Пример 2

Владелец мастерской по ремонту глушителей установил, что затраты в терми­нах неудовлетворенности клиента и потери хорошего настроения составляют $10 за час времени, проведенного в ожидании в очереди. С поступающего автомобиля имеем 2/3 часа ожидания (Wq) и, аппроксимируя это на 16 автомобилей, обслужи­ваемых в день (два автомобиля в час на восемь часов работы в день), получаем общее число часов, которое клиенты ожидают в очереди на ремонт глушителей каждый день:

2 / 3 (16) = 32 / 3 = 102 / 34.

Следовательно, в этом случае:

Затраты клиентов на ожидание в очереди = $10 (10 2/3) = $107 / день.

Другие основные затраты владельца мастерской могут определяться заработ­ком механика, который получает $ 7 / ч, или $ 56 / день. Тогда:

Общие рассчитанные затраты = $ 107 + $ 56 = $ 163 / день.

Формулы для модели очередей в – многоканальной, также называемой m/m/s

М – число открытых каналов;

l – средняя скорость прибытий;

т – средняя скорость обслуживания для каждого канала.

Вероятность, что ноль клиентов, или единиц, в системе:

Среднее число клиентов, или единиц, в системе:

Среднее время единицы, проводимое в ожидании или обслу­живании (а именно в системе):

Среднее число клиентов, или единиц, в очереди на обслужи­вание:

Lq = Ls – l / m .

Среднее время единицы, проводимое в ожидании в очереди на обслуживание:

Wq= Ws – 1 / m = Lq / l .

Модель В. Многоканальная модель очередей. Следующий логический шаг – это рассмотрение многоканальной системы очередей, в которой два или более сервера, или канала, способны обслуживать клиентов. Предположим, что клиенты, ожидающие сервиса, из очереди обслуживаются первым освободившимся сер­вером. Пример такой многоканальной однофазной очереди мы находим сегодня во многих банках. Общая очередь формируется, и клиент из начала очереди обслуживается первым свободным оператором (рис. 5.3 – для типичной многоканальной конфигу­рации).

Многоканальная система представляется здесь снова в предпо­ложении, что заявки следуют пуассонову распределению вероят­ности и что время обслуживания имеет экспоненциальное распре­деление. Обслуживание ведется по правилу «первый пришел – первый ушел», и все серверы работают по этому правилу. Другие предположения, описанные ранее для одноканальной модели, применимы и здесь.

Уравнения очередей для модели В (которая также именуется в технике M/M/S) являются, очевидно, более общими, чем те, которые используются в одноканальной модели. Они применяют­ся точно так же и требуют такого же типа данных, как и простые модели.

ПРИМЕР 3

Мастерская по ремонту глушителей открывает второй пункт ремонта в гараже и нанимает второго механика для ручного ремонта. Заказы, которые появляются по правилу l = 2 / час, будут выстроены в очередь, пока один из двух механиков не освободится. Каждый механик ремонтирует глушители по правилу т = 3 / час.

Чтобы выяснить, как эта система будет конкурировать со старой одноканаль­ной системой очередей, вычисляем ряд операционных характеристик для М = 2 канала и сравниваем результаты с найденными в примере 1.

Расширение обслуживания имеет эффект практически на всех характеристи­ках. Особенно на времени, проводимом в очереди, уменьшающемся от 40 мин. только к 2,5 мин.

Модель С. Модель с постоянным временем обслуживания.

Такие модели системы обслуживания имеют постоянное время обслуживания взамен экспоненциального распределения времени обслуживания. Согласно неизменному циклу, как в случае авто­матической мойки автомобиля, постоянное время обслуживания является соответствующим этому случаю. Так как постоянные величины определены, то размер формул для Lq, Wq, Ls, Ws всегда меньше, чем были бы в модели А, которая имеет переменные параметры обслуживания. На самом деле как средняя длина оче­реди, так и среднее время ожидания в очереди в два раза меньше для модели С. Модель С в технической литературе по теории очередей также именуется M/D/1.