1464
.pdfЗаметим, что если бы в том же примере мы взяли RK = 100 км = = 107 еле, то распределение давлений вблизи скважины мало измени лось бы по сравнению с предыдущим. Так, например, при г = 1 м
и г = 100 м величина ^ была бы соответственно равна 0,83 и 0,50
(вместо 0,80 и 0,40 в предыдущем случае).
Если в возмущающей скважине пьезометрический уровень пони жается на 100 М) то, судя по табл. 5, в реагирующей скважине на рас стоянии, например, 2 км от возмущающей пьезометрический уровень должен снизиться на 14 м. В реальных условиях пьезометрический уровень в реагирующих (особенно в удаленных) скважинах понижа ется чаще всего не столь резко, как это следует из табл. 5. Причин отклонения приведенных выше теоретических расчетов от результатов практических наблюдений можно указать много: фактическое гидроди намическое несовершенство большинства действующих скважин, неод нородность пласта, сжимаемость и жидкости и самого пласта, возмож ное нарушение линейного закона фильтрации вблизи забоя скважины и т. д. Влияние всех перечисленных выше факторов в дальнейшем бу дет учтено.
Пример 3. Определим расстояние г' от возмущающей скважины до той точки пласта, в которой давление равно среднеарифметическо му из статического и динамического давлений на забое возмущающей
скважины
Из формулы (32, IX) следует, что |
|
||
1ё Дк/г' |
Р « |
2 |
1 |
lg.RK/lgtfc |
|
Рк-Рс |
2’ |
откуда
г' =
у/ R C R K - |
(33, IX) |
Если, например, Rc = 10 еле, RK= 10 км, то из последней формулы находим: г' = 31,6 м.
Итак, «среднее» давление соответствует тем точкам пласта, кото рые несравненно ближе к забою скважины, чем к области питания, т. е. в рассматриваемых условиях в большей части пласта давление значи тельно ближе к контурному (статическому), чем к динамическому дав лению на забое скважины.
Пример 4• Определим средневзвешенное по площади давление р в пласте внутри контура области питания, т. е. между окружностя ми Ас и Ак (см. рис. 54).
По определению |
|
|
|
Р = |
fp d F |
(34, К ) |
|
F |
|||
|
тг(Д2 - Д с ) ’ |
где элемент площади df = 2п rdr\ площадь F = 7г(R* —Rc). Подставляя в формулу (34, IX) значение давления из форму
лы (23, IX), выполняя интеграцию и учитывая, что радиус скважи ны Rc величина малая, т. е. пренебрегая всеми членами, содержащи
ми R%, получим:4 |
|
Р = Рк - Рк Рс |
(35, IX) |
Во всех практически интересных случаях вычитаемое значительно меньше уменьшаемого, а потому
Р = Рю |
(36, IX) |
Например, если рк = 100 am, рс = 90 am, RK= 10 км, Rc = 10 см,
то
Р = 100 = 2~2~§б•5 = 100 " °«435 - " * 6 атп■
Заканчивая анализ формул (23, IX) и (32, IX), преобразуем их к та кому виду:
Р к -Р = |
ЬДк 1п г |
(37, IX) |
|
Рк “ Рс |
InRK—InRQ |
||
|
Сравнивая последнюю формулу с формулой (15, IX), замечаем, что величины из правой части формулы (15, IX) вошли в формулу (37, IX) под знаком логарифма. Причина замены величины х величиной Inг при переходе от одномерного движения к плоско-радиальному выяс нится в пятой части при анализе решения дифференциального уравне ния движения жидкости в пористой среде.
4 Более точная формула для р:
1 |
Рк - Рс |
Я? |
Р РК 2 |
In** |
(Рк - Рс)- |
' |
||
|
Яс |
|
Перейдем к выводу закона движения частиц жидкости вдоль тра ектории и к подсчетам времени перемещения частицы из любой точки пласта до стенки скважины.
Подставив значение скорости фильтрации из формулы (10, VIII) в формулу (24, IX) и (30, IX) и разделяя переменные, соответственно получим:
771/2 In ^ |
|
dt = - |
ilp |
rdr, |
|
НРк - |
Рс) |
dt = 27гЪгп rdr.
Q
(38, IX)
(39, IX)
Допустим, что частица жидкости, движущаяся по траекторииМоО (см. рис. 50), в начальный момент (при t = 0) находилась в положе нии Мо, причем ОМо = го; в некоторый момент t частица жидкости находится на расстоянии г = ОМ от центра скважины. Для определе ния закона движения проинтегрируем уравнения (38, IX) и (39, IX):
m /xln-jg |
Т. |
(40, |
IX) |
||
к(рк -Р с ) J rdT’ |
|||||
|
|
||||
|
|
го |
|
|
|
t |
Г |
|
|
||
J d t= 2^ |
m J |
rdr. |
(41, |
IX) |
|
0 |
го |
|
|
|
|
После интеграции получим: |
|
|
|
|
|
771/2 In гС, |
|
(42, |
IX) |
||
t = |
- ( г 02 - А |
||||
2к{рк - |
рс) |
|
|
|
|
i = ZEb™(r2 - |
r2) |
(43, |
К ) |
Любая из двух последних формул, представляющая закон движе ния, позволяет определить координату г движущейся частицы жидко сти в любой момент времени t.
Чтобы подсчитать время Т движения частицы жидкости именно до стенки скважины, необходимо в двух последних формулах поло
жить г = Rc. Пренебрегая величиной Щ вследствие ее малости, полу чим:
|
(44, |
IX) |
Q °* |
(45, |
IX) |
|
|
Напомним (см. главу VI), что, подставляя в эти формулы к в д, (л — в сантипуазах, Ьв см, перепад давления — в am, Q — в см3/сек, го в CJH, й к и й с - в любых одинаковых единицах длины, получим время Т в секундах.
Конечно, обе последние формулы равносильны: подставляя в по следнее равенство значения дебита из формулы (21, IX), получим фор мулу (44, IX).
Как видно из формул, время Т движения частицы жидкости до стенки скважины прямо пропорционально квадрату расстояния этой частицы до оси скважины. Это еще раз подтверждает, что частицы жидкости движутся к скважине по своим траекториям (по радиусам) ускоренно.
Формула (45, IX) допускает проверку на основании простых физи ческих соображений. Действительно, величина
(46, IX)
определяет количество жидкости, заключенной в порах цилиндриче ского объема пласта радиуса го и мощности b при пористости пла ста тп. Разделив объем т на постоянный дебит скважины <3 , найдем время Г, за которое через скважину будет извлечен весь объем жид кости т и к забою подойдут частицы жидкости, находившиеся перво начально на расстоянии г0 от оси скважины.
Если бы скважина находилась в центре контура нефтеносности ра диуса го, если бы вода и нефть имели одинаковую вязкость, водо-неф тяной контакт перемещался бы сплошным фронтом (оставаясь верти кальным) и проницаемость пласта не менялась бы при вытеснении неф ти водой, то формулы (44, IX) и (45, IX) определяли бы время стяги вания контура нефтеносности к стенке скважины — через промежуток времени Т скважина обводнилась бы. Конечно, реальные условия го раздо сложнее (в дальнейшем они будут учтены), но все же упомяну тые формулы могут дать верное представление о порядке промежутка
времени стягивания контура нефтеносности при различных начальных
его расстояниях от скважины. |
д, р = 1 |
сантипуазу, рК - рс = 1 am, |
Пример 5. Пусть к = 1 |
||
Дк = 10 км, Rc = 10 см, b = |
10 м, ш = |
0,15 (при подсчетах времени |
в соответствующие формулы необходимо подставлять не абсолютную геометрическую, а несколько меньшую эффективную динамическую пористость)5. Требуется определить время Т, за которое частиц жид кости подойдет к стенке скважины с расстояния го = 100 м.
В таком случае по формуле (44, IX), выдерживая соответствующие размерности, о которых было выше упомянуто, получим:
Т = 999 суток.
При принятых данных можем подсчитать дебит скважины по фор муле (21, IX) или (29, IX) (см. пример 1):
Q = 47,2 At3/ сутки.
Подсчитав по формуле (46, IX) объем жидкости т в порах пласта внутри интересующей нас области, а именно
т = 47100 At3,
легко определим промежуток времени Т из формулы (45, IX):
Т = — = 999 суток.
Если принять го = 1 км, то промежуток времени Т увеличится в 100 раз и станет равным 99900 суток. Даже такой примитивный под счет показывает, что было бы совершенно нерационально эксплуатиро вать круговую (в плане) залежь нефти одной скважиной, расположен ной в центре залежи при радиусе контура нефтеносности, равном 1 км.
В самом деле, увеличив перепад давления в скважине даже в 10 раз, мы добились бы (считая, что линейный закон фильтра ции и все прочие оговоренные условия сохраняются) увеличения ее дебита в 10 раз и сокращения в 10 раз срока Т. При этих услови ях Т = 9900 суток = 27 лет.
5Пропуская жидкость через образец пористой среды, легко определить скорость фильтрации жидкости v и среднюю действительную скорость w (см. § 4 главы IV). Пористость 7п, определенная как отношение (v : w), оказывается меньше абсолют
ной пористости; ее и называют эффективной динамической пористостью.
Заметим в заключение, что все выведенные в данном парагра фе формулы и следствия из них остаются справедливыми для плос ко-радиального движения жидкости из нагнетательной (поглощающей) скважины в пласт6. В последнем случае следует только говорить не о понижении, а о повышении давления в пласте и на забое возмуща ющей скважины. Если динамический уровень и кривые депрессии на рис. 57 «зеркально отобразить» по отношению к линии D E F B , соот ветствующей положению статического пьезометрического уровня, то получится чертеж, соответствующий случаю работы нагнетательной скважины.
§ 3. Сферическое радиальное движение по линейному закону
Как уже было отмечено в § 1 главы VIII, строго сферического ра диального потока встретить в реальных условиях в значительной обла сти пласта нельзя. Однако разобрать схему сферического радиального потока интересно для того, чтобы понять, в какую сторону и в какой степени могут нарушаться закономерности, установленные в предыду щем параграфе, когда приток жидкости к скважине перестает быть плоским.
Исследуем ту схему сферического радиального потока, которая соответствует рис. 46: Ас — вертикальное сечение полусферическо го забоя гидродинамически несовершенной скважины В1ВЕС С , едва вскрывшей непроницаемую кровлю продуктивного пласта весьма боль шой (теоретически бесконечной) мощности. Будем считать, что несжи маемая жидкость притекает к скважине по линейному закону филь трации, режим пласта водонапорный, пласт однородный.
Допустим, что первоначальное статическое приведенное давление (напор) во всем пласте и на забое скважины равно р*. Затем приведен ное давление на забое скважины понизили до величины р*, а постоян ное приведенное давление р* сохраняется на достаточно большом рас стоянии от скважины — на полусферической границе Ак радиуса RK.
Радиус забоя скважины — Rc.
Конечно, в разных точках границы Лк, так же как и в разных точках забоя Ас истинные давления различны, хотя приведенные дав ления р* и р* (а следовательно, и напоры) вдоль каждой из соответ ствующих границ во всех точках одинаковы и постоянны.
6Для нагнетательной скважины рс > Рю а потому, например, в формулу деби та (21, IX) вместо рк — Рс пришлось бы подставить рс — Рк«
Под влиянием перепада приведенного давления (р* —р*) жидкость будет притекать в скважину. Определим дебит скважины, скорость фильтрации и приведенное давление в любой точке пласта, а также закон движения частицы жидкости вдоль траектории.
Из формул (9, VIII) и (12, VIII), разделяя переменные, получим:
dp* = ^ |
dr |
(47, IX) |
Р2тггЧ '
где р* — приведенное давление в некоторой точке М пласта, г — ради ус-вектор этой точки, Q — постоянный дебит скважины (расход жидко сти через каждую полусферическую поверхность, концентричную за бою Ас равен дебиту скважины).
Проинтегрируем уравнение (47, IX):
Р к |
|
Як |
|
|
|
|
[ Ип* |
= Ш |
[ dr |
’ |
(48, |
IX) |
|
J ip |
] Р |
|
|
|||
Р* |
|
Г |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
Qp (\ |
1 А |
(49, |
IX) |
||
Р Рк |
2тгк |
RK) |
||||
|
|
Эта формула определяет приведенное давление в любой точке пла
ста.
Для определения дебита скважины проинтегрируем уравнение (47, IX) в других пределах:
Р к |
|
Як |
|
|
|
[ Иг,* |
Ql* |
f |
dr |
(50, |
IX) |
J dp = |
ш |
] |
Р |
’ |
|
P c |
|
R c |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
2тгА:(рк - р с) |
(51, |
IX) |
|||
|
|
|
|
Подставив найденное значение Q из формулы (51, IX) в (47, IX), (49, IX) и (9, Vni), получим:
dp* = |
Рк- P l |
J_ |
(52, IX) |
|
dr |
J _____1_ |
г2 ’ |
||
|
Яс Як
|
|
|
(53, |
IX) |
|
Дс |
Дк |
|
|
|
|
г _ к |
Р к -Р с |
1_ |
(54, |
IX) |
|
v |
j _____L |
г2 |
|||
|
|
Дс Дк
Если учесть, что Дк 3> Дс и потому величиной 1/Дк пренебречь по сравнению с 1/RC, то приведенные выше формулы можно значительно упростить. В частности, формулы (51, IX) и (53, IX) примут вид:
27гДсА;(р* — р*) |
(55, |
IX) |
Q = |
||
р* = р: - ( р! - р: ) Ф . |
(56, |
IX) |
В последней формуле мы пренебрегли величиной -5- по сравнению
Як
са потому эта формула позволяет определять давление достаточно
точно лишь при г <$: Лк, т. е., например, вблизи скважины. Перейдем к анализу выведенных формул.
Как видно из формул (55, IX) и (51, IX), зависимость дебита от перепада приведенного давления, а следовательно, и форма индика торной линии будут те же, что и в случае плоско-радиального потока (см. предыдущий параграф и рис. 55).
Как показывают формулы (52, IX) и (54, IX), градиент давления и скорость фильтрации в любой точке пласта обратно пропорциональ ны квадрату радиуса-вектора этой точки. Следовательно, если постро ить график, аналогичный графику рис. 56, то в рассматриваемом сей час случае соответствующая линия имела бы при малых значениях г около стенки скважины еще большую крутизну.
Упомянутая зависимость v от г может быть, как и в предыдущем параграфе, легко объяснена, если в формулу (9, VIII) подставить зна
чение F из (12, VIII): |
|
|
_ Q _ |
Q |
(57, IX) |
V F |
2тгг2' |
|
Из формулы (56, IX) следует, что понижение приведенного давле ния Ар* в любой точке пласта обратно пропорционально радиусу-век тору этой точки (в том диапазоне, в котором справедлива приближен ная формула). Пьезометрической линией будет служить равнобочная
гипербола, а пьезометрической воронкой депрессии — гиперболоид вра щения. Уравнение семейства поверхностей равного напора будет то же, что и в формуле (31, IX), но оно будет обозначать, что поверхностя ми равного напора служат концентричные полусферы. Понятно, что в разных точках любой поверхности равного напора (а также в раз ных точках граничных поверхностей Ас и Ак — см. рис. 46) истинные давления будут различны. Конечно, зная распределение приведенных давлений, легко найти истинное давление в любой точке пласта, учтя ее высотную отметку и удельный вес жидкости в пласте, см. формулу (3, VIII).
Соотношение между понижениями пьезометрических уровней sp и 5 в реагирующей и возмущающей скважинах (чертеж вполне анало
гичен рис. 57) можно определить из формулы (56, IX): |
|
|
* |
Дс |
|
Рк~Р |
(58, IX) |
|
* |
|
Р к -Р с
Пример. Пусть Rc = 10 см. На основании формулы (58, IX) со ставлена табл. 6, дающая ясное представление о распределении при веденных пластовых давлений в условиях сферического радиального потока.
Т а б л и ц а б
Относительные понижения пьезометрических уровней в пласте на разных расстояниях от возмущающей скважины
г, м |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
Sp |
1 |
0,1 |
0,02 |
0,01 |
0,002 |
0,001 |
8 |
[таблица рассчитана по формуле (58, IX)]
В табл. 6 мы не привели результатов подсчетов для столь боль ших значений г, как в табл. 5, ибо, во-первых, расчет проводился по приближенной формуле (58, IX) и, во-вторых, в реальных условиях нельзя ожидать сохранения сферического радиального потока на боль ших расстояниях от скважины. Сравнение табл. 5 и 6 показывает, что в условиях сферического радиального потока потери давления вблизи стенки скважины гораздо больше и, следовательно, пьезометрическая линия более крутая, чем в условиях плоско-радиального потока: с из менением радиуса-вектора в геометрической прогрессии величина от-
ношения -j- меняется также в геометрической (а не в арифметической, как в случае предыдущего параграфа) прогрессии.
Сравнивая формулу (53, IX) с формулами (15, IX) и (37, IX), за мечаем, что они вполне аналогичны, но только вместо величин х и Inг
в формулу (53, IX) входит величина \\ объяснение замеченной анало гии будет дано в пятой части1.
Для установления закона движения частицы жидкости вдоль
траектории подставим значение |
скорости |
фильтрации из форму |
лы (10, VII) в формулу (57, IX) [можно было бы сделать подстановку |
||
и в формулу (54, IX)]: |
|
|
dt = - ^ |
^ r 2dr. |
(59, IX) |
Проинтегрируем уравнение (59, IX), считая, что моментам t и t = 0 соответствуют точки М и Мо, определяющиеся радиусами-вектора ми г = ОМ и го = ОМо (см. рис. 50):
t г
(60, IX)
Ого
Проинтегрировав, получим следующий закон движения:
t = |
2ттт |
(61, IX) |
|
3Q ( 4 - Л |
|||
|
Чтобы получить промежуток времени Т движения частицы жид кости именно до скважины, необходимо в последней формуле поло жить г — RQ] Пренебрегая величиной вследствие ее малости, най дем:
т = 2щ 4 . |
(62, IX) |
Формулу (62, IX) легко истолковать, заметив, что
r = ! * r g m , |
(63, IX) |
где т — объем жидкости в порах пласта внутри полусферы радиуса гоКонечно, все формулы и выводы данного параграфа останутся спра ведливыми, если повернуть направление сферического радиального по тока на противоположное и считать, что скважина В1ВЕС С' на рис. 46 не эксплуатационная, а нагнетательная.
*В V -ой части этого нет.