- •ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •СОКРАЩЕНИЯ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •ГЛАВА 2. МЕХАНИЗМЫ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
- •ГЛАВА 3. КИНЕМАТИКА НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
- •ГЛАВА 4. ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- •ГЛАВА 5. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- •sign(x^)
- •ГЛАВА 7. УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- •ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ВВЕДЕНИЕ
Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочислен ные экспериментальные и теоретические исследования, существен ным образом определяются состоянием эволюционирующей мезо- и микроструктуры материала. Под эволюцией мезоструктуры здесь понимаются процессы разворотов кристаллических решеток зерен или фрагментов зерен, а также их фрагментация и дробление. Под эволюцией микроструктуры в первую очередь понимаются изменения в дефектной структуре материала на микроуровне (уровне дислока ционных субструктур, конгломератов точечных дефектов, границ зе рен и т.д.). Попытки построения математических моделей, описы вающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, предпринимаются еще с 30-50-х годов XX века (Дж. Тейлор, Дж. Бишоп, Р. Хилл, Т.Г. Линь и др.); значи тельных успехов в описании процессов неупругого деформирования достигли и отечественные ученые (Я.Д. Вишняков, О.А. Кайбышев, В.А. Лихачев, П.В. Макаров, А.Н. Орлов, В.Е. Панин, В.В. Рыбин и др.).
Мезо- и микроструктура материала существенным образом изме няются в процессе деформирования. С одной стороны, макронагруже ния (макродеформации) являются источником, движущей силой изме нения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо-
имикроструктуры является фактором, определяющим поведение мате риала на макроуровне. Таким образом, управляя мезо- и микрострукту рой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне, которые
иопределяют рабочие характеристики готовых деталей и конструкций. Поэтому в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов, в нелинейной механике деформируемого твердого тела (МДТТ) одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов.
Так, известно, что пластическая деформация, превышающая 5-10 %, сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интенсивности. Под кристаллографической текстурой понимаются неоднородность функции распределения ориен
таций (ФРО) [9] решеток зерен представительного макрообъема, нали чие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела по отношению к характер ным направлениям обработки (прокатки, экструзии и т.д.). Вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает ани зотропию свойств на макроуровне. Существуют примеры как положи тельного (например, пресс-эффект при прессовании), так и отрицатель ного (образование фестонов при листовой штамповке) влияния тексту ры на механические характеристики. Таким образом, актуальность построения модели текстурообразования подтверждается достаточно острой необходимостью её применения для исследования технологиче ских процессов с целью улучшения свойств материала и предотвраще ния негативных эффектов.
Широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок оп ределяющих соотношений, гипотез и основных положений которых ле жит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах и появление которых во многом предопределили ра боты перечисленных выше ученых, будем называть физическими тео риями пластичности [44, 51, 172].
В качестве характеристик, связанных с эволюцией мезоструктуры, наиболее существенных с точки зрения изменения физико-механичес ких свойств поликристаллического материала, можно выделить сле дующие [4, 9, 34]:
1)изменение ориентаций решеток («пластические» развороты) кристаллитов (зерен, субзерен, фрагментов);
2)изменение формы и размеров зерен, фрагментация и дробление зерен при развитых пластических деформациях, приводящие к умень шению среднего размера зерна.
Исследованию параметров второй группы посвящено большое ко личество работ [15, 34], в первую очередь - экспериментальных, причем
впоследние годы в связи с интенсификацией исследований субмикрок ристаллических и наноматериалов число работ по этому направлению растет лавинообразно. Основным эффектом, связанным с уменьшением размера зерна, является улучшение прочностных свойств поликристалла (повышение пределов текучести и прочности), обусловленное увеличе нием доли межзеренных границ [15]. С другой стороны, при определен ных условиях (в частности, сохранения равноосности зерен) некоторые
материалы с уменьшением размера зерна могут стать способными к сверхпластическим деформациям [6].
Монокристаллические тела с идеальной структурой вследствие не одинаковой плотности атомов в различных плоскостях и направлениях решетки обладают анизотропией физических и механических свойств. Например, модуль упругости, удельное электросопротивление, коэффи циент диффузии имеют различное значение для разных направлений в кристалле [7,9,19].
Используемые в технике металлы и сплавы, как правило, являются поликристаллами, т. е. состоят из большого числа анизотропных кри сталлитов (зерен, субзерен). В большинстве случаев (в состоянии постав ки) в пределах представительного макрообъема кристаллиты статистиче ски неупорядоченно ориентированы один по отношению к другому, по этому на уровне представительного макрообъема во всех направлениях свойства можно считать одинаковыми, т.е. поликристаллическое тело в макроскопическом смысле можно считать изотропным.
Пластическая деформация уже при умеренных интенсивностях (порядка 0,1-0,2) деформации, сопровождается образованием кристал лографической текстуры того или иного типа и той или иной интен сивности. Под кристаллографической текстурой понимается неодно родность функции распределения ориентаций (ФРО) решеток зерен в представительном объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических реше ток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела [9]. Конкретный вид текстуры определяется типом кристалличе ской решетки кристаллитов, схемой деформирования материала, вели чиной накопленных деформаций, энергией дефекта упаковки (ЭДУ) и другими физическими параметрами. На рис. В. 1 приведены наиболее распространенные текстуры листовой прокатки.
Экспериментальному исследованию свойств текстурированных материалов посвящено значительное количество работ, например [69, 104, 109, 110, 123, 179, 182], этой тематике посвящена регулярно прово дящаяся (раз в 3 года) Международная конференция «International Con ference on Textures of Materials (ICOTOM)».
Эксперименты со всей очевидностью показывают, что вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает ани зотропию свойств на уровне представительного макрообъема. В качест ве примера можно привести зависимость между модулем упругости Е
Рис. В.1. Схема кристаллографической ориентировки кристаллитов
влистовом материале в случае кубической (а) и ребровой (б) текстуры
инаправлением в прокатанных металлических листах. Для многих гране центрированных кубических (ГЦК) и объемно-центрированных кубиче ских (ОЦК) металлов имеется явно выраженный экстремум Е для угла
ф= 45° (ф - угол к направлению прокатки (НП), ПН - направление, пер
пендикулярное плоскости прокатки), однако характер экстремума разли чен. Для экспериментальных исследований из прокатанного листа выреза лись под разными углами к НП узкие полоски, и для них в опытах на рас тяжение определялись значения Е. На рис. В.2 приведены зависимости величины Е от угла ф для прокатанных листов с различным составом [7].
Рис. В.2. Зависимости Е от угла к направлению прокатки ф [7]
Для ОЦК-металлов было обнаружено также, что прочностные характеристики (a s и с в) максимальны в направлении ПН, а остаточ
ное удлинение - в направлении НП. С текстурой связано также выше упомянутое явление пресс-эффекта, заключающееся в том, что при оп-
ределенных условиях прессова ния металлических сплавов их прочностные свойства в направ лении прессования повышаются.
Намагниченность насыще ния для a -железа с ОЦК-решет- кой одинакова для кристаллов с различной ориентировкой, од нако скорость приближения к на магниченности насыщения суще ственно изменяется в зависимости от ориентировки. На рис. В.З по казано, что насыщение ориенти ровки <100> происходит быстрее, чем насыщение любой из ориен тировок <110> или <111>; таким образом, направление, соответст вующее ребру куба, насыщается
легче всего, тогда как направление, соответствующее диагонали куба, насыщается труднее всего [19]. На основании изложенного легко по нять, что лист поликристаллического железа с соответствующей тек стурой может превосходить по магнитным свойствам лист с беспоря дочно ориентированными зернами. Электротехническая промышлен ность использует для сердечников трансформаторов лист из сплава железа с кремнием (3,3 % кремния) с целью достижения минимальных потерь на гистерезис; при этом лист должен обладать сильно развитой кубической текстурой {100}<001>, которая имеет два направления наиболее легкого намагничивания <100> в плоскости листа. Второй подходящей текстурой является {110}<001>, или ребровая кубическая текстура, которая имеет лишь одно направление легчайшего намагни чивания в плоскости листа.
Таким образом, практическое значение текстур обусловлено вы зываемой ими анизотропией свойств, которая может весьма эффективно использоваться. В то же время образование текстуры может и негативно повлиять на макросвойства материала: например, при листовой штам повке, глубокой вытяжке заготовок из металлов и сплавов могут обра зовываться так называемые фестоны [7].
Экспериментально текстуры определяют с помощью методов рентгеновского анализа, просвечивающей электронной микроскопии и дифракционным методом электронной микроскопии [28]. В работе [69], содержащей значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюми ниевого сплава, подробно описана методика экспериментальных иссле дований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ текстуры и дислокационных субструктур.
Подход к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных
Имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры в математических моделях материалов: неявным или явным способом. В первом случае в структуру определяющих соот ношений (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации) [35], без использования в явной форме параметров, описывающих эволюцию собственно мезо- и микро структуры (например, теория упругопластических процессов А.А. Иль юшина [12, 13]). Как правило, при этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования, описываемые раз личными (обычно —довольно сложными) операторами модели материа ла. Идентификация подобных моделей требует проведения трудоемких
идорогостоящих экспериментов. Применение подобных ОС при реше нии краевых задач, возникающих при анализе реальных процессов, так же связано со значительными трудностями.
Впоследние десятилетия все большее признание находит второй способ - явное введение в структуру определяющих соотношений па раметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микрострукту ры, и формулировки эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых «внутренними переменными».
Влитературе, посвященной различным теориям процессов необ ратимого деформирования, внутренними переменными называют пара метры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо-
имикроуровнях. Этимология термина «внутренние переменные», веро ятно, связана и с (неравновесной) термодинамикой, где внутренними переменными называют параметры состояния термодинамической сис темы, управлять напрямую изменениями которых за счет внешних воз
действий невозможно. Иначе говоря, эти переменные описывают «внут реннюю жизнь» термодинамической системы, чрезвычайно богатую сценариями развития, неустойчивостями, возникновением и разрушени ем внутренних структур.
Например, в случае рассмотрения процессов упругопластическо го деформирования поликристаллических материалов такими пере менными могут являться параметры, характеризующие размеры и форму зерен, накопленные сдвиги по различным системам скольже ния (СС), текущие критические напряжения сдвига по СС. Большинст во физических теорий пластичности построено, по существу, в рамках данного подхода с использованием указанных выше внутренних пере менных, которые характеризуют состояние материала в текущий мо мент времени. Для упругопластического деформирования в общем случае возможно введение и других параметров, характеризующих, например, дефектную структуру как в отдельных зернах, так и во всем рассматриваемом представительном объеме. В частности, для учета механизма зернограничного скольжения необходимым представляется введение в качестве отдельных элементов структуры межзеренных границ, величин сдвигов по границам и критических напряжений зер нограничного скольжения (ЗГС).
В настоящее время невозможно назвать какую-либо теорию необ ратимых деформаций, не использующую явно или неявно внутренние переменные. Например, в классической теории пластичности широко применяется понятие поверхности текучести, отделяющее в простран стве напряжений области упругого и неупругого деформирования [11, 14, 33]. В процессе деформирования поверхность текучести изменяет свою форму и размеры, перемещается как целое [14]. Эта эволюция по верхности текучести на макроуровне отражает изменения свойств мате риала, обусловленные перестройками мезо- и микроструктуры, в связи с чем параметры, описывающие эволюцию этой поверхности, с полным правом можно отнести к внутренним переменным. Аналогичная ситуа ция имеет место и в других теориях (вязкоупругости, вязкопластичности, ползучести и др.). Широкий класс моделей, по существу, основан ных на введении внутренних переменных, разработан исследователями томской школы физиков [22-24, 54].
Рассмотрим общую структуру конститутивной модели с использо ванием внутренних переменных для некоторого масштабного уровня. Введем следующие обозначения:
L - мера (в общем случае произвольная) напряженного состояния,
Ег - ее объективная [31] скорость изменения,
у = 1,Г - параметры воздействия термомеханической (напри
мер, температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермо механической (например, радиация, химические воздействия) природы.
Часть внутренних переменных непосредственно входит в структу ру ОС данного масштабного уровня, такие переменные в дальнейшем
будем обозначать как Jp, р = 1,Ве и для ясности называть их внутрен
ними «явными» (explicit) переменными. Вторая группа внутренних пе ременных (в большинстве случаев относящихся к более глубоким мас штабным уровням) входит в качестве переменных в эволюционные
уравнения (ЭУ); переменные этой группы будем обозначать как «Гр,
Р = 1,В1; для того чтобы отличать их от переменных первой группы,
будем называть их внутренними «скрытыми (неявными)» (implicit) пе ременными. Полная совокупность внутренних переменных, таким обра
зом, определяется как {J p} = {J*,J*5} , Р = 1,В, у = 1,Ве, 6 = 1,В1,
В = Ве+В; При построении модели для решения вопроса выбора внутренних
переменных целесообразно руководствоваться нижеприведенными тре бованиями:
1.Набор внутренних переменных должен быть достаточным для адекватности модели: последняя должна описывать интересующие эф фекты и соответствовать экспериментальным данным с требуемой точ ностью;
2.Набор внутренних переменных должен быть минимальным (так
как введение каждой дополнительной переменной приводит к необхо димости включения эволюционного уравнения (для неявных) или урав нения замыкания (для явных), т.е. усложнению ОС).
Можно отметить, что требования 1 и 2 противоречивы, что харак терно для построения любой модели [8]: необходимо при минимуме ис пользованных средств достичь возможно полного, адекватного описа ния явления или объекта.
3. Внутренние явные переменные (по крайней мере, некоторые) должны быть измеримы экспериментально в любой момент времени. К этому приводит необходимость задания начальных условий для (не
которых) явных внутренних переменных (например, распределение зе рен по размерам в начальный момент времени). Кроме того, измери мость некоторых переменных необходима для верификации модели.
Структура конститутивной модели с внутренними переменными
Анализ существующих моделей материала и физических механиз мов неупругого деформирования широкого класса конструкционных материалов позволяет предложить структуру конститутивной модели, включающую:
1) уравнения состояния (определяющие соотношения (ОС))
r = F r(pa,j;), |
(B.i) |
2) эволюционные уравнения (ЭУ) (для скрытых переменных)
= |
(В.2) |
3) замыкающие уравнения (ЗУ)
^ = с п(Ра,4 ) . |
(В.З) |
Наряду с соотношениями в скоростной (дифференциальной) фор ме могут использоваться уравнения в терминах самих параметров, ха рактеризующих напряженно-деформированное состояние и воздейст вия. Вопрос выбора типа ОС, ЭУ и ЗУ - в терминах мер напряженного состояния и других параметров («интегральные» соотношения) или мер скоростей их изменения («дифференциальные» соотношения, со отношения скоростного типа) - в каждом конкретном случае решается исследователем. При этом учитываются соображения физического ха рактера, сложности записи соотношений, ясности интерпретации ре зультатов и т.д.; понятно, что в силу отсутствия четко определенных критериев подобный выбор во многом субъективен. Следует отметить, что общая система соотношений модели материала может содержать уравнения разных типов как по группам соотношений, так и внутри каждой из трех групп.
В качестве положительных сторон подхода можно отметить сле дующие:
1.Большая ясность физической интерпретации уравнений по сравнению с построением ОС в операторной форме. В частности, при построении макрофеноменологических (операторных) соотношений теории пластичности необходимость учета нескольких (а зачастую — множества) механизмов приводит к чрезвычайной сложности получае мых уравнений, что затрудняет анализ таких ОС (особенно в случаях, когда в авторской работе подробно не раскрывается физический смысл построенных в ней ОС). Применение внутренних переменных позволяет существенно упростить эти операторы. При этом и сами внутренние пе ременные, и эволюционные уравнения для них физически прозрачны.
2.Возможность прямой или косвенной проверки результатов мо делирования эволюции мезо- и микроструктуры на основании опытных данных и/или анализа параметров на различных масштабных уровнях.
3.Относительная простота совокупности уравнений модели (опре деляющих, эволюционных и замыкающих).
4.Широкие возможности обработки результатов решения эволю ционных уравнений при переходе к макропеременным (с использова нием различных операторов осреднения). На основании одних и тех же уравнений для микро- и мезоуровней возможно получение различных (в том числе дающих количественно различные результаты) моделей материалов.
5.Модели данного типа обладают значительной универсально стью, поскольку они основаны на фундаментальных физических зако нах, пригодных для описания целых классов материалов.
Вкачестве отрицательных сторон подхода можно отметить:
1)большое число внутренних переменных и соответствующих Эво люционных уравнений, необходимых для адекватного описания процесса необратимого деформирования;
2)трудности решения «проблемы замыкания»: при формулировке
физических уравнений для представительного макрообъема возникает необходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них и т.д. Следует отметить два наибо лее употребительных подхода к решению проблемы замыкания. В Пер вом - феноменологическомпараметры, характеризующие структуру на более низких масштабных уровнях, определяются функциональными уравнениями через параметры рассматриваемого уровня (например, как
в модели турбулентности Рейнольдса) с последующей эксперименталь ной проверкой этих уравнений. Второй подход основан на построении иерархической совокупности моделей нескольких масштабных уровней и установлении связей между однотипными характеристиками процесса деформирования соседних уровней. Следует отметить, что в этом слу чае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности;
3) отсутствие в подавляющем большинстве случаев аналитических решений системы эволюционных и определяющих соотношений, что приводит к необходимости использования численных методов.
Анализируя совместно и преимущества, и недостатки рассматри ваемого подхода, можно отметить, что применение данного подхода представляется весьма перспективным для построения моделей мате риалов, особенно в свете развития вычислительных технологий.
О многоуровневых моделях
Следует отметить, что подавляющее количество теоретических работ, посвященных описанию формирования и эволюции текстуры, являются, по существу, двухуровневыми (мезо- и макроуровни). В связи с этим кратко остановимся на особенностях построения многоуровне вых моделей . Обзор подходов и методов, применяемых в многоуровне вых моделях, гипотез и алгоритмов для установления связей родствен ных переменных различных уровней, основных нерешенных проблем в рассматриваемой области приведен в [78]. Представляет интерес одна из недавних публикаций по данному направлению [126], в которой де лается попытка сформулировать теоретические основы построения многоуровных моделей. Отмечается, что существующие многоуровневые модели можно разделить на два больших класса: 1) «согласованные» (двухсторонние), в котором связи параметров соседних уровней уста навливаются с применением итерационных процедур между уровнями; 2) «иерархические» (односторонние), для которых указанные связи оп ределяются только в одном направлении - сверху вниз или снизу вверх (по шкале масштабов). Приведена общая схема N-уровневой модели, согласно которой каждой точке «грубого» к-го уровня соответствует представительный (материальный или статистический) объем более «тонкого» (£+1)-го уровня; дальнейшее рассмотрение ведется для двух
соседних уровней. Большое внимание уделяется связям параметров и уравнений различных уровней, формулируется набор законов (назы ваемых авторами принципами) для установления этих связей.
Детально рассматривается кинематика соседних масштабных уровней, устанавливаются связи кинематических характеристик (коор динат, градиентов места, ограничиваясь вторым порядком градиентов), мультипликативное разложение градиентов места, отмечается отличие промежуточных (разгруженных) конфигураций рассматриваемых уров ней. Уравнения движения (изменения количества движения и момента количества движения) записаны в обобщенной формулировке (принцип виртуальных скоростей). Значительная часть статьи посвящена рас смотрению термодинамических соотношений и установлению связей между термодинамическими параметрами соседних уровней. Обсужда ются подходы к формулировке конститутивных соотношений рассмат риваемых масштабных уровней.
Классификационными признаками для подразделения много уровневых моделей на классы могут быть выбраны: а) число уров ней, включенных в рассмотрение, и связанный с уровнями выбор «элементарной ячейки» (в дальнейшем будем называть ее «элемен том» соответствующего уровня); б) модель (гипотеза) связи одно типных характеристик различных уровней; в) физические теории, положенные в основу соотношения нижних масштабных уровней. В настоящее время подавляющее большинство используемых мно гоуровневых моделей относится к двухуровневым (макро- и мезоуровни), в качестве элемента нижнего уровня в таких моделях, как правило, выбирается кристаллит (зерно, субзерно); в последние го ды появляются трехуровневые модели (с добавлением микроуров ня). В подразд. 8.1 подробно рассмотрены идеология построения многоуровневых моделей и их классификация.
Весьма важным отличительным признаком многоуровневых мо делей, во многом определяющим «качество» моделей, является гипо теза о связи характеристик различных уровней (иногда говорят о ги потезе осреднения, или о гипотезе агрегирования - объединения эле ментов нижележащего уровня в элемент более высокого масштабного уровня). На различных вариантах таких связей подробно остановимся в подразд. 8.2.
Вопросы к разделу «Введение»
1.Что понимается под мезо- и микроструктурой? Какие характери стики мезоструктуры оказывают наибольшее влияние на физико-меха нические макросвойства материалов?
2.Чем объясняется необходимость исследования эволюциони рующей мезо- и микроструктуры?
3.Почему одни и те же по химическому составу поликристаллические материалы способны демонстрировать как изотропные, так
ианизотропные макросвойства? Приведите примеры изменения симметрийных свойств.
4.Дайте краткое определение двух основных подходов, исполь зуемых для построения определяющих соотношений.
5.Назовите основные понятия, определения и структуру конститу тивных моделей материала, основанных на использовании внутренних переменных.
6.Назовите основные положительные и отрицательные стороны моделей с внутренними переменными.
7.Приведите краткое описание многоуровневых моделей.