Логический аппарат в системном анализе.

         В логике рассматриваются сложные суждения, образованные из простых высказываний при помощи логических союзов. Основные логические союзы следующие:

1.«Или» (слабая дизъюнкция) - логический союз, с помощью которого образуется сложное суждение, истинное тогда и только тогда, когда истинным является хотя бы одно высказывание.

Слабая дизъюнкция (логическая сумма) обозначается знаками «»  или «+». Пишется: pq, p+q. Читается: p или q.

2. «Либо, либо» (исключающая дизъюнкция) - логический союз, с помощью которого образуется сложное суждение, истинное тогда и только тогда, когда истинным является лишь одно высказывание.

Исключающая дизъюнкция обозначается знаком « ». Пишется: p q. Читается: либо p, либо q (но не оба).

3. «И» (конъюнкция) - логический союз, с помощью которого образуется сложное суждение, истинное тогда и только тогда, когда истинным является каждое из высказываний.

Конъюнкция (логическое умножение) обозначается знаками «» или «*». Пишется: pq, p*q. Читается: p и q.

4. «Если, то» (импликация) - логический союз, с помощью которого образуется сложное суждение, ложное тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (заключение) ложно.

Импликация обозначается знаком «». Пишется: pq. Читается: если p, то q.

5. «Тогда и только тогда, когда» (эквиваленция) - логический союз, с помощью которого образуется сложное суждение, истинное тогда и только тогда, когда составляющие его высказывания либо истинны, либо ложны.

Эквиваленция обозначается знаком «». Пишется: pq (иногда знаком «≡». Читается: p тогда и только тогда, когда q; p эквивалентно (равносильно) q.

6. «Неверно, что» (отрицание) - логический союз, с помощью которого образуется сложное суждение, истинное тогда и только тогда, когда исходное суждение ложно, и ложное, когда исходное суждение истинно.

Отрицание обозначается символом «черта», то есть . Читается: неверно, что p.

            1. Законы выражения одних логических переменных через другие:

                        pq =  q,  pq =  +q                                     

                        pq = (  ) (qp),  pq = pq +                

                        pq = (p )( q),  pq = p  +  q                   

 

            2. Закон противоречия:

                        p  = Л,  p  = Л                                                    

            3. Закон исключения третьего:

                        p  = И,  p+  = И                                                  

(хотя бы одно из высказываний p или  всегда истинно, третьего не дано).

            4. Законы исключения констант:

                        pИ = p,  pИ = p                                                     

                        pЛ = p,   p+Л = p                                                   

            5. Законы исключения переменных:

                        pИ = И,  p+И = И                                                  

                        pЛ = Л,  pЛ = Л                                                     

            6. Законы идемпотентности:

                        pp = p,  pp = p                                                        

                        pp = p,  p+p = p                                                      

            7. Законы коммутативности:

                        pq = qp,  pq = qp                                                  

                        pq = qp,  p+q = q+p                                              

            8. Законы ассоциативности:

                        p(qr) = (pq)r = pqr,  p(qr) = (pq)r = pqr     

                        p(qr) = (pq)r = pqr,            

p+(q+r) = (p+q)+r = p+q+r                 

            9. Законы дистрибутивности:

                        p(qr) = (pq)(pr),  p(q+r) = pq + pr                

                        p(qr) = (pq)(pr),  p+qr = (p+q)(p+r)              

10. Законы поглощения:

                        p(pq) = p,  p(p+q) = p                                           

                        p(pq) = p,  p+pq = p                                             

            11. Законы операции отрицания:

                        - законы отрицания логических констант

            12. Законы де Моргана:

                     pq  =   ,  pq =  +  

         ___ ____                  

                     pq  =   ,  p+q =