- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
- |
Глава 1 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
С процессом моделирования и различными моделями человек начинает сталкиваться с самого раннего детства. Так, еще не на учившись уверенно ходить, малыш начинает играть с кубиками, сооружая из них (на первых порах с помощью старших) различные конструкции (точнее, модели последних). Его окружают разнооб разные игрушки: плюшевые, резиновые, металлические, различа ющиеся размерами, формой, цветом, предназначением и т.д. При этом большинство игрушек в большей или меньшей степени вос производят (моделируют) отдельные свойства и форму реально су ществующих предметов и объектов. В этом смысле такие игрушки также можно рассматривать в качестве моделей соответствующих объектов.
В школе практически все обучение построено на использова нии моделей в той или иной форме. Действительно, для знаком ства с основными конструкциями и правилами родного языка ис пользуются различные структурные схемы и таблицы, которые можно считать моделями, отражающими свойства языка. Процесс написания сочинения следует рассматривать как моделирование не которого события или явления средствами родного языка. На уро ках биологии, физики, химии и анатомии к плакатам и схемам (т.е. моделям) добавляются макеты (тоже модели) изучаемых реальных объектов. На уроках рисования или черчения на листе бумаги либо ватмана создаются модели различных объектов, выраженные изоб разительным языком либо более формализованным языком чертежа.
Даже такую трудно формализуемую область знания, как исто рия, также можно считать непрерывной эволюционирующей сово купностью моделей прошлого какого-либо народа, государства и т.д. Устанавливая закономерности в наступлении разных исторических
и
событий (революций, войн, ускорений либо застоев исторического развития), можно не только выяснить причины, приведшие к дан ным событиям, но и прогнозировать и даже управлять их появле нием и развитием в будущем.
Так, моделями можно считать картину, написанную художни ком, художественное произведение и скульптуру. Даже жизненный опыт человека, его представления о мире является примером мо дели. Причем поведение человека определяется моделью сформи ровавшейся в его сознании. Психолог или учитель, изменяя пара метры такой внутренней модели, способен в отдельных случаях су щественно влиять на поведение человека.
Без преувеличения можно утверждать, что в своей осознанной жизни человек имеет дело исключительно с моделями тех или иных реальных объектов, процессов, явлений. При этом один и тот же объект воспринимается различными людьми по-разному, иногда с точностью «до наоборот» (как говорится в известной пословице, «на вкус и цвет ...»). Это восприятие, мысленный образ объекта также является разновидностью модели последнего (так называемой ког нитивной моделью) и существенным образом зависит от множества факторов: качества и объема знаний, особенностей мышления, эмо ционального состояния конкретного человека «здесь и сейчас» и от множества других, зачастую не доступных рациональному осозна нию. Особенно велика роль моделей и моделирования в современ ной науке и технике.
Можно ли обойтись в технике без применения тех или иных видов моделей? Очевидный ответ —нет! Безусловно, что новый самолет можно построить «из головы» (без предварительных рас четов, чертежей, экспериментальных образцов, т.е. используя толь ко единственную идеальную модель, существующую в мыслях кон структора), но едва ли это будет достаточно эффективная и надеж ная конструкция. Единственное ее достоинство —уникальность. Ведь даже автор не сможет повторно изготовить точно такой же са молет, так как в процессе изготовления первого экземпляра будет получен некоторый опыт, который обязательно изменит идеальную модель в голове самого конструктора.
Чем более сложным и надежным должно быть техническое из делие, тем большее число видов моделей потребуется на этапе его проектирования.
Как правило, сложные изделия создаются целыми коллектива ми разработчиков. Вся совокупность применяемых ими разнообраз ных моделей позволяет сформировать общую для всего коллектива
идеальную модель разрабатываемого изделия. Реальное техничес кое изделие можно рассматривать как материальную модель (ана лог) созданной авторами идеальной модели.
1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
Что значит знать? Вот, друг мой, в чем вопрос. На этот счет у нас не все в порядке.
Гёте
Место моделирования среди методов познания
Метод есть душа знания, его жизнь, им по рождаются отдельные научные системы, им же они и низвергаются как недостаточно разрешаю щие задачу научного построения.
С.И. Гессен
Безусловно, моделирование является далеко не единственным методом изучений окружающего мира. Существует целая область знания, которая специально занимается изучением методов позна ния и которую принято именовать методологией. Методология дос ловно означает «учение о методах» (ибо происходит этот термин от двух греческих слов: metodos —метод, путь к чему-либо и logos — учение). Изучая закономерности человеческой познавательной де ятельности, методология вырабатывает на этой основе методы ее осуществления. Важнейшей задачей методологии является изуче ние происхождения, сущности, эффективности и других характе ристик методов познания.
Понятие «метод» означает совокупность приемов и операций практического и теоретического освоения действительности. Ме тод вооружает человека системой принципов, требований, правил, руководствуясь которыми он может достичь намеченной цели. Владеть методом —это значит знать, каким образом, в какой пос ледовательности нужно совершать те или иные действия для реше ния различных задач, и уметь реализовать эти знания на практике. Уменйю грамотно применять тот или иной метод на практике воз можно научиться только при решении различных практических задач. Как отмечал С.И. Гессен, «Овладеть методом науки можно,
только применяя этот метод к решению конкретных проблем опыт ного знания».
Учение о методе появилось в науке в XVI в. Ее представители считали правильный метод ориентиром в движении к надежному, истинному знанию. Так, видный философ XVII в. Ф.Бэкон срав нивал метод познания с фонарем, освещающим дорогу путнику, идущему в темноте. Другой известный ученый и философ того же периода Р.Декарт изложил свое понимание метода: «Под методом я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых
без лишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум достигает истинно го познания всего, что ему доступно».
Методы научного познания принято подразделять по степени их общности, т.е. по широте применимости в процессе научного ис следования (рис. 1.1), на всеобщие, общенаучные и частнонаучные.
Рис. 1.1. Методы научного познания
Из всеобщихметодов в истории познания известны два: диалек тический и метафизический. Это общефилософские методы. При метафизическом подходе объекты и явления окружающего мира рассматриваются изолированно друг от друга, без учета их взаим
ных связей и как бы в застывшем, фиксированном, неизменном со стоянии. Диалектический подход, наоборот, предполагает изучение объектов, явлений со всем богатством их взаимосвязей, с учетом реальных процессов их изменения, развития. С середины XIX в., в период третьей научной революции, метафизический метод на чал все больше и больше вытесняться из естествознания диалекти ческим методом.
Общенаучные методы используются в самых различных облас тях науки, т.е. имеют весьма широкий междисциплинарный спектр применения. Классификация этих методов тесно связана с поня тием уровней научного познания. Различают два уровня научного познания: эмпирический и теоретический. Одни общенаучные ме тоды применяются только на эмпирическом уровне (наблюдение, эксперимент, измерение), другие —только на теоретическом (иде ализация, формализация), но есть и такие (например, моделирова ние), которые используются как на эмпирическом, так и на теоре тическом уровне.
Эмпирический уровень научного познания характеризуется не посредственным исследованием реально существующих, чувствен но воспринимаемых объектов. На этом уровне путем проведения наблюдений, выполнения разнообразных измерений, постановки экспериментов осуществляется процесс накопления информации об исследуемых объектах, явлениях, производится первичная си стематизация получаемых фактических данных в виде таблиц, схем, графиков и т.п. Кроме того, на эмпирическом уровне научного по знания —как следствие обобщения научных фактов —возможно формулирование некоторых эмпирических закономерностей.
Теоретический уровень научного исследования присущ рацио нальной (логической) ступени познания. На данном уровне про исходит раскрытие наиболее глубоких, существенных сторон, свя зей, закономерностей, относящихся к изучаемым объектам, явле ниям. Теоретический уровень —более высокая ступень в научном познании. Результатами теоретического познания становятся гипо тезы, теории, законы.
Выделяя в научном исследовании два различных уровня —эм пирический и теоретический, не следует, однако, отрывать их один от другого и противопоставлять, поскольку они тесно взаимосвя заны. Эмпирический уровень выступает в качестве основы, фунда мента теоретического осмысления научных фактов и получаемых статистических данных. В то же время теоретическое мышление не избежно опирается на чувственно-наглядные образы (в том числе