1446
.pdfобразуя островершинность. Если Е < 0, то кривая распределе ния будет плосковершинной. Однако когда отношения А / т а и Е / т е меньше 3, то асимметрия и эксцесс не имеют сущест венного значения и исследуемая информация подчиняется за кону нормального распределения.
Внашем примере (табл. 7.4) во всех случаях отношения
А/ т а и Е / т е не превышают 3. Значит, исходная информация соответствует этому закону.
После отбора факторов и оценки исходной информации важной задачей в корреляционном анализе является моде
лирование связи между факторными и результатив ными показателями, т.е. подбор соответствующего урав нения, которое наилучшим образом описывает изучаемые за висимости.
Для его обоснования используются те же приемы, что и для установления наличия связи: аналитические группировки, ли нейные графики и др. Если связь всех факторных показателей с результативным носит прямолинейный характер, то для запи си этих зависимостей можно использовать линейную функцию:
Yx = а + Ьхх х+ Ь2х2 + Ьгхг + + Ьпхп. |
(7.15) |
Если связь между результативным и факторными показа телями носит криволинейных характер, то может быть исполь зована степенная функция:
г,-Ьь#4..Л}. (716)
или логарифмическая:
1ёУх = b0 +bl \gxl +b2lgx2 +... + bnlgxn. |
(7,17) |
Приведенные модели выгодны тем, что их параметрам (6;) можно дать экономическое объяснение (интерпретацию). В ли нейной модели коэффициенты bt показывают, на сколько еди ниц изменяется результативный показатель с изменением фак торного на единицу в абсолютном выражении, в степенных и логарифмических — в процентах.
В случаях, когда трудно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и срав
нить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по критерию Фише ра, показателю средней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффициента детерминации, о которых речь пойдет несколько позже (см. § 7.4).
Изучение взаимосвязей между исследуемыми факторами и уровнем рентабельности показало, что все зависимости в на шем примере имеют прямолинейный характер. Поэтому для их описания использована линейная функция.
Решение задачи многофакторного корреляционного анализа проводится на ПЭВМ по типовым программам.
Сначала формируется матрица исходных данных (табл. 7.5), в первой колонке которой записывается порядковый номер на блюдения, во второй — результативный показатель (у), а в сле дующих — факторные показатели (х().
Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матри цы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью ко торых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи: критерий Стьюдента, критерий Фишера, сред няя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации.
Т а б л и ц а 7.5
Исходные данные для корреляционного анализа
№ п.п. |
У |
* \ |
х 2 |
*3 |
X4 |
*5 |
1 |
22,5 |
2,40 |
80,0 |
8 , 0 0 |
25,0 |
25,0 |
2 |
23,8 |
2,70 |
8 8 , 0 |
7,30 |
23,0 |
22,5 |
3 |
24,7 |
2,50 |
87,0 |
7,90 |
2 2 , 0 |
26,0 |
40 |
32,4 |
3,20 |
94,4 |
9,90 |
18,0 |
36,5 |
Изучая матрицы парных и частных коэффициентов корре ляции, можно сделать вывод о тесноте связи между изучаемы ми явлениями. Коэффициенты парной корреляции харак теризуют тесноту связи между двумя показателями в общем
виде с учетом взаимодействия с остальными факторами, опре деляющими уровень результативного показателя.
Данные табл. 7.6 (первый столбец) свидетельствуют о том, что все факторы оказывают ощутимое воздействие на уровень рентабельности. Особенно тесная связь рентабельности с материалоотдачей, фондоотдачей, качеством продукции и про изводительностью труда. С увеличением данных показателей уровень рентабельности повышается (прямая связь). При уве личении продолжительности оборота средств рентабельность снижается (обратная связь).
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.6 |
Матрица парных коэффициентов корреляции |
|
|||||
Показатель |
У |
х \ |
* 2 |
х з |
Х\ |
х 5 |
У1
Х\ |
0,75 |
1 |
|
|
|
|
х 2 |
0,73 |
0,34 |
1 |
|
|
|
*3 |
0,74 |
0,29 |
0,40 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 4 |
-0,51 |
-0,33 |
-0,46 |
-0,45 |
1 |
|
х 5 |
0,72 |
0,40 |
0 , 2 2 |
0,36 |
-0,37 |
1 |
Однако необходимо отметить, что парные коэффициенты корреляции получены при условии воздействия других фак торов на результат. Чтобы абстрагироваться от их влияния и получить количественную характеристику связи между резуль тативным и факторными показателями в чистом виде, рассчи тываются частные коэффициенты корреляции (табл. 7 .7).
При сравнении частных коэффициентов корреляции с пар ными видно, что влияние других факторов на тесноту связи между уровнем рентабельности и исследуемыми факторами довольно значимое: частные коэффициенты корреляции намно го ниже парных. Это говорит о том, что факторы, которые входят в данную корреляционную модель, оказывают на рен табельность не только непосредственное влияние, но и косвен ное. Поэтому взаимосвязи, очищенные от влияния сопутству
ющих факторов, получились менее тесными. В некоторых слу чаях они могут оказаться более тесными, если исключить влия ние факторов, которые действуют в противоположном направ лении. По этой причине может измениться не только величина коэффициента корреляции, но и направление связи: в общем виде связь может быть прямой, а в чистом — обратной, и на оборот. Объясняется это тем, что при расчете парных коэффи циентов корреляции изучается взаимосвязь между результа тивным и факторным показателем с учетом их взаимодействия и с другими факторами. Например, с повышением уровня оп латы труда рентабельность увеличивается, если темпы роста производительности труда обгоняют темпы роста его оплаты. Поэтому в общем виде взаимосвязь между уровнем рентабель ности и уровнем оплаты труда будет прямой. Если взять не посредственную связь между этими показателями при усло вии неизменности производительности труда и других факторов, то получится, что при повышении оплаты труда рентабельность понижается. Здесь уже обратная зависимость и частный ко эффициент корреляции будет со знаком минус.
Таблица 7.7
Матрица частных коэффициентов корреляции
Показатель |
У |
х 2 |
*3 |
* 4 |
*5 |
|
У1
Х\ |
0,59 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*2 |
0,48 |
-0,136 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*3 |
0,39 |
0,019 |
0,003 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х4 |
-0 ,3 6 |
0,090 |
-0,14 |
-0,1 4 |
1 |
|
*5 |
0,31 |
0,098 |
0,16 |
0,48 |
0,082 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, с помощью парных и частных коэффициен тов корреляции можно получить представление о тесноте свя зи между изучаемыми явлениями в общих и непосредствен ных соприкосновениях.
Значительный интерес представляют коэффициенты корре ляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой. Как уже отмечалось, в корреляционную модель надо подби рать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необхо димо исключить из модели. Исследование матрицы коэффици ентов корреляции позволяет сделать вывод, что в данную мо дель включены факторы, не очень тесно связанные между собой.
При изучении тесноты связи надо иметь в виду, что вели чина коэффициентов корреляции является случайной, завися щей от объема выборки. Известно, что с уменьшением коли чества наблюдений надежность коэффициентов корреляции падает, и наоборот, при увеличении количества наблюдений надежность коэффициентов корреляции возрастает.
Значимость коэффициентов корреляции проверяется по критерию Стьюдента:
t = JL = ^ 5 9 . = 572)
(7.18)
стг 0,103
где а г — среднеквадратическая ошибка коэффициента корре ляции, которая определяется по формуле
1 - г 2 |
1 - 0,592 = 0,103. |
(7.19) |
•Jtl- 1 |
л/40-1 |
|
Если расчетное значение t выше табличного, то можно сде лать заключение о том, что величина коэффициента корреля ции является значимой. Табличные значения t находят по таб лице значений критериев Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы {V = п - 1) и уровень довери тельной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01). В нашем примере количество степеней свободы рав но: п - 1 = 40 - 1 = 39. При уровне доверительной вероятно сти Р = 0,05; t = 2,02. Поскольку ^-фактическое (табл. 7.8) во всех случаях выше ^-табличного, связь между результатив ным и факторными показателями является надежной, а вели чина коэффициентов корреляции — значимой.
|
|
|
Часть /. |
Теория АХД |
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7.8 |
||
Фактические значения критерия Стьюдента |
|
||||
Номер переменной |
*1 |
*2 |
*3 |
х 4 |
*5 |
/-фактическое |
5,72 |
3,9 |
2,9 |
2 , 6 |
2,16 |
Следующий этап корреляционного анализа — рас чет уравнения связи (регрессии ). Решение проводится обычно шаговым способом. Сначала в расчет принимается один фактор, который оказывает наиболее значимое влияние на результативный показатель, потом второй, третий и т.д. И на каждом шаге рассчитываются уравнение связи, множественный коэффициент корреляции и детерминации, /^-отношение (кри терий Фишера), стандартная ошибка и другие показатели, с по мощью которых оценивается надежность уравнения связи. Ве личина их на каждом шаге сравнивается с предыдущей. Чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, де терминации и критерия Фишера й чем ниже величина стандарт ной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимо сти, сложившиеся между исследуемыми показателями. Если добавление следующих факторов не улучшает оценочных по казателей связи, то надо их отбросить, т.е. остановиться на том уравнении, где эти показатели наиболее оптимальны.
Сравнивая результаты на каждом шаге (табл.7.9), мы мо жем сделать вывод, что наиболее полно описывает зависимости между изучаемыми показателями пятифакторная модель, полу ченная на пятом шаге. В результате уравнение связи имеет вид
Ух = 0,49 + 3,65л:, + 0,09JC2 + 1,02х3 - 0,122л:4 + 0,052х5.
Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В данном случае можно дать сле дующую интерпретацию полученному уравнению: рентабель ность повышается на 3,65 % при увеличении материалоотдачи на 1 руб.; на 0,09 % — с ростом фондоотдачи на 1 коп.; на 1,02 % — с повышением среднегодовой выработки продукции на одного работника на 1 тыс. руб.; на 0,052 % — при увели-
Т а б л и ц а 7.9
Результаты расчета уравнения связи
№ п.п. |
Уравнение связи |
R |
D |
F |
e |
Шаг 1 |
|
|
|
|
|
(введен JCJ) |
Yx = 5,81+7,68-е, |
0,59 |
0,35 |
50,3 |
1,895 |
Шаг 2 |
|
|
|
|
|
(введен *2 ) |
Yx =-1,11+5,12*!+ 0,15*2 |
0,75 |
0,56 |
57,6 |
1,548 |
Шаг 3 |
Yx = -6,84+3,93*, +0,11*2 + |
|
|
|
|
(введен *3) |
+1,53*з |
0,84 |
0,72 |
71,3 |
1,408 |
Шаг 4 |
Yx = -2 ,44+3,89*!+0,10*2 + |
|
|
|
|
(введен *4 ) |
+ 1,37*3-0,12*4 |
0 , 8 8 |
0,77 |
8 8 , 8 |
1,398 |
Шаг 5 |
Yx = 0,49+3,65*1+0,09*2 + |
|
|
|
|
(введен *5 ) |
+ 1,02*3-0,122*4+0,052*5 |
0,92 |
0,85 |
95,67 |
1,358 |
чении удельного веса продукции высшей категории качества на 1%. С увеличением продолжительности оборота средств на 1 день рентабельность снижается в среднем на 0,122 %.
Коэффициенты регрессии в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возни кает вопрос о сравнительной силе воздействия факторов на результативный показатель. Чтобы привести их в сопостави мый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в до лях среднеквадратического отклонения, другими словами, рас считывают стандартизированные коэффициенты регрессии.
Их еще называют бетта-коэффициентами по символу, который принят для их обозначения (р).
Бетта-коэффициенты и коэффициенты регрессии связаны следующим отношением:
Рi = bi ~ - |
(7.20) |
°у |
|
Бетта-коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или умень шится на долю своего среднеквадратического отклонения. Со
поставление бетта-коэффициентов позволяет сделать вывод о сравнительной степени воздействия каждого фактора на вели чину результативного показателя. В нашем примере наиболь шее влияние на уровень рентабельности оказывают материалоотдача, фондоотдача и производительность труда (табл. 7.10).
По аналогии можно сопоставить и коэффициенты эластич ности, которые рассчитываются по формуле
3 = 6, -гг. |
(7.21) |
У |
|
Коэффициенты эластичности показывают, на сколько про центов в среднем изменяется функция с изменением аргумен та на 1 %.
Т а б л и ц а 7.10
Коэффициенты эластичности и бетта-коэффициенты
Номер переменной |
* 1 |
* 2 |
*3 |
Х 4 |
х 5 |
Коэффициент эластичности |
0,374 |
0,308 |
0,318 |
-0,080 |
0,061 |
Бетта-коэффициент |
0,359 |
0,275 |
0,213 |
-0,118 |
0,133 |
Согласно данным табл. 7.10, рентабельность возрастает на 0,374% при увеличении уровня материалоотдачи на 1%, на 0,308% — при повышении фондоотдачи на 1% и т.д.
7.4. Методика оценки и практического применения результатов корреляционного анализа
Необходимость оценки уравнения связи. Показатели, кото рые применяются для оценки уравнения связи. Методика их расчета и интерпретация. Использование уравнения связи для оценки деятельности предприятия, определения влияния факторов на прирост результативного показате ля, подсчета резервов и планирования его уровня.
Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практической цели, не
обходимо дать статистическую оценку надежности показате лей связи. Для этого используются критерий Фишера (F-от- ношение), средняя ошибка аппроксимации (ё), коэффициенты множественной корреляции (R) и детерминации (D).
Критерий Фишера рассчитывается следующим образом:
|
авоспр2 |
|
(7.22) |
|
F = |
|
|
|
Gост2 |
|
|
а 2воспр |
Z ( Y X - К ) 2 |
2 |
т - У 2 |
-----*--------- ; стос |
п - т |
||
|
т -1 |
|
где Ущ— индивидуальные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению; ух — среднее значение результатив ного показателя, рассчитанное по уравнению; Yi — фактические индивидуальные значения результативного показателя; т — ко личество параметров в уравнении связи, учитывая свободный член уравнения; п — количество наблюдений (объем выборки).
Фактическая величина /^-отношения сопоставляется с таблич ной и делается заключение о надежности связи. В нашем приме ре величина ^-отношения на пятом шаге равна 95,67 F-теорети ческое рассчитано по таблице значений F При уровне вероятности Р = 0,05 и количестве степеней свободы [(m - 1) = (6 - 1) = 5, (п - т) = 40 - 6 = 34] оно будет составлять 2,49. Поскольку
Рфакт > ^табл' 70 гипотеза об отсутствии связи между рентабельностью и исследуемыми факторами отклоняется.
Для статистической оценки точности уравнения связи ис пользуется также средняя ошибка аппроксимации:
Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации. В нашем примере она составляет 0,0364, или 3,64%. Учитывая, что в экономичес ких расчетах допускается погрешность 5-8 %, можно сделать вывод, что исследуемое уравнение связи довольно точно опи
сывает изучаемые зависимости. С такой же небольшой погреш ностью будет делаться и прогноз уровня рентабельности по данному уравнению.
О полноте связи можно судить также по величине множе
ственных коэффициентов корреляции и детерминации.
В нашем примере на последнем шаге R = 0,92, a D = 0,85. Это значит, что вариация рентабельности на 85% зависит от изме нения исследуемых факторов, а на долю других факторов при ходится 15% вариации результативного показателя. Значит, в корреляционную модель рентабельности удалось включить наиболее существенные факторы.
Следовательно, данное уравнение можно использовать для практических целей:
а) оценки результатов хозяйственной деятельности; б) расчета влияния факторов на прирост результативного
показателя; в) подсчета резервов повышения уровня исследуемого по
казателя; г) планирования и прогнозирования его величины.
Оценка деятельности предприятия по использованию имеющихся возможностей проводится сравнением фактической величины результативного показателя с теоретической (расчет ной), которая определяется на основе уравнения множественной регрессии. В нашем примере (см. табл. 7.5) на предприятии №1 материалоотдача (xj) составляет 2,4 руб., фондоотдача (х2) — 80 коп., производительность труда (х3) — 8 тыс. руб., продол жительность оборота оборотных средств (х4) — 25 дней, удель ный вес продукции высшей категории качества (х5) — 25%. От сюда расчетная величина рентабельности составит:
Yx = 0,49 + 3,65 х 2,4 х 0,09 х 80 + 1,02 х 8 - 0,122 х х 25 +0,052 х 25 = 22,86%.
Она превышает фактическую на 0,36%. Это говорит о том, что данное предприятие использует свои возможности несколь ко хуже, чем в среднем все исследуемые предприятия.
Влияние каждого фактора на прирост (отклонение от плана) результативного показателя рассчитывает ся следующим образом:
ДК =Ь:Х АХ:. |
(7.24) |
|
Xj I |
I |