1130
.pdf2. Ниже в целях конкретизации будем рассматривать оболочки вра щения при осесимметричном нагружении, закреплении, ортотропном ар мировании и в предположениях работы [2]. Кроме того, здесь и в дальнейшем, если специально не оговорено, будем использовать обо значения из [2].
Пусть оболочка находится под действием равномерно распределен ной нормальной нагрузки интенсивности р и постоянного температур ного поля t. Тогда величину нагрузки, соответствующую началу раз
рушения оболочки, определим следующим образом: |
|
|
||||
|
Рн°(0 |
= min |
{рХ20с, рхос, Рфос> р .Оа) |
|
(2.1) |
|
|
|
i=l,2,...,iV |
|
|
|
|
при |
|
^он = |
min |
{^oxzc>toxc, ^0фс>^oia} • |
|
(2-2) |
|
|
|
||||
Здесь |
pXz c {t), Px0c(t), |
Рф0с(0> |
Рг0а(0 определяются из |
соответствую |
||
щего решения минимаксной задачи |
(1.6), a toxzc, t0xc, /оФс, |
|
— из ре |
|||
шения |
задач (1.8). При этом |
разрушающие нагрузки рХ20с, |
рх0с, рФ0с, |
|||
р{0а имеют аналогичный смысл, что и рх2с, рх°, рФс, Рга из |
[2], |
а темпе |
ратуры toxzc, toxc, to(pc и ^ога соответствуют началу разрушения связую щего (от сдвиговых, нормальных напряжений) и армирующих элемен тов /-го семейства в оболочке.
Задачу рационального проектирования армированных оболочек при температурно-силовом воздействии сформулируем следующим образом: при заданных параметрах отсчетной поверхности Aj, Rj (/ = 1,2), удель ного объемного содержания арматуры аа, интенсивности армирующего слоя (оа и температуры t из промежутка
0 ^ / ^ min {/он}, |
(2.3) |
требуется определить такие механичес кие параметры материалов композиции еаг*~ (1 = 1,2,. . ,N), Ес*, ос** и па раметры армирования он*, Цг*, при кото рых рн°(0 достигает максимального зна
чения, т. е.
Pu*°(t)= max {рн°(/)}
о ) (2.4)
Не останавливаясь подробно на труд ностях, которые возникают при числен ном решении данной задачи, приведем лишь кратко алгоритм счета: 1) находим решение уравнений равновесия [2, 5] при соответствующих граничных условиях. Затем, используя модель армированного материала [3, 4], определяем напряже ния в элементах композиции (1.2), (1.3);
Рис. 1. Зависимость допустимого уровня температурного нагрева от структуры армирования обо лочки (сплошные кривые соответ ствуют случаю двух семейств ар матуры, штриховая — случаю че
тырех семейств арматуры).
2) из решения задачи минимакса (1.8), (2.2), (2.3) определяем допус тимый уровень температурного нагрева; 3) при заданной температуре из промежутка (2.3) и фиксированных значениях механических пара метров элементов композиции и структуры армирования оболочки опре деляем pn°(t) из решения задачи минимакса (1.6), (2.1); при этом на ходим и область в оболочке, где впервые началось разрушение, и его характер; 4) методом сканирования [6] определяем из (2.4) механи ческие и структурные параметры рационального проекта и величину нагрузки начального разрушения этого проекта.
3. В качестве числового примера рассмотрим задачу о начальном разрушении цилиндрической оболочки с абсолютно жесткими днищами под действием всестороннего равномерно распределенного внешнего дав ления р и температуры t. (Для рассматриваемого случая уравнения равновесия и граничные условия можно получить из [2, 5]. В силу громоздкости выражения для напряжений в оболочке и элементах ком позиции здесь не приводятся.)
Результаты численного счета при параметрах |
оа = 0,55; соа = 0,7; vc= |
|
= 0,35; IO/HQ= 60; IQ/RQ= 2', (JC± = OC; СГаг± = СГа; £аг = |
£ а ! CCai — CCa'y (£<= 1,2, |
|
£ = £ a/£c; а = аа/ас= Ю приведены на |
рис. 1—3. Здесь наряду |
|
с обозначениями из [2] введены следующие: |
а с, a ai — коэффициенты |
линейного теплового расширения материалов связующего и армирую щих элементов £-го семейства. Сплошные кривые на рис. 1—3 соответ
ствуют случаю |
двух семейств |
арматуры |
(N = 2, |
pi = 0, р,2 = я/2, va^= |
= ©а (coi+ со2) ), |
а штриховые |
— случаю |
четырех |
семейств арматуры |
{N = 4, pi = 0, ц2 = я/2, р3= — Ц4 = Ц, 0^ р ^ я / 2 , соаа>г = Уа/4, £=1,2, 3, 4). На рис. 1 приведена зависимость допустимого уровня температур ного нагрева; от структуры армирования оболочки (<г>ао)1, ц). На рис. 2,3 приведены зависимости нагрузки начального разрушения при £'=15 и
75 и различных значениях температуры:
в случае двух семейств арматуры при £ = 1 5 |
|
1) Т = 0; 2) Г=0,004; 3) 7=0,009; |
(3.1) |
Рис. 2. Влияние структуры армирования coacoi и температуры на характер и величину нагрузки начального разрушения в случае двух семейств арматуры при £ = 1 5 (/=
= 1, 2, 3).
Рис. 3. Влияние структуры армирования п температуры на характер и величину на грузки начального разрушения при £ = 75 (сплошные кривые соответствуют случаю двух семейств арматуры, штриховые — случаю четырех семейств арматуры; i= 1,2,3).
и при £ = 75 |
|
|
|
1) 7 = 0 ; |
2) 7 = 0,002; |
3) 7=0,00363; |
|
в случае четырех семейств арматуры при £ = 75 |
|
||
1) Г = 0; |
2) Г = 0,004; |
3) Г=0,012 |
(3.2) |
(где T= ta cEc/ac) .
В целях конкретизации на рис. 1—3 приведены результаты числен ного счета только для таких параметров оболочки, для которых выпол
няются неравенства |
|
|
min {pxz0c, рх0с, рф0с} < |
min {р*а}; |
|
|
i=\,2,...,N |
|
m in{t0Xzc,t 0xc,tQ(pc} < |
min {/oia}. |
^3'3^ |
1= 1,2,...,2V |
|
Это значит, что оболочка начинает разрушаться вследствие разруше ния связующего, а армирующие элементы остаются упругими. При этом характер разрушения для каждого участка кривой обозначен соответст вующим напряжением. Угловые точки, отмеченные сплошными круж ками на рис. 1—3, соответствуют одновременному появлению в обо лочке нескольких типов разрушения. В качестве примера рассмотрим кривую а3А*3Вф 3 на рис. 3 (нижние индексы у букв, которыми обо значены кривые на рис. 2, 3, соответствуют номеру варианта парамет ров либо из (3.1), либо из (3.2). На участке а3Л*3 оболочка начинает разрушаться от нормальных напряжений в связующем ст*0; на участке Л*3£ 3 оболочка начинает разрушаться от сдвиговых напряжений в свя зующем Oxzc, а на В ф 3 оболочка начинает разрушаться от нормальных напряжений в связующем афс.
Точки, отмеченные звездочками, на рис. 2, 3 соответствуют рацио нальным значениям параметров структуры армированной оболочки.
Выводы. 1. Доказан ряд утверждений, которые позволили свести обратную задачу об определении нагрузки р (температуры /), соот ветствующей началу разрушения оболочки при двухпараметрическом внешнем воздействии (р, t), к решению совокупности минимаксных за дач, не зависящих от параметра нагрузки р (температуры /).
2. Определена область максимальных значений температурного на грева, при достижении которой оболочка начинает разрушаться от тем пературного воздействия при отсутствии силового воздействия. Пока зано, что данная область зависит как от структуры армирования обо лочки, так и от механических характеристик элементов композиции (см. рис. 1).
3. Предложен алгоритм численного счета, который позволил иссле довать вопрос о начальном разрушении оболочки в зависимости от параметров структуры армирования, механических характеристик эле ментов композиции и температурного нагрева. Определены рациональ ные параметры структуры армирования оболочки, соответствующие наибольшей нагрузке начального разрушения.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Немировский Ю. В., Резников Б. С. Вопросы разрушения изгибаемых армиро
ванных конструкций. — Механика полимеров, 1977, № 6, с. 1029— 1038.
2. Резников Б. С. Оптимальное проектирование по начальному «разрушению» обо лочек, подкрепляющих осесимметричные полости. — Физ.-техн. проблемы разработки
полезных ископаемых, 1976, № 6, с. 3—9.
3. Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя. — Журн. прикл. механики и техн. физики, 1969, № 6, с. 81—89.
4. Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек
ипластин. — Механика полимеров, 1972, № 5, с. 861—873.
5.Немировский Ю. В., Резников Б. С. О рациональном проектировании по на чальному разрушению армированных цилиндрических оболочек. — Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. «Проблемы механики конструкций из композиционных материалов». Челябинск, 1975, с. 93.
6.Растригин Л. А. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига, 1965. 212 с.
Институт гидродинамики Сибирского отделения |
Поступило в редакцию 5.02.80 |
АН СССР, Новосибирск |
|
УДК 624.074:678.067
А. Д. Лизарев, Н. Б. Ростанина
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ И ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Свободные несимметричные колебания непологих трехслойных сфе рических оболочек до сих пор изучены недостаточно. В большинстве ра бот, обзор которых дан в [1], авторы ограничивались выводом уравнений движения оболочек при различных гипотезах, принимаемых относи тельно свойств несущих слоев и заполнителя, не приводя ни решений этих уравнений, ни числовых результатов.
В настоящей работе получены аналитические решения задачи о сво бодных колебаниях трехслойных сферических оболочек с заполнителем, имеющим малую сдвиговую жесткость, например, металлополимерных оболочек с наружными металлическими слоями и внутренним слоем из полимерного материала. С помощью ЭВМ исследована структура час тотных спектров таких оболочек.
Основные уравнения. Рассмотрим непологую сферическую оболочку, образованную двумя наружными слоями, каждый из которых имеет тол щину 2/I2, и внутренним трансверсально-изотропным слоем толщиной 2h\. Используя вариант гипотезы ломаной линии [2], полагаем, что внут ренний слой несжимаем в радиальном направлении и может иметь де формации сдвига по толщине, а наружные тонкие слои работают как мембраны. Нормальный элемент среднего слоя после деформирования не остается перпендикулярным к срединной поверхности, а поворачива ется на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины.
Система дифференциальных уравнений, описывающих свободные не симметричные колебания непологой трехслойной сферической оболочки, имеет вид:
С1У6№Чс2У 4№Чс3У 2№+с4№=0; |
(1) |
d\V 4^ + d2V2W+ d34?= 0, |
(2) |
где W — радиальное перемещение; W — вспомогательная функция; си di — коэффициенты [1], зависящие от геометрии оболочки, механиче ских свойств материалов внутреннего и наружных слоев, а также от час тотного параметра k2=<o2R2p\/E\, причем Е i и pi — модуль упругости и плотность материала внутреннего слоя; со — собственная частота коле баний; R — радиус срединной поверхности оболочки; V 2 — дифферен циальный оператор Лапласа в сферических координатах.
После разделения переменных по формулам
з |
5 |
W= ^ zn>i(0)cos mcp; ¥ = |
ij)i(0)cosmcp |
г-1 |
г=4 |
уравнения (1) и (2) интегрируются в присоединенных функциях Ле жандра первого и второго рода Pnim(cos0) и Qnim(cos0), где степени я* определяются для i = 1,2,3 из кубического уравнения
cip3- c 2p2 + c3p-C4 = 0, |
(3) |
а для i = 4, 5 — из квадратного уравнения
dip2 — d2p + ds= 0,
причем pi = rii(ni+ 1).
В дальнейшем будем рассматривать оболочку без отверстия у по люса, для которой Wi=А{РПгп(cos0), фч=A iP nim(cos0), где Ai — по стоянные, зависящие от граничных условий. Перемещения и&, пф в на правлении меридиана и параллели, углы поворота Ре, |3Ф, изгибающий
момент M Q и поперечная сила Q e |
выражаются через присоединенные |
функции Лежандра следующим образом: |
|
з |
5 |
з |
5 |
3 |
5 |
3 |
5 |
3 |
|
5
3
5
фициент, учитывающий влияние поперечного сдвига; p= cosa; vi — ко эффициент Пуассона; G\ — модуль сдвига на площадках, перпендику
лярных к срединной поверхности оболочки. Величины Лг-, г]*, т]г(г,), |
уР'] |
зависят от тех же параметров, что и сг-, di. |
|
Для определения собственных частот используется обычная про цедура приравнивания нулю определителя пятого порядка, составлен ного из коэффициентов при Л,-. Например, в случае жестко защемленной
оболочки граничные условия имеют вид: |
|
ш = «0 = пф= ре= рф= О. |
(5) |
ння остаются справедливыми для задачи о колебаниях однородной сфе рической оболочки с учетом инерции вращения и сдвигов [3, 4].
Собственные частоты трехслоиных оболочек. Алгоритм решения час тотного уравнения f ( k ,m ) = 0 был реализован с использованием языка ФОРТРАН IV. Задавая геометрические параметры оболочки, пара метры, характеризующие свойства материалов внутреннего и наружных слоев, а также частотный параметр k, находили корни кубического (3) н квадратного (4) уравнений. Присоединенные функции Лежандра Рпт(cos0) и их производные вычисляли с помощью гипергеометриче ских рядов при т = М и т = М —1, а для остальных m= 0 , 1,2, ... , М —2 использовали известные рекуррентные зависимости для функций с оди наковыми степенями п и смежными порядками т [5].
Частотные уравнения решались одновременно для всех т ^ М , что значительно экономило машинное время. Задавая частотный параметр k с определенным шагом, фиксировали переход функции f(k,m ) через нуль. Знаки функций f(k,m ) при изменении k сравнивали сразу для всех значений т = 0 , 1,2, ... , М, а дальнейшее уточнение величины k в интер вале, где функция f(k ,m ) изменила знак, производилось отдельно для каждого значения т.
Заметим, что один из корней p = pi = ni («1 +1) |
кубического уравнения |
(3) всегда положительный, два других корня в |
нижней части спектра |
комплексно сопряженные. Свойства и методы вычисления присоединен ных функций Лежандра PnTO(cos0) с произвольной комплексной сте пенью ti = u + i%рассмотрены в [6].
Частотное уравнение для однородных сферических оболочек, как по казано в [7], при любом значении т имеет в интервале по одному корню, за исключением особых случаев, когда сумма некоторых членов частотного уравнения обращается в нуль. Здесь щ — /-й нуль при соединенной функции Лежандра Pnim(cos0). При m >rii частотные уравнения корней не имеют, за исключением случая оболочки со свобод ным краем. Эти свойства корней частотных уравнений сохраняются и в задачах о колебаниях трехслойных, а также трансверсально-изотропных оболочек.
В качестве примера в табл. 1 приведены значения k, вычисленные для трехслойной полусферической оболочки с граничными условиями
(5) и параметрами l |
= R/hi = \00\ |
rh= 0,1; rp = 2; rE—20; £i/G'i = 10; |
|||
vi = 0,4; v2 = 0,3. Здесь |
= |
~ V‘ j ; |
rh = 2^ -; |
rp= — ; индекс 1 отно- |
|
|
|
£l (1 — V2 |
) |
III |
Pi |
сится к внутреннему слою, индекс 2 — к наружным слоям.
Табл. 1
Частотные параметры к трехслойной полусферической оболочки с жестко защемленным краем
67,1
Строки таблицы соответствуют интервалам изменения степени л, между двумя соседними натуральными числами (Nj, Nj+1), а столбцы — фиксированным значениям т. При четных т собственные частоты нахо дятся на таких отрезках частотной оси, которые соответствуют интерва лам изменения ti\ между двумя соседними нечетными числами N, а при нечетных т — между соседними четными N. Эти закономерности спек тра собственных частот трехслойных полусферических оболочек обуслов ливают, как и в случае однородных оболочек [7], характерную «шахмат ную» структуру таблицы. Низшей собственной частоте как трехслойной, так и однородной жестко защемленной непологой сферической оболочки соответствует форма колебаний с одной узловой меридиональной пло скостью (m = 1). Спектры собственных частот трехслойных и однород ных сферических оболочек имеют и другие общие свойства, что законо мерно, так как дифференциальные уравнения, описывающие колебания этих оболочек, различаются только постоянными коэффициентами.
У тонких трехслойных сферических оболочек имеется точка сущест венного сгущения частот, которую можно определить из рассмотрения уравнения (4) при асимптотических значениях коэффициентов, когда от носительная толщина hi/R-^О и один из корней этого уравнения может
быть представлен в виде pi = c4/c3. Полагая |
с3 = 0, находим |
частотный |
|
параметр k = kQв точке сгущения: |
|
|
|
1 |
|
(РеОТУя+ У!)2 |
|
-У 47=( 1 — V I 2 ) ( Г р Г л + 1 ) |
Се/л+ 1 — |
Ге Ги + 1 |
( 6) |
Если оболочка однородная, то г£=г/1= гр = 0, и тогда получим извест
ную величину k o = l. |
У трехслойных металлополимерных оболочек |
1, |
|
г/i< 1, гр> 1, гЕ> г р. |
Вычисления по формуле (6) показывают, |
что у |
|
трехслойных оболочек |
т. е. точка сгущения смещается в область |
||
более высоких частот, что непосредственно видно из выражения |
|
I/ гЕПi+
'РрГл+1
которое получается из (6) в частном случае vi=v2.
Кроме существенного сгущения частот в окрестности точки, опреде ляемой формулой (6), в области k^>ko существуют локальные зоны сгу щения, которые располагаются в средних частях частотных интервалов {kj,kj+1), соответствующих отрезкам (tij, щ+1). С увеличением k коли чество частот в локальных зонах сгущения и промежутки между после довательными зонами увеличиваются, ширина зон возрастает, а в каж дой последующей зоне появляется частота, соответствующая форме ко лебаний с возросшим на единицу числом т.
При нанесении тонких металлических слоев (гд = 0,005—0,020) на сферическую оболочку, изготовленную из материала с малой сдвиговой жесткостью, собственные частоты с увеличением гк монотонно повыша ются. Отмечено некоторое значение частотного параметра k, сущест венно зависящее от /д и мало зависящее от т , при котором отношение соответствующих собственных частот трехслойной и однородной оболо чек достигает максимального значения. При дальнейшем увеличении частоты это отношение медленно снижается.
Собственные частоты трансверсально-изотропных оболочек. Теория трансверсально-изотропных сферических оболочек, построенная на ос нове обобщенной кинематической гипотезы типа Тимошенко, доста точно хорошо описывает поведение оболочек из стеклопластиков и дру гих композитных материалов с малой сдвиговой жесткостью. Задачи статики и устойчивости таких оболочек подробно рассмотрены в моно графиях [4, 8] и обзоре [9], в меньшей степени изучены динамические за
дачи. Свободные колебания трансверсально-изотропных замкнутых сфе рических оболочек исследовались на основе различных теорий в [10, 11], открытых оболочек с различными условиями закрепления края — в [12]. Влияние малой сдвиговой жесткости на несимметричные колебания не пологих сферических оболочек, насколько нам известно, до сих пор не изучалось.
Уравнение колебаний трансверсально-изотропной сферической обо лочки получим как частный случай уравнения колебаний трехслойной оболочки, полагая /i2 = 0. На рис. 1 приведены графики зависимости низ
шей собственной |
частоты (т = 1) полусферической оболочки |
с гранич |
ными условиями |
(5) от величины R/h и параметра сдвиговой |
податли |
вости Е/G' при v = 0,3. При увеличении отношения Е/G' влияние относи тельной толщины оболочки на собственные частоты снижается, а с увеличением отношения R/h все кривые на рис. 1 асимптотически при ближаются к прямой & = 0,5541, соответствующей собственной частоте безмоментных колебаний. Изменение Е/G' влияет на спектр собственных частот сферической оболочки аналогично изменению R/h: с увеличением этих отношений спектр становится более плотным. Влияние параметра Е/G' на собственные частоты повышается с увеличением частоты.
Интегралами уравнения колебаний замкнутой сферической оболочки являются присоединенные полиномы Лежандра Pn?n(cos 6). где п — це лое число. Классическая теория колебаний сферических оболочек позво ляет определить два спектра собственных частот замкнутой изотропной оболочки. Низший спектр почти не зависит, а второй вовсе не зависит от величины R/h. Теория типа Тимошенко определяет третий спектр, час тоты которого очень чувствительны к изменению R/h. Влияние пара метра Е/G' на указанные три частотных спектра замкнутых трансвер сально-изотропных оболочек показано в табл. 2. С увеличением E/G' частоты первого и второго спектров изменяются мало, но частоты третьего спектра существенно уменьшаются.
Разделение частотного спектра тонких оболочек. Подход к прибли женному решению задач динамики тонких изотропных оболочек произ вольной формы, названный методом расчленения напряженно-деформи рованного состояния, предложен в [13, 14]. Аналогичный подход, осно ванный на исследовании асимптотического поведения точного решения задачи о колебаниях сферической оболочки с использованием теории типа Тимошенко, описан в [15]. Покажем возможность такого подхода и при исследовании колебаний тонких трехслойных и трансверсально-изо тропных сферических оболочек.
Исключая из рассмотрения частотную область радиуса & = £-1/2 с центром в точке сгущения k = kQ, определяемой формулой (6), и прене брегая в коэффициентах с3 и с4 уравнения (3) членами, не зависящими
Табл. 2
Частотные параметры k замкнутых трансверсально-изотропных сферических оболочек
Спектр |
|
|
|
ЕЮ' |
|
|
|
|
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
|
|
|
||||||
|
2 |
0,7414 |
0,7408 |
0,7403 |
0,7398 |
0,7395 |
0,7391 |
|
3 |
0,9055 |
0,8999 |
0,8959 |
0,8927 |
0,8903 |
0,8883 |
|
4 |
1,0209 |
0,9999 |
0,9863 |
0,9767 |
0,9697 |
0,9642 |
II |
0 |
1,6896 |
1,6896 |
1,6896 |
1,6896 |
1,6896 |
1,6896 |
|
1 |
2,0638 |
2,0633 |
2,0628 |
2,0622 |
2,0615 |
2,0607 |
|
4 |
4,7938 |
4,7894 |
4,7848 |
4,7800 |
4,7749 |
4,7697 |
III |
0 |
7,0374 |
4,9370 |
3,9989 |
3,4350 |
3,0471 |
2,7524 |
|
1 |
7,2002 |
5,1626 |
4,2729 |
3,7498 |
3,3978 |
3,1415 |
|
4 |
8,5132 |
6,8551 |
6,2082 |
5,8605 |
5,6436 |
5,4961 |
Рис. 1. |
|
Рис. 2. |
|
|
Рис. 1. Зависимость низшей собственной частоты |
(ш =1) |
жестко защемленной полусфе |
||
рической оболочки от величины R/h и параметра Е/G' |
при v = 0,3: |
1 |
— классическая |
|
теория; 2 — теория типа Тимошенко; 3—6 — |
E /G '= 20, 40, 60, |
100 |
соответственно. |
Рис. 2. Зависимость собственных частот трансверсально-изотропной полусферической оболочки от величины R/h. E/G' = 40 (--------- ) и 10 (-----------).
от |2, найдем асимптотические выражения корней уравнения (3) при больших значениях £:
Pi =- ^- ; |
Р2,з= - ^ ~ [c2- p i ± ' l ( c 2- p i ) 2- 4 c & 2]. |
Сз |
2 С 1 |
Если подставить эти значения pi в частотное уравнение, полученное для жестко защемленной трехслойной сферической оболочки, то после неко торых преобразований оно распадается на два независимых уравнения
т2
Pnim'{li)Pn4m'(\i) ~ — — Pnim{\i)Pn*m(\i) = 0; (7) Б1Щ а
P n 2 m { \ l ) P n 3 m ' ( \ l ) - P n 2 m ' ( v ) P n Z m {\l) = 0, |
(8) |
а спектр собственных частот разделяется при этом на области с харак терными свойствами. Такое же разделение спектра тонких трехслойных сферических оболочек возможно и при условиях закрепления края, от личных от жесткого защемления. Полагая /i2 = 0, в (7) и (8) получим приближенные частотные уравнения для трансверсально-изотропных оболочек.
Уравнение (7) не зависит от величины £ и является аналогом урав нения колебаний изотропной сферической оболочки, полученного по безмоментной теории с использованием тангенциальных граничных условий и (a) = v (а) =0. Степени п\ и /г4 функций Лежандра в уравнении (7) за висят от параметров гЕ, гр и гд, характеризующих механические свойства материалов внутреннего и наружных слоев и относительную толщину этих слоев. Уравнение (7) можно назвать уравнением колебаний трех слойной безмоментной оболочки. В соответствии с терминологией, при нятой в [13, 14], колебания, частоты которых определяются этим уравне нием, являются в области k<C.kQ квазипоперечными с малой изменяе мостью, а в области k > k Q— квазитангенциальными.
Уравнение (8) аналогично известному приближенному частотному уравнению для изотропной сферической оболочки, впервые полученному в [16] при удовлетворении только нетангенциальным граничным усло
виям w (а) = |
= 0. |
\(70 |
/е =а |
По терминологии [13, 14] уравнение (8) определяет частоты квазипоперечных колебаний с большой изменяемостью. Спектр этих частот весьма чувствителен к изменению £ и при больших значениях £ очень плотный. Точки пересечения на плоскости £ — k частотных кривых, опп-