а классическая — через Na* Таким образом, учет трансверсального сдвига необходим при прогнозировании начальной потери устойчивости конструкций из композитов с низким модулем сдвига матрицы и относи тельно толстым поперечным сечением.
Хороший обзор литературы, учитывающей сравнительно новые работы, касающиеся влияния трансверсального сдвига на устойчивость плоских неподкрепленных пластин из ком позитов с разными граничными условиями, содержится в книге [75], частично основанной на диссертации [60]. Осо бый интерес представляет описание вариационной теоремы Рейсснера [56] и ее применение к решению проблемы устойчивости пластины с разными граничными условиями при осевом сжатии.
Что касается экспериментальных исследований, интересно отметить, что в работе [65] сказано «...в некоторых экспери ментах предельные нагрузки были меньше, чем соответствую щие расчетные нагрузки упругой потери устойчивости. Это
Устойчивость подкрепленных панелей |
65 |
Рис. 5. Экспериментальные критические нагрузки пластин из слоистых композитов, нормированные к расчетной нагрузке начальной потери устой чивости без учета трансверсального сдвига. Материал Т-300/5208, укладки:
□ |
[45/0/— 45/90]2s; |
Л |
[45/0д/ — 45/04]s. Материал A-S/3501-5, |
укладки: |
||
# |
[dh 452/02]s; ■ |
[ ± |
452/04]s; |
[± 45/06]s: ▼ |
[06/ ± 452]s. |
Материал |
|
A-S/3501-6, |
укладки: О |
[ ± 45/03/90]s; Q |
[ ± 45/90/03]s. |
b /t
Рис. 6. Экспериментальные критические нагрузки пластин из слоистых композитов, нормированные к расчетной нагрузке начальной потери устой чивости с учетом трансверсального сдвига. Материал Т-300/5208, укладки:
□ |
[45/0/— 45/90]2s; |
Д |
[45/02/ — 45/04|s. Материал |
A-S/3501-5, укладки: |
||
• |
[± 452/02]s; Ш [± |
452/04]s; |
[± 45/06].s; |
▼ |
[06/ ± 452]s. Материал |
|
|
A-S/3501-6, |
укладки: <> |
[± 45/03/90]5; |
О |
[± 45/90/0э]5. |
показывает бесполезность применения классических уравне ний устойчивости для расчета слоистых плит». Степень влия ния трансверсального сдвига, установленная на рис. 3 и 4, подтверждает процитированный вывод. На рис. 5 и 6 [12] демонстрируется важность учета трансверсального сдвига. На рис. 5 показана зависимость экспериментальных значений критической нагрузки, нормированных к классической крити ческой нагрузке, от отношения b / t для разных укладок и3
3 |
П р и к л а д н а я м е х а н и к а |
66 Р. Арнольд, К. Кедвард. Е. Спайер
типов слоистых композитов. Приведенные данные указывают на нецелесообразность применения классических уравнений
устойчивости для |
пластин из слоистых композитов |
с b/t ^ |
^ 35. На рис. 6 |
те же экспериментальные точки |
нормиро |
ваны к расчетной критической нагрузке с учетом влияния трансверсального сдвига. Наблюдаемая корреляция довольно убедительно показывает, что достоверное прогнозирование начальной потери устойчивости пластин из слоистых компо зитов требует учета трансверсального сдвига.
Предполагается, что при разных условиях нагружения влияние трансверсального сдвига на начальную устойчивость конструкций подкрепленных панелей, как плоских, так и ис кривленных, соответствует тенденциям рис. 3—6, полученным для пластин.
1.1.2. ПОДКРЕПЛЕНИЕ КРОМОК
Если иметь в виду решение в замкнутой форме, то клас сических решений для пластин с подкрепленными кромками
Рис. 7. Влияние крутильной жесткости ненагруженных 11 кромок на крити ческую нагрузку начальной потери устойчивости искривленных пластин при сжатии [80]. ---------расчет исходя из прямолинейности ненагруженных кромок; Д Z = 10; □ Z = 6; О Z = 0 — ненагруженные кромки, не прямолинейны.
по существу нет. В [80] разработан эффективный теоретико аналитический подход для прогнозирования потери устойчи-
u Имеется в виду крутильная жесткость пластин со свободными бо ковыми кромками. — Прим, перев.
Устойчивость подкрепленных панелей |
67 |
вости, закритического поведения и предельных напряжений металлических подкрепленных криволинейных панелей. Этот подход в общем позволяет оценить влияние подкрепления кромок на критическую нагрузку начальной потери устой чивости. На рис. 7 [80] показана зависимость критической нагрузки, нормированной к критической нагрузке соответ ствующей плоской пластины, от параметра подкрепление GJ/Db. Соответствие с экспериментом довольно хорошее,
ад/*»*
Рис. 8. Сравнение расчетных и экспериментальных оценок критических нагрузок начальной потери устойчивости плоских подкрепленных панелей при сжатии [16]. □ Вычислительная программа PASCO, кромки защемле ны [7]; А вычислительная программа PANCLP с учетом GsJs для тон кой пластины; О вычислительная программа PANCLP.
несмотря на то что испытанные пластины имели не вполне прямые кромки, а расчет основан на предположении об их прямолинейности. Из рис. 7 следует, что при значениях па раметра подкрепления, больших 10, ненагруженные кромки панели ведут себя в большей степени как защемленные.
На основе результатов работы [80], посвященной искрив ленным изотропным панелям с подкреплением и работы [9] по неподкрепленным композитным панелям, в работе [19] предложена теоретико-аналитическая процедура прогнозиро вания, по существу переносящая подход [80] на искривлен ные композитные панели с подкреплением. Типичные ре зультаты, демонстрирующие влияние подкрепления кромок композитной панели, приведены на рис. 8. Рассчитанная кри тическая нагрузка нормирована к экспериментальной и по строена в зависимости от параметра подкрепления GJ/Db; использованы экспериментальные данные, полученные NASA ![45]. На рис. 8 также показаны аналогичные прогнозы кри тической нагрузки, полученные с помощью вычислительной
3*
68 |
Р. Арнольд, К. Кедвард, Е. Спайер |
программы PASCO 16], созданной в NASA ]45]. Рассчитан ные величины приблизительно соответствуют условию, когда ненагруженные кромки пластины по существу защемлены. Из рис. 9 следует, что влияние изменения граничных условий
Рис. 9. Изменение аналитических оценок критической нагрузки в зависи мости от параметра крутильной жесткости подкрепляющего элемента [16]; 1 — расчет с помощью вычислительной программы PANCLP; 2 — экспе римент [7]; 3 — типичный ожидаемый диапазон отклонения эксперимен тальных результатов (±10% ).
на ненагруженных кромках превышает характерный разброс экспериментальных данных, показанных на рис. 8. Как вид^ но, даже малые изменения крутильной жесткости элементов, подкрепляющих кромки, значительно влияют на критическую' нагрузку.
1.1.3.КРИВИЗНА
Суменьшением радиуса панели от бесконечности до ко нечной величины критическая нагрузка возрастает от значе ния, соответствующего плоской пластине. Результаты для изо тропных неподкрепленных искривленных панелей со свободно опертыми или защемленными кромками в условиях осевой,
сдвиговой нагрузок |
или |
давления можно найти в работах |
[27, 34, 35]. На рис. |
10 |
[19] показана зависимость критиче |
ской нагрузки искривленной панели при осевом сжатии, нор мированной к критической нагрузке плоской пластины, от
параметра кривизны пластины Z = (b2/Rh) <\J\ — v2 и пара метра подкрепления кромок GJ/Db. У защемленной панели величина GJ/Db очень велика, больше 10, тогда как для па нели со свободными кромками она близка к нулю.
В соответствии с рис. 9 приведенная гибкость р на рис. 11 построена в зависимости от параметра кривизны Z. Подоб ные же результаты можно ожидать и для композитных па-
Рис. 10. Влияние кривизны и граничных условий на ненагруженных кром ках на критическую нагрузку потери устойчивости длинных пластин при
сжатии [19]. ------------- |
[1 9 ],----------- [80],............................Тимошенко С. П. |
Устойчивость |
упругих систем. — М. — Л.: Гостехиздат, 1946. — 532 с, |
fl^vib/L
Рис. 11. Влияние кривизны и крутильной жесткости «ненагруженных кро мок» на приведенную гибкость длинных пластин [80].
70 Р. Арнольд, К. Кедвард, Е. Спайер
нелей при сжатии, хотя точные значения будут зависеть от отношений изгибных жесткостей. Таким образом, грубую оценку критической нагрузки начальной потери устойчивости и длины волны можно получить, зная критическую нагрузку потери устойчивости плоской подкрепленной панели и ис пользуя уравнение (1.1) и кривые на рис. 10 и 11.
Для случая сдвигового нагружения панели результаты, аналогичные полученным для осевого сжатия, приведены на
|
|
|
|
рис. |
12 |
[10]. |
Аналитиче |
||||
|
|
|
|
ский аппарат работы |
[10] |
||||||
|
|
|
|
реализован |
в |
пакете |
вы |
||||
|
|
|
|
числительных |
программ |
||||||
|
|
|
|
PANCLP |
[16], |
позволяю |
|||||
|
|
|
|
щих для любой заданной |
|||||||
|
|
|
|
укладки |
|
слоев, типа |
ма |
||||
|
|
|
|
териала |
|
и |
размеров |
па |
|||
|
|
|
|
нели |
рассчитать |
зависи |
|||||
|
|
|
|
мости, |
в |
общем |
подоб |
||||
|
|
|
|
ные |
приведенным |
на |
|||||
|
|
|
|
рис. |
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.4. КОМБИНИРОВАННОЕ |
|||||||
|
|
|
|
|
НАГРУЖЕНИЕ |
|
|||||
|
|
|
|
Большинство |
реаль |
||||||
|
|
|
|
ных конструкций |
испыты |
||||||
|
|
|
|
вает |
действие |
комбина |
|||||
Рис. 12. Влияние кривизны и граничных |
ции нагрузок, которые не |
||||||||||
являются |
|
ни |
чисто |
осе |
|||||||
условий на ненагруженных кромках на |
|
||||||||||
критическую нагрузку |
длинных пластин |
выми, ни чисто сдвиговы |
|||||||||
(L/b = |
4, bit = 107) |
при |
сдвиге [10]. |
ми. |
Кроме |
того, |
многие |
||||
Ортотропный графито-эпоксидный ком |
гражданские |
и |
военные |
||||||||
позит |
A-S/3501-5 |
с |
укладкой |
самолеты |
|
в |
процессе |
||||
|
[±45/0/90],. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
эксплуатации на больших |
|||||||
|
|
|
|
высотах |
|
|
испытывают |
действие избыточного внутреннего давления. Таким обра зом в процессе проектирования часто необходимо оценить устойчивость панели при одновременном действии несколь ких нагрузок. Классические решения для прстейших гра ничных условий можно найти в работах [20, 50]. Обычно комбинированное действие двух нагрузок, таких, как осевое сжатие и сдвиг, оценивают с помощью следующего крите рия [50]:
= 1, ( 1. 2)