- •Сергель О. С.
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ
- •1.2. МОЛЕКУЛЯРНОЕ СТРОЕНИЕ
- •1.3. СПЛОШНОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •1.4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЙ ОБЪЕМ
- •1.5. ВЯЗКОСТЬ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ
- •ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
- •1.6. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •ГИДРОСТАТИКА
- •2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
- •2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
- •2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ
- •НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
- •2.4. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
- •2.7. РАВНОВЕСИЕ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
- •2.8. РАВНОВЕСИЕ ГАЗОВ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА
- •КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
- •3.1. МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •dxlu^dyl'0—dzl'w. (3.9)
- •3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
- •3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
- •3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
- •3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ
- •ИЗ ПРОСТЕЙШИХ
- •3.10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
- •4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.3. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ*
- •4.4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
- •4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
- •4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
- •4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
- •4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •4.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
- •5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
- •5.3. КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
- •5.4. КРИТЕРИИ ТЕПЛОВОГО ПОДОБИЯ
- •5.5. СОСТАВЛЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
- •5.6. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •6.2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
- •6.3. ПУЛЬСАЦИОННОЕ И ОСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
- •6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ (КАЖУЩИЕСЯ) ТУРБУЛЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
- •6.5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
- •6.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА
- •6.7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
- •ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)
- •7.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
- •7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
- •7.3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ
- •8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
- •8.2. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
- •8.3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ
- •8.4. РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ТРУБАХ С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
- •9.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
- •ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
- •10.1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
- •10.2. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
- •11.2. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ
- •11.5. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •11.6. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧИСЛАМ
- •11.7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ (ЗВУКОВЫХ) ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
- •СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ (УДАРНЫЕ ВОЛНЫ)
- •12.1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •12.2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •ПОТОКАХ
- •12.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
- •ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
- •14Л. РАСХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.3. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРЕНИЯ
- •14.5. КОМБИНИРОВАННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
- •15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
- •15.7. РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СУЖАЮЩИХ СОПЛАХ И СОПЛАХ ЛАВАЛЯ
- •Глава 16 ДИФФУЗОРЫ
- •16.2. ДИФФУЗОРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
- •16.3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ
- •ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ
- •18.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ДЛЯ РЕШЕТОК
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
чение 1— 1, 2—2, |
i—i одинаков и с учетом (3.13) можно за |
писать: |
|
O l ~ G 2 = |
Q i = Q i W lc p ^ l = Q 2 ^ 2 c p ^ 2 = Q i W ; cpS f = C O Ils t. |
Для элементарной струйки при установившемся течении и №{Ср=
01=G 2 — Gt= Q tW1Sl=Q2W2S2— Q;WiSi=com t |
(3.21) |
Для несжимаемой жидкости .не только массовый расход во всех сечениях одинаков, но и объемный расход
Q1= Q i = Ql= WlS1= W2S2= W,Sl. (3.22)
Задача 3.11. Укажите, чем определяется изме нение скорости течения в канале для несжимаемой
исжимаемой жидкости?
Сопл а и диффузоры. Каналы, в ко торых жидкость ускоряется (W2>W i), на зываются соплами или конфузорами, а те
чения в них — конфузорными. |
|
Рис. 3.3. Течение между |
|
Каналы, в которых жидкость тормозит |
лопатками |
|
|
ся (W2<W\), называются диффузорами, |
а |
|
|
течения в них — диффузорными. |
— |
сужающиеся |
каналы |
Для несжимаемой жидкости сопла |
|||
(52< S I), а диффузоры — расширяющиеся |
(S2>S i). |
|
|
Для сжимаемой жидкости соплами могут служить и |
сужаю |
щиеся и расширяющиеся каналы, в зависимости от условий тече ния; то же самое относится и к диффузорам.
Задача 3.12. Запишите всеми возможными способами условие несжимаемо сти при течении.
Задача 3.13. Опишите свойства жидкости и характер ее движения для трех
случаев: a) div(tt?)=0; б) div(g^)=0; в) div (Q№ )= —2 кг/(м3 с). Задача 3.14. Докажите, что расход воздуха через канал между двумя ло
патками ^=0,02 м высота (по нормали к чертежу) Л=0,*О5 м, №1=3(Х) м/с, pi = = 6 кг/м3 и а =30° равен G = 0,9 кг/с (рис. 3.3).
3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
Для выяснения .кинематических особенностей движения жид
кости необходимо общее движение с «абсолютной» скоростью W= = W{r, t) разложить на простейшие.
Как известно, скорость произвольной точки твердого тела W всегда может быть представлена как векторная сумма скорости
W0 поступательного движения полюса О и скорости вращения (соХ/о) вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс:
W = W 0 + ( * x 7 0). |
(3.23) |
Движение жидкой частицы является более сложным и определя ется следующей теоремой.
Теорема Коши — Гельмгольца. Скорость движения W любой точки жидкой частицы в данное мгновение можно рассмат
ривать как результат сложения векторов скоростей более простых
движений*:
1) скорости нвазитвердого движения, представляющей сумму скорости W0 поступательного движения вместе с произвольным полюсом О, находящимся в самой частице, и скорости вращения
частицы (со X Гд) около собственной оси, т. е. оси, проходящей че рез полюс О (3.23);
2) скорости WD деформационного движения, изменяющего фор
му и размеры частицы: |
|
W = W0-\-{4>Xro)-\-Wо- |
(3. 24) |
Рис. 3.4. Деформация элемента жидкости
Наличие или отсутствие деформационного и вращательного' движения жидких частиц определяет качественно отличные моде ли движения жидкости.
На рис. 3.4 совмещены в полюсе О две проекции на плоскость ху элементарного жидкого параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz в начальный момент движения /и в момент t+dt после перемеще ния в пространстве, деформаций и вращения. Для наглядности на рис. 3.4,а представлен результат лишь линейной деформации удли нения ребер, а на рис. 3.4,6— только деформации сдвига ребер и- вращение элемента. Пусть проекции скорости полюса О в началь ный момент времени и и о. Проекции скоростей точек Л и С в об щем случае будут
uA = u-\-(du/dx)dx, vA= v -\ - (dv/dx) dx, uc=u-\-(dujdy)dy и vc=v-\-(dvjdy)dy.
Скорости относительной л и н е й н о й д е ф о р м а ц и и . Точка А движется относительно полюса О вдоль оси х со ско ростью (dujdx)dx. Это вызывает линейную деформацию удлинения или укорочения ребра ОЛ, равную А А '— (dufdx)dxdt. Аналогичноерассмотрение линейных деформаций вдоль осей у и г позволяет
* Доказательство теоремы Коши—Гельмгольца, Стокса, второй теоремы Гельмгольца и теоремы Томсона можно найти в учебниках по аэродинамике: см, например, Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978, 736 с.
рассчитать величины линейных деформаций, отнесенных к длине ребер, в секунду, т. е. скоростей линейных деформаций ех, еу, гг
вдоль соответствующих осей координат: ex^=AA'/dxdt = du/dx\ гу= dv/dy;
ez=dw[dz. |
(3.25) |
|
Объемная деформация состоит в изменении объема dV=dxX |
||
Xdydz параллелепипеда |
на величину 6V=6Vx+6Vy+8Vz за |
счет |
удаления или сближения |
противоположных граней. Учтем, |
что |
АА '= (du/dx)dxdt и подсчитаем составляющую объемной деформа ции за счет изменения длины ребра dx по очевидной формуле, а для ребер dy и dz— по аналогии
bVx = AA'dydz = (du/dx) dVdt\
(3. 26)
bVy = (dv/dy) dVdt, bVz= (dw/dz) dVdt.
' Ск орос т ь о т н о с и т е л ь н о й о б ъ е м н о й д е ф о р м а ц и и е представляет изменение объема частицы, отнесенное к ее перво начальному объему и времени деформации:
-e — bV/(dVdt)=du/dx-\-dv/dy-\-dw/dz = div W = ex-{-ey-\-ez. (3. 27)
Для несжимаемой жидкости e= div W = 0.
Задача 3.15. В точке х, у, z потока p= const, |
ди/дх = 0; dw /dz= —1,2 с-1. |
|
Определите dv/dy и опишите деформацию частицы. |
е2=0,2. Определите свойст |
|
Задача 3.16. В точке х, у, z ex=i0;2; еу = 0,4; |
||
ва жидкости и величину объемной деформации. |
|
|
Скорость относительной деформации сдвига и |
||
угол поворота частицы |
(рис. 3.4,6). Движение точки А |
|
параллельно оси у со скоростью |
v-\-(dv/dx)dx можно представить |
•как движение вместе с полюсом 0 со скоростью v и относительно полюса со скоростью (dv/dx)dx. В результате относительного дви жения ребро О Л за время dt повернется на бесконечно малый угол
Ф а ~ tg d$A = AAr,/dx = {dv/dx) dxdt/dx = (dv/дх) dt. |
Аналогично |
ребро ОС повернется на угол d$c=CC"/dx={du/dy) dt. |
Общая от |
носительная деформация сдвига частицы или деформация скашива ния прямого угла АО С в А'О" С" происходит в одинаковой степе
ни под действием тангенциального |
напряжения |
хху и хух и равна |
|||
d$A-\-d$c=(dv/dx-[-du/dy)dt. Обозначив скорость |
суммарной отно |
||||
сительной деформации сдвига, |
вызванной хху, |
через вxy= (dpc-j- |
|||
-\~Фа)/dt, а вызванной хух— через |
f yx = {d$c-\-d$A)/dt, |
приходим к |
|||
заключению, что они равны |
Ъху= Ъух. Рассуждая |
аналогично най |
|||
дем скорости относительных |
деформаций сдвига в плоскостях xz |
||||
•и yz: |
|
|
|
|
|
°ху= вух= dv/dx + ди/ду; вХ2 = в2Х = |
|
||||
— dwldx-\-dtildz\ |
Qyz= |
Qzy= dwjdy-j-dv/dz. |
(3.28) |
Итак, получены девять скоростей относительных деформаций (3.25) и (3.28), из которых шесть тангенциальных попарно рав ны
у ”УХ’> |
yz~ *У% |
(3. 29) |
Вращение частицы около со б ств ей и о й оси. Опре делим угол dyz поворота частицы в плоскости хоу около собствен ной оси, проходящей через точку О параллельно оси z. Совместим (см. рис. 3.4,6) параллелограммы по диагоналям ОВ и ОВ" и за
пишем очевидное равенство |
|
|
|
йФс"Ьdyz — d$A— dyz, |
(3.30) |
отсюда |
dyz=0,5 (d$A— dfa)=0,5 (dv/dx— du/dy) dt. |
(3.31) |
По аналогии для вращения около осей, параллельных осям х и у, получим
dyx=0,5(dw/dy — dv/dz)di; dyy=0,5(du/dz—dw/dx)dt. (3.32)
3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Вихревым называется движение, сопровождаемое вращением частиц жидкости около собственных осей. Проекции угловой ско рости вращения частицы на оси х, у, z найдем как wx=dyx/di; соу=> =dyv/dt и о)z = dyz/dt в соответствии с (3.31) и (3.32)
шг= 0,5(dv/dx—du/dy); |
=0,5 (du/dz— dw/dx); |
|||
шх=0,5 (dwjdy— dv/dz). |
|
(3.33) |
||
Интенсивность вихревого д в и ж е н и я |
частиц |
|||
жи д к о с т и характеризует вектор угловой скорости |
|
|||
U)= (V + (V + ш*к; |
а |
> = |
] / |
~ (3.34) |
а также ротор вектора скорости или вихрь скорости |
|
|||
r o t # = f x # W — |
дг ) |
Ч дг |
- — 17 + |
|
\ д у |
д х ) |
^ |
||
( —---- — ')1с=2оГ. |
|
(3.35) |
||
^ \ д х |
д у ) |
|
|
|
Вектор угловой скорости и ротор вектора скорости направляют перпендикулярно плоскости вращения частицы, т. е. вдоль оси вращения так, чтобы со стороны острия вращение частицы было бы направлено против часовой стрелки.
Движение, в котором отсутствует вращение частиц жидкости около собственных осей, называется безвихревым или потенциаль ным.
Задача 3.17. Используя рис. 1.5, определите величины и направление угловых
скоростей вращения частиц жидкости и величины |
вихря |
скорости в сечениях |
||
*i и xz при у= 0; |
0,56; 1,26. Укажите на рис. 1.5 |
области |
вихревого и безвих |
|
ревого течений. |
|
|
|
|
Ответ: ^ = 0,5 rot u^=—(1,5 |
10s, 5,0-10*; 0; 7,5- 10*; 3,13 -10*; 0). |
|||
Вихревая |
линия, |
в и х р е в о й |
шнур |
и в и х р е в а я |
трубка. Эти понятия используются для геометрической характе ристики поля векторов угловых скоростей вращения частиц жидко сти и установления связи между этими частицами. Эти понятия аналогичны понятиям «линия тока», «элементарная струйка» н
«трубка тока». Поэтому иллюстрацией к их определению может служить рис. 3.1, если на нем вектор W мысленно заменить некто-*
ром угловой скорости со.
В и х р е в а я л и н и я — это линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектора угловых скоростей касательны, т. е. это в общем случае пространственная криволинейная ось вра щения всех частиц жидкости, находящихся на ней в данный мо мент. Аналогично уравнению линии тока получим уравнение вихре вой линии
[ош//] = 0; cixlux = dyluy— clzlMz.
|
|
|
(3. 36) |
|
В и х р е в о й |
шн у р |
представляет |
||
собой объемный |
пучок |
вихревых |
ли |
|
ний, проведенных через все точки вы |
||||
бранной площадки. |
|
|
||
В и х р е в о й |
т р у б к о й называется |
|||
поверхность |
вихревого |
шнура. |
При |
|
бесконечно |
малом контуре вихревая |
грубка называется элементарной. |
Рис. 3.5. Циркуляция ско |
|
И н т е н с и в н о с т ь |
или н а п р я |
рости |
ж е н и е в и х р е в о г о |
шн у р а . Ин |
|
тенсивность вращения твердого тела определяется величиной угло
вой скорости со, которая постоянна для всех его точек. В потоках жидкости, в вихревых шнурах конечных размеров частицы жид кости могут вращаться с различными по величине и направлению угловыми скоростями. Поэтому интенсивность Г(м2/с) вихревого шнура оценивается потоком вектора вихря скорости или удвоен ным потоком вектора угловой скорости через площадку данного поперечного сечения его [см. (3.35)]:
г = f ft.rot W d S = |
2 J n u d S . |
(3 .37) |
5 |
S |
|
Существенным недостатком рассмотренной оценки интенсивности вихревого шнура является_невозможность экспериментального из
мерения векторов о) и rot W современными приборами. |
к о н т у |
||
Ц ир к у л я ц и е й |
с к о р о с т и |
Г/ .по з а м к н у т о м у |
|
ру I в в е к т о р н о м |
п о л е с к о р о с т е й (рис. 3.5) называется |
||
интеграл по этому контуру от скалярного произведения |
вектора |
||
скорости W на соответствующий вектор элемента контура dl\ |
|||
rj = (j) W d7= ^)W cos adl = (§{udx-\-vdy-{-wdz), |
(3. 38) |
||
7 |
/ |
7 |
|
здесь a — угол между вектором |
скорости и касательной к контуру |
в данной точке. Для определения знака циркуляции выбирают по ложительное направление обхода контура, например, против часо вой стрелки. Циркуляция скорости по замкнутому контуру I (см.
рис. 3.5) равна сумме циркуляций по произвольным контурам к, к, к, размещенным внутри контура I, т. е. Г! = Г{1+-Гг +Гг +Г»
Это объясняется тем, что при подсчете циркуляций для отдельных контуров, общие участки проходятся два раза с противоположны ми знаками, как это показано стрелками .на рис. 3.5. Циркуляция скорости дает возможность оценить интенсивность вихревого шну
ра с помощью |
легко |
измеряемого на |
практике вектора скорости. |
Т е о р е м а |
С т о к |
с а утверждает, |
что интенсивность вихревого |
шнура равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, опоя сывающему вихревую трубку один раз по ее поверхности так, что его можно стянуть в точку не выходя за пределы жидкости
(3. 39)
С л е д с т в и я т е о р е м ы С т о к с а . 1. Если контур охватыва ет несколько вихревых трубок или областей, то циркуляция ско рости по этому контуру равна алгебраической сумме циркуляции по контурам, охватывающим каждую вихревую область отдельно. 2. Если внутри рассматриваемой области течение безвихревое, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в этой обла сти равна нулю. Однако, если циркуляция по некоторому замкну тому контуру равна нулю, это еще не значит, что течение безвих ревое: интенсивности вихревых трубок величины алгебраические, поэтому они могут дать в сумме ноль и при вихревом движении.
Задача 3.18. Докажите, что вращение жидкости по закону ur= const во всей области, исключая ось вращения, является потенциальным движением (для этого достаточно доказать, что циркуляция скорости по произвольному элемен тарному контуру высотой dr, лежащему между радиусами, равна нулю).
Задача 3.19. Решите задачу 3.17, определяя циркуляцию скорости по эле ментарным контурам в соответствующих точках.
Т е о р е м а Т о м с о н а или з а к о н с о х р а н е н и я ц и р к у
л я ц и и |
с к |
о р о с т и утверждает, |
что если: 1) силы, действующие |
в жидкости |
имеют потенциал; 2) |
идеальная жидкость баротроп- |
|
на *; 3) |
поле скоростей непрерывно, то циркуляция скорости по |
любому замкнутому жидкому контуру остается постоянной во все время движения жидкости
d V j d t = 0 % |
(3.40) |
т.е. при выполнении условий теоремы, вихри не могут ни возник
*Баротропными называются жидкости, в которых плотность есть функция только одного давления р= Ф(р), например, при течении несжимаемой жидко сти Ф (р)= const, при изотермическом течении Ф(р)=Ср, при течении, сопро
вождаемом политропическим процессом Ф=Сри”, где п — показатель политро
пы. Для баротропной жидкости характерно, что термодинамический процесс во
всей области течения одинаков. |
плотность |
не является |
Бароклииными называются жидкости, в которых |
||
функцией только давления. Например, прн местном |
нагревании |
жидкости р = |
=Ф (Т). |
|
|
нуть вновь, если их не было, ни исчезнуть, если они имелись. Это следствие теоремы Томсона называется теоремой Лагранжа.
В действительности вихревое движение постоянно возникает и рассеивается. Но это всегда связано с нарушением какого-либо из условий теоремы Томсона. Например, водовороты за кормой ко рабля, вихревое движение в пограничном слое, вихри за крылом самолета возникают и рассеиваются под действием сил трения — сил, не имеющих потенциала. Вихри за ударными волнами появля ются вследствие нарушения непрерывности поля скоростей. Воз никновение вихрей у нагретых поверхностей объясняется наруше нием баротропности.
Теорема Томсона имеет большое значение для понимания мно гих закономерностей практически важных течений. Большинство течений развивается из состояния покоя или равномерного и пря молинейного течения, при которых вихри отсутствуют. В первом приближении, если влияние трения не велико, в соответствии с те оремой Томсона, вихри будут отсутствовать и в дальнейшем, не смотря на то, что в большинстве случаев, частицы жидкости, на пример, обтекая тела, начинают двигаться по криволинейным тра екториям.
Т е о р е м а Г е л ь м г о л ь ц а о с о х р а н е н и и в и х р е в ы х линий. Если принять условие теоремы Томсона, то можно утвер ждать, что: 1) интенсивность вихревой трубки во все время движе ния остается постоянной, 2) интенсивность вихревой трубки посто янна вдоль всей ее длины, т. е. циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему трубку, постоянна.
Если величина вихря скорости по сечениям вихревой трубки не изменяется, то основываясь на теореме Гельмгольца и формуле (3.39), получим
r o t |
r o t ^ = const; Sjto^^w ^O .Sconst. |
(3.41) |
С л е д с т в и я |
т е о р е м ы Г е л ь м г о л ь ц а : 1) чем |
меньше |
площадь сечения вихревой трубки, тем больше интенсивность вих ревой трубки. Однако, сечение вихревой трубки нигде не может быть равным нулю,- так как в этом случае интенсивность вихревой трубки была бы равна бесконечности, что физически не выполни мо; 2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидко сти— они либо замыкаются на себя, как кольца табачного дыма, либо опираются на свободную поверхность жидкости или твердого тела (водовороты, смерчи), или, наконец, уходят в бесконечность. Тот хорошо известный факт, что водовороты не всегда доходят до дна, а исчезают в толще жидкости, или, вихревые шнуры от крыла самолета сохраняются лишь на конечном расстоянии, а не уходят в бесконечность, объясняется влиянием вязкости, приводящей к диффузии завихренности через поверхность вихревой трубки и за туханию ее в окружающей среде.
Единственным условием безвихревого движения является от сутствие вращения жидких частиц относительно собственных осей.
При этом частицы могут двигаться по любым траекториям |
и де |
формироваться. Математическое выражение этого условия |
полу |
чим, положив .в уравнениях (3.33) о1=ау=а>х=0 или |
|
ди/ду=дт)/с1х-, ■da/dz=dwldx\ |
|
dwjdy=dv/dz. |
(3.42) |
П о т е н ц и а л с к о р о с т и . На основании (3.42) заключаем, |
что скорость в случае безвихревого течения имеет потенциал, т. е. функцию координат <р(х, у, z), частные производные которой по любому направлению п и, следовательно, по координатным осям равны соответствующим проекциям вектора скорости
ду/д n = WM; |
d<p/dx— u‘, д<?jdy— v\ |
|
||
d<fldz = w. |
|
|
(3.43) |
|
Потенциал скорости полностью определяет поле скоростей |
|
|||
W2=u?-{-v2-{-'w'2 = {d'f/dx)'2-\-(d<p/dyf-{-(d<f/dz)2 и gradcp = Wr. |
|
|||
Поэтому б е з в и х р е в о е |
течение жидкости называют также |
по- |
||
т е н ц и а л ь н ы м . Справедливость |
равенств (3.43) доказывается |
|||
подстановкой значений и, |
v |
и w в |
(3.42), в результате чего полу |
|
чаются тождества вида д2<р/дудх=д2ц>1дхду. |
Это |
|||
Э к в и п о т е н ц и а л ь н ы е |
п о в е р х н о с т и и л и ни и . |
поверхности для пространственного и линии для плоского движе ний жидкости, для которых потенциал скорости имеет постоянное
значение |
<p = С, |
d<p = 0. Умножая равенства (3.43) |
соответственно |
||
на dx, dy |
и dz, |
складывая и приравнивая dq> нулю, получим урав |
|||
нения эквипотенциальных |
поверхностей в пространстве х, |
у, z и |
|||
линий в плоскости х, у: |
|
|
|
||
|
d<? = (d<p/dx) dx-\-(d<f/dy) dy-\-(d<?/dz) d z = |
j |
|
||
|
= udx-\-vdy-\-w dz= 0; |
} |
(3.44) |
||
|
d<?=(df/dx)dx-{-(d<?/dy) dy= udx-\-vdy= Q . ) |
|
|||
Сопоставляя (3.44) и (3.9) |
заключаем, что эквипотенциальные ли |
||||
нии и линии тока ортогональны. |
|
|
У р а в н е н и е Л а п л а с а д л я п о т е н ц и а л а с к о р о с т и при пространственном и плоском течении несжимаемой жидкости получим, подставляя значения и, v, w по (3.43) в уравнение нераз рывности (3.19):
y2f = д2<?/дх2-)-д2^?/ду2-f-<?2срjdz2 = 0;
(3.45)
у2<р= д2<?/дх2-)-d2<f/ду2= 0 .
Определение поля скоростей для потенциального течения несжи маемой жидкости сводится к решению уравнения Лапласа (3.45). Граничным условием при обтекании твердых тел является условие непротекания, т. е. равенство нулю нормальной составляющей ско рости на поверхности тела Wnw = (d(p/dn)w—0.
Использование этой модели позволяет аналитически получить
искомое поле скоростей W=W(x, у) для многих практически важ ных и сложных видов течения жидкости. Достаточно сказать, что именно эта модель была использована Н. Е. Жуковским при соз дании теории подъемной силы крыла.
Ф у н к ц и я |
тока. |
Это |
функция |
координат ф(х, у), частные |
||||||
производные |
которой |
имеют следующий вид |
|
|
||||||
|
|
|
|
dty/dx= — v\ |
dty/dy=u. |
|
|
(3.46) |
||
Отсюда |
следует, |
что |
W2=u2 + v2= (dtyldy)2+ (dty/dx)2 и |
функция |
||||||
тока, так же как |
потенциал скорости, |
определяет |
поле |
скоростей |
||||||
рассматриваемых |
течений |
и удовлетворяет |
уравнению |
неразрыв |
||||||
ности несжимаемой жидкости (3.19). |
|
йф = 0. |
Умножая ра |
|||||||
У р а в н е н и е |
л инии |
т о к а |
ф= const, |
|||||||
венства |
(3.46) |
на dx |
и dy, |
складывая и приравнивая сумму нулю, |
||||||
получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(д'Ь/ду) dy-\- (dtyjdx) d x = d ^ — ady —v d x = 0 , |
(3.47) |
которое в соответствии с (3.9) представляет собой уравнение се
мейства линий тока, |
ортогональных эквипотенциальным |
линиям |
||
(рис. 3.6). |
|
|
|
|
Ф и з и ч е с к и й |
с мыс л р а з н о с т и |
д в у х |
з н а ч е н и й |
|
ф у н к ц и й т о к а |
(фг—Ф1). Объемный расход жидкости |
dQ че |
||
рез произвольную площадку АВ высотой AZ=1 м, расположенную |
||||
между двумя линиями тока ф и ф+Аф (см. рис. 3.6), есть |
сумма |
|||
Двух расходов: dQ = udy+ (—vdx). В соответствии с |
(3.47) |
|
||
|
d.Q — dty и Q = |
— |
|
(3.48) |
|
Ф. |
|
|
|
Итак, разность ф2—Ф1 есть объемный расход жидкости через пло щадку высотой AZ=1 м, расположенную между линиями тока ф1 и фг.
У р а в н е н и е Л а п л а с а д л я ф у н к ц и и т о к а . Для при нятой модели течения функция тока является гармонической функ цией. Используя определение функции тока (3.46) и условие потен циальности течения (3.42), получим уравнение Лапласа для функ ции тока
y2ty=d2<b/dx2-\-d2ty/dy2= 0. |
(3.49) |
Интеграл этого уравнения представляет семейство линий |
тока |
ф(х, у)=С . Конкретное значение постоянной интегрирования соот ветствует определенной линии тока. Граничным условием является
совпадение одной из линий |
тока |
с непроницаемой для жидкости |
|
поверхностью обтекаемого |
твердого тела (при внешней |
задаче) |
|
или с поверхностью канала |
(при |
внутренней задаче). Эта |
линия |
тока ф,0 (дг, у) = CW называется нулевой.
С в я з ь |
м е ж д у |
п о т е н ц и а л о м |
с к о р о с т и |
ц>(х, у) и |
ф у н к ц и е й |
т о к а |
ф(х, у). Сопоставляя формулы (3.43) и (3.46), |
||
получим |
|
|
|
(3.50) |
|
д у / д х = д $ / д у = - и , d y j d y = |
— d t y j d x = v , |
||
т. е. ф и ф с точностью до произвольной постоянной |
однозначна |
связаны между собой и полностью определяют поле скоростей. Итак, непосредственное определение поля скоростей заключа
ется в решении уравнения Лапласа (3.45) |
или |
(3.49) для определе |
||||||
|
|
ния <р(х, |
у) |
или ф(х, у ), удовлетво |
||||
|
|
ряющих граничным условиям дан |
||||||
|
|
ной задачи *. Однако в большинст |
||||||
|
|
ве случаев это является невыполни |
||||||
|
|
мой задачей. Поэтому используется |
||||||
|
|
косвенный способ |
решения |
задач. |
||||
|
|
Выбирается |
произвольный потенци |
|||||
|
|
ал скорости ф(х у ), который удов |
||||||
|
|
летворяет |
уравнение |
Лапласа, и |
||||
|
|
строится картина линий тока. Если |
||||||
|
|
некоторые из линий тока совпадают |
||||||
|
|
с твердыми |
поверхностями |
канала |
||||
|
|
(при решении |
внутренних |
задач) |
||||
Рис. 3.6. Линии тока |
(ф= С) и |
или обтекаемого тела (при решении |
||||||
внешних |
задач), |
то |
выбранная |
|||||
эквипотенциальные |
линии |
функция |
удовлетворяет |
граничным |
||||
(<р=С) |
|
|||||||
|
|
условиям задачи и является ее ре |
||||||
|
|
шением. В этом случае |
поле скоро |
стей определяется по формулам (3.43). Если же не будут найдены линии тока, совпадающие с твердыми поверхностями, то выбран ная ф(х, у) не является решением задачи. Простое угадывание решений достаточно сложных задач не выполнимо. В этом случае используются метод наложения полей и метод конформных ото бражений.
3.8. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ИЛИ СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЙ
В силу линейности уравнения Лапласа его решение для слож ного сечения может быть получено наложением ряда простейших полей, для которых известны потенциалы скоростей фЬ ф2, ... или функции тока фь ф2... Потенциал скорости ф и функция тока ф син тезируемого или результирующего поля определяются алгебраи ческим, а вектор скорости—геометрическим суммированием исход ных значений:
?= 'p i+ (p 2+ -; +='W+t2+...; # = \ ^ , + # 2+ ... |
(3.51) |
Задача 3.20. Используя уравнения Лапласа для результирующего и исходных потоков, докажите справедливость (3.51).
* Следует иметь в виду, что функция тока ф существует в любом нераз рывном течении, а потенциал скорости ф — только в безвихревом.
П р и м е р ы п р о с т е й ш и х т е ч е н и й . Рассмотрим некото рые простейшие течения принятой модели [см. п. 3.7]. Поля скорос
тей заданы. Задача состоит, в определении потенциалов скорости и функций тока с тем, чтобы в дальнейшем использовать эти тече ния для синтезирования более сложных.
1.П л о с к о п а р а л л е л ь н ы й поток . Пусть вектор скорости
U?=const и линии тока составляют с осью х угол а. Тогда и =
|
Рис. 3.7. Источник и сток |
|
|
|
|
|
|||
= W cos a=const |
и v = W sin a=eonst. |
|
Интеприруя |
уравнения |
|||||
(3.44) и (3.47), получим выражения для |
потенциала скорости и |
||||||||
функции тока |
|
<?=ux-\-vy, ty=uy —vx. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(3.52) |
||||
При ф=С и i|)= C выражения (3.52) превращаются соответственно |
|||||||||
в уравнения эквипотенциальных |
линий и линий тока |
|
|||||||
|
y= C /v —(u/v)x\ |
y = (v/ti)x-\-C/u. |
|
|
(3.53) |
||||
Если поток параллелен оси х, то W —u, v = 0, и из |
(3.52) |
соответст |
|||||||
венно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cp=U7jt; <|>= Wy, x= c/W \ |
y = cJW |
|
|
(3.54) |
||||
Задача 3 .2 1 . Определить уравнения линий тока |
и величины векторов скорости |
||||||||
исходных потоков № 1 и № 2 и результирующего № 3, если заданы потенциалы |
|||||||||
скорости |
cpi = 4x+ 2у |
и ср2= —2х—4у. Изобразить |
течения в плоскости хоу. |
||||||
Ответ. Линии тока |
1) у = 0,5л: -Ь с/4; 2) у — 2х — с/2; |
3) |
у = —х + с/2; |
||||||
Скорости |
1) ui = 4; 14 = |
2 ; W 1^ 4 ,5 ; 2 ) 112 = —'2; |
|
|
|
|
|
||
|
v2 = —4; W2^ 4 ,5 ; 3) a |
2; v3 = - 2 ; |
^ ^ 2 , 8 . |
|
|
||||
2. |
П л о с к и й |
т о ч е ч н ый |
и с т о ч н и к |
и |
с то-к. Пусть ось |
||||
z представляет совокупность бесчисленного |
множества |
точечных |
источников. В плоскости хоу эта совокупность проектируется в ви де плоского точечного источника, расположенного в начале коор динат (рис. 3.7). Жидкость растекается из этого источника вдоль линий тока — прямых лучей \|)=const—во все стороны плоскости. Эквипотенциальные линии представляют* окружности с центром в начале координат. Мощностью источника называется секундный расход жидкости, приходящийся на один метр оси z—Q, м3/(м-с). Скорость жидкости в любой точке окружности радиуса г равна ра-
диальной (W =W r) и определяется по уравнению расхода (3.22) и (3.48), а ее компоненты — из простых геометрических соотношений
W = W r=Q/(2nr) = dQ/{rd6) = rf<|>/(rrf0); |
(3.56) |
u = W cos 0 = (Q/2n) \х!(х2-(-у2)]; v = W sin в= |
|
= (Q/2n)[y/(x*+y% |
|
где rdQ— элемент дуги между двумя линиями тока, расход жидко сти между которыми dQ=d\|з.
Используя уравнение (3.55), определим для источника и стока потенциал скорости и функцию тока с точностью до постоянной
dffldr= W r= W ,‘ <р= (<3/2я) In г = (Q/2jt) In ]/л:2 -f у2; |
\ |
(35б) |
dty=(QI2n)dd; ф = (Q/2JT) 0 = (Q/2jt) arctg (r//jc). |
j |
|
Течение в сток направлено обратно — от периферии в начало коор динат. Мощность стока при
|
нимается |
|
отрицательной |
||||
|
(Q<0). На основании фор |
||||||
|
мулы (3.55) |
заключаем, |
что |
||||
|
скорость |
обратно |
пропорци |
||||
|
ональна радиусу и в начале |
||||||
|
координат |
обращается |
в |
||||
|
бесконечность. |
В |
реальных |
||||
|
течениях |
бесконечно |
боль |
||||
|
шие скорости |
недостижимы. |
|||||
|
Поэтому |
источник |
и сток |
||||
|
называются |
|
гидродинами |
||||
|
ческими |
особенностями, |
че |
||||
%+dwu |
рез которые |
можно |
провес |
||||
|
ти бесчисленное |
множество |
|||||
Рис. 3.8. Потенциальный вихрь |
линий тока. |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
индуциру |
|||
|
вихрь. Течение |
ется вихревой нитью, совпадающей с осью г. На плоскость, ху эта нить проектируется в начало координат как точечный вихрь. Ли ниями тока ф=С являются концентрические окружности с цент ром в начале координат (рис. 3.8); эквипотенциальными линиями
ф= С — лучи, исходящие из начала координат. Запишем |
выраже |
ние циркуляции скорости для окружностей — линий тока: |
|
Г= 2nrWu = 2nrdy/dl = 2nrdyl (rdQ) = const, |
(3. 57) |
где Wu — окружная скорость частицы на окружности радиуса г. Радиальная составляющая скорости Wr = 0. В соответствии с тео ремой Стокса циркуляция скорости по линиям тока любых радиу сов будет одинакова, так как все они охватывают лишь один то чечный вихрь, тогда
Wu= Г/2тсг= const/r = Wltlrx/r, |
(3.58) |
т. е. окружная скорость частиц обратно пропорциональна расстоя нию от точечного вихря, при г->0 \17и-*-оо. В реальных условиях