gos_geometria_2012
.docВ О П Р О С Ы
по алгебре и геометрии на ГЭК -2012 г.
АЛГЕБРА
-
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух целых чисел.
-
Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними.
-
Алгебраическая операция. Алгебры. Группы. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Изоморфизм групп.
-
Кольца, поля. Примеры. Простейшие свойства. Подкольцо, подполе.
-
Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования систем. Различные способы решения систем.
-
Функция Эйлера. Классы сравнимых чисел, взаимно простых с модулем. Приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
-
Векторное пространство, подпространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
-
Базис и размерность конечномерного векторного пространства.
-
Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
-
Сравнения в кольце целых чисел, основные свойства. Классы сравнимых чисел, полная система система вычетов.
-
Многочлены над полем рациональных чисел. Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.
-
Теорема о существовании корня многочлена в поле комплексных чисел (без доказательства). Многочлены, неприводимые над полем комплексных чисел. Формулы Виета. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
-
Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
-
Кольцо многочленов над полем, наибольший общий делитель многочленов, способы его вычисления. Факториальность и евклидовость кольца многочленов над полем.
-
Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1962.
3. Ларин С.В. Линейная алгебра, ч.1. КГПУ, 2002.
Линейная алгебра, ч.2. КПУ, 1999.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
5. Ларин С.В. Многочлены, КГПУ, 2007.
6.Ларин С.В.Лекции по теории групп., КГПУ, 2008.
7. Казачек Н.А. и др. Алгебра и теория чисел., ч. 3., 1974.
ГЕОМЕТРИЯ
-
Построения на плоскости циркулем и линейкой. Примеры задач, неразрешимых циркулем и линейкой.
-
Многоугольник. Площадь многоугольника. Равновеликость, равносоставленность многоугольников. Теорема Бояи-Гервина.
-
Линии второго порядка.
-
Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, приложение к решениям задач.
-
Правильные многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.
-
Прямые и плоскости в пространстве, их аналитическое задание, взаимное расположение.
-
Поверхности второго порядка.
-
Движения плоскости. Классификация движений.
-
Аффинные преобразования плоскости. Родство.
-
Проективная плоскость. Теорема Дезарга.
-
Аксиоматический метод построения геометрии. «Начала» Евклида. Система аксиом Гильберта.
-
Геометрия Лобачевского, основные факты, непротиворечивость.
ЛИТЕРАТУРА:
-
Анищенко С.А. Лекции по геометрии. Ч.1. Красноярск: РИО КГПУ, 2004, - 144 с.
-
Анищенко С.А. Лекции по геометрии. Ч.2. Красноярск: Изд-во КГПУ, 1999, - 175 с.
-
Анищенко С.А. Основания геометрии. Ч.3. Красноярск: РИО КГПУ, 2000, - 120 с.
-
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х частях. Ч. 1. Учебное пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед. Институтов. М.: Просвещение, 1986, – 336 с.
-
Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч. 2. Учебное пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед институтов. М.: Просвещение, 1976, - 447 с.
-
Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1961, – 360 с.
Зав. кафедрой алгебры, геометрии и МП В.Р. Майер