Формулы для модели очередей с – c постоянным временем обслуживания, называемой также m/d/1

Пример 4

Компания, собирающая и перерабатывающая алюминиевые банки и стеклян­ные бутылки в Нью-Йорке, имеет грузовые автомобили, привозящие эти материа­лы для переработки, которые ожидают разгрузки в среднем по 15 минут. Затраты водителя и автомобиля в очереди составляют $ 60 / ч. Новый автоматический раз­грузчик может быть закуплен, чтобы процесс разгрузки выполнялся по правилу 12 автомобилей в час (т. е. 5 мин. на автомобиль). Грузовые автомобили появляются согласно распределению Пуассона со средней восемь автомобилей в час. Если использовать новый разгрузчик, его затраты на амортизацию составляют $ 3 на разгрузку. Фирма наняла на лето студента колледжа, который провел следующий анализ изменения затрат и выгод от покупки разгрузчика.

Существующие затраты ожидания на один рейс: (1/4 ч ожидания) ($ 60 / ч за­трат) = $ 15 / рейс.

Новая система: l = 8 грузовиков / ч поступающих, т = 12 грузовиков / ч обслуживаемых.

Затраты ожидания на один рейс с новым разгрузчиком: (1 / 12 ч очереди) ($ 60 / ч затрат) = $ 5 / рейс.

Экономия с новым оборудованием: $ 15 (существующая система) – $ 5 (новая система) = $ 10 / рейс.

Затраты на амортизацию нового оборудования = $ 3 / рейс.

Чистая экономия = $ 7 / рейс.

Модель D. Модель с ограниченным источником. Когда име­ется ограниченный источник потенциальных клиентов для центра обслуживания, нам необходима другая модель очередей. Эта мо­дель будет использована, если, например, нужно ремонтировать оборудование, имея только пять машин; если вы ответственны за обслуживание в полете 10 самолетов или если вы работаете в отделении госпиталя, рассчитанном на 20 коек. Модель с ограни­ченным источником имеет дело с некоторым числом объектов, требующих внимания.

Содержание этой модели отличается от трех ранее описанных моделей очередей тем, что теперь существует связь между длиной очереди и правилом появления заявки.

Проиллюстрируем экстремальную ситуацию, когда предпри­ятие имеет пять машин и все пять сломались и ожидают ремонта. В общем, чем длиннее очередь в модели ожидания с ограничен­ным источником, тем меньше прибытий клиентов или машин.

Заметим, что формулы для модели с ограниченным источни­ком используют другие переменные по сравнению с моделями А, В и С. Для простоты, чтобы можно было использовать калькуля­тор, определяются переменные D и F. Причем D представляет вероятность того, что машина, нуждающаяся в ремонте, будет ожидать в очереди; F означает коэффициент эффективности вре­мени ожидания. Заметим, что D и F необходимы для расчетов больше, чем другие конечные формулы модели.

Формулы и обозначения для модели очередей d – с ограниченным размером источника

D – вероятность того, что единица будет ожидать в очереди;

F – коэффициент эффективности;

Н – среднее число обслуженных единиц;

J – среднее число обрабатываемых единиц;

L – среднее число единиц, ожидающих обслуживания;

М – число каналов обслуживания;

N – число потенциальных клиентов;

Т – среднее время обслуживания;

U – среднее время между единицами, поступающими на обслуживание;

W – среднее время ожидания в очереди единицы;

X – сервисный показатель.

Для расчета мы выполняем четыре шага.

1. Рассчитываем Х (сервисный показатель, где ).

2. Находим X и соответствующее М (где М – число каналов обслуживания).

3. Устанавливаем соответственно D и F.

4. Рассчитываем L, W, J, H или что-либо другое, необходимое для измерения работы системы обслуживания.

ПРИМЕР 5

Раисе определялось, что каждый из пяти лазерных компьютерных принтером в департаменте энергетики (DOE) требует ремонта после примерно 20 часов работы. Поломки определяю]с» распределением Пуассона. Один техник может отремонтировать принтер м среднем за два часа и соответствии с экспоненциаль­ным распределением. Поломка принтера обходится и $ 120 / 4, техникам платят $ 25 / 4. Должен ли департамент энергетики принять второго техника?

Предположим, второй техник может чинить принтер в среднем за два часа. Считаем, что ограниченный источник равен пяти принтерам, чтобы сравнить затраты одного или двух техников:

1) отмечаем, что Т = 2 ч и U = 20 ч;

2) тогда = 2 / 22 = .091 (округляем до .090);

Этот анализ показал, что, имея только одного техника на дежурстве, мы получим малую экономию в размере нескольких долларов в час ($ 105.20 – 101.80 = $ 3.40).

Заключительная таблица очередей для n = 5

X	M	D	F	X	M	D	F
1	2	3	4	5	6	7	8
.012	1	.048	.999	.270	3	.064	.994
.019	1	.076	.998		2	.323	.944
.025	1	.100	.997		1	.827	.677
.030	1	.120	.996	.280	3	.071	.993
.034	1	.135	.995		2	.342	.938
.036	1	.143	.994		1	.842	.661
.040	1	.159	.993	.290	4	.007	.999
.042	1	.167	.992		3	.079	.992
.044	1	.175	.991		2	.362	.932
.046	1	.183	.990		1	.856	.644
.050	1	.198	.989	.300	4	.008	.999
.052	1	.206	.988		3	.086	.990
.054	1	.214	.987		2	.382	.926
.056	2	.018	.999		1	.869	.628
	1	.222	.985	.310	4	.009	.999
.058	2	.019	.999		3	.094	.989
	1	.229	.984		2	.402	.919
.060	2	.020	.999		1	.881	.613
	1	.237	.983	.320	4	.010	.999
.062	2	.022	.999		3	.103	.968
	1	-245	.982		2	.422	.912
.064	2	.023	.999		1	.892	.597
	1	.253	.981	.330	4	.012	.999
.066	2	.024	.999		3	.112	.966
	1	.260	.979		2	.442	.904

Продолжение заключительной таблицы очередей для n = 5

X	M	D	F	X	M	D	F
1	2	3	4	5	6	7	8
.068	2	.026	.999		1	.902	.583
	1	.268	.978	.340	4	.013	.999
.070	2	.027	.999		3	.121	.985
	1	.275	.977		2	.462	.896
.075	2	.031	.999		1	.911	.569
	1	.294	.973	.360	4	.017	.998
.080	2	.035	.996		3	.141	.981
	1	.313	.969		2	.501	.880
.085	2	.040	.998		1	.927	.542
	1	.332	.965	.380	4	.021	.998
.090	2	.044	.996		3	.163	.976
	1	.350	.960		2	.540	.863
.095	2	.049	.997		1	.941	.516
	1	.368	.955	.400	4	.026	.977
.100	2	.054	.997		3	.186	.972
	1	.386	.950		2	.579	.645
.105	2	.059	.997		1	.952	.493
	1	.404	.945	.420	4	.031	.997
.110	2	.065	.996		3	.211	.956
	1	.421	.939		2	.616	.826
.115	2	.071	.995		1	.961	.471
	1	.439	.933	.440	4	.037	.996
.120	2	.076	.995		3	.238	.960
	1	.456	.927		2	.652	.807
.125	2	.082	.994		1	.969	.451
	1	.473	.920	.460	4	.045	.995
.130	2	.089	.933		3	.266	.953
	1	489	.914		2	.686	.787
.135	2	.095	.993		1	.975	.432
	1	505	.907	.480	4	.053	.994
.140	2	102	.992		3	.296	.945
	1	521	.900		2	.719	.767
.145	3	011	.999		1	.980	.415
	2	109	.991	.500	4	.063	.992
	1	537	.892		3	.327	.936
.150	3	012	.999		2	.750	.748
	2	115	.990		1	.985	.399
	1	.553	.885	.520	4	.073	.991
.155	3	.013	.999		3	.359	.927
	2	.123	.989		2	.779	.728
	1	.568	.877		1	.988	.384
.160	3	015	.999	.540	4	.085	.989
	2	.130	.968		3	.392	.917
	1	582	.869		2	.806	.708
.165	3	.016	.999		1	.991	.370

Продолжение заключительной таблицы очередей для n = 5

X	M	D	F	X	M	D	F
1	2	3	4	5	6	7	8
	2	137	.987	.560	4	.098	.986
	1	.597	.861		3	.426	.906
.170	3	017	.999		2	.831	.689
	2	.145	.985		1	.993	.357
	1	.611	.853	.580	4	.113	.984
.180	3	.021	.999		3	.461	.895
	2	.161	.983		2	.854	.670
	1	.638	.836		1	.994	.345
.190	3	024	.996	.600	4	.130	.981
	2	.117	.980		3	.497	.883
	1	.665	.819		2	.875	.852
.200	3	028	.996		1	.996	.333
	2	194	.976	.650	4	.179	.972
	1	.689	.801		3	.588	.850
.210	3	032	.998		2	.918	.608
	2	.211	.973		1	.998	.308
	1	.713	.783	.700	4	.240	.960
.220	3	.036	.997		3	.678	.815
	2	229	.969		2	.950	.568
	1	.735	.765		1	.998	.286
.230	3	041	.997	.750	4	.316	.944
	2	.247	.965		3	.763	.777
	1	.756	.747		2	.972	.532
.240	3	046	.996	.800	4	.410	.924
	2	.265	.960		3	.841	.739
	1	.775	.730		2	.987	.500
.250	3	.052	.995	.850	4	.522	.900
	2	.284	.955		3	.907	.702
	1	.794	.712		2	.995	.470
.260	3	.058	.944	.900	4	.656	.871
	2	.303	.950		3	.957	.666
	1	.811	.695		2	.998	.444
				.950	4	.815	.838
					3	.969	.631

Многие практические проблемы теории очередей, которые встречаются в производственных и операционных сервисных сис­темах, имеют характеристики такие, как в четырех математиче­ских моделях, описанных ранее. Часто тем не менее в анализе проявляются вариации этих специфических случаев. Время обслуживания в мастерской ремонта автомобилей, например, следует тенденции нормального закона распределения вероятности, а не экспоненциального. Система регистрации колледжа, при которой одни студенты-старшекурсники имеют приоритет в выборе курсов и часов занятий по отношению ко всем другим студентам, может пользоваться примитивным приоритетом, определяющим дис­циплину очереди (такую, как FIFO). Система медицинского отбо­ра в армию – пример многофазной системы, более сложной, чем однофазная модель, обсуждаемая в этой главе. Новобранцу изме­ряют давление на одном аппарате, проверяют зрение на другом, снимают психиатрические показания на третьем и осматривают на четвертом. На каждой фазе новобранец должен занять другую очередь и ожидать в ней.

Модели применительно к этим случаям развивают операцион­ные исследования. Вычисления на основе математических формул носят более комплексный характер по сравнению с теми, которые рассматривались в этой главе. Многие реальные приложения очередей являются комплексом аналитических моделей. Ряд про­блем математически не описывается. Там, где это возможно, аналитически обычно используют имитационное компьютерное моделирование.