- •1. За допомогою основних методів інтегрування знайти інтеграли : Безпосереднє інтегрування
- •2) Обчислити визначений інтеграл Варіанти завдань :
- •2. Обчислити площу фігури, обмежену лініями :
- •1) Записати рівняння і знайти довжину а) сторони ав ;
- •2) Знайти кут між прямими ab I ac.
- •Міністерство аграрної політики україни
- •Одеса-2004
Розділ І . Лінійна алгебра.
Приклад розв’язання типового завдання:
1. Знайти матриці : а) С=А В , б) Е=3 А-D , якщо
б)
Завдання 1.1
Задані матриці А, В, С; числа . Знайти матриці : 1) ; 2)
Варіанти завдань :
Варіант А
№ |
А |
В |
С |
|
|
1 |
|
|
|
-2 |
3
|
2 |
|
|
|
|
-4
|
3 |
|
|
|
3 |
-1
|
4 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
2 |
1 |
6 |
|
|
|
-3 |
2 |
7 |
|
|
|
-1 |
3 |
8 |
|
|
|
5 |
|
9 |
|
|
4 |
-1 |
|
10 |
|
|
-5 |
|
Варіант Б
№ |
А |
В |
С |
|
|
1 |
-3 |
2 |
|||
2 |
|
|
|
5 |
-3 |
3 |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
2
|
-1 |
6 |
|
|
|
|
-2 |
7 |
|
|
|
-2 |
3 |
8 |
|
|
|
-4 |
5 |
9 |
|
|
|
1 |
|
10 |
|
3 |
-1 |
Варіант В
№ |
А |
В |
С |
||
1 |
|
|
|
-5 |
|
2 |
2
|
-1 |
|||
3 |
|
-3 |
1 |
||
4 |
|
|
2 |
||
5 |
|
|
-2 |
||
6 |
|
|
|
4 |
-3 |
7 |
|
|
|
4 |
|
8 |
|
|
1 |
-2 |
|
9 |
|
|
|
5
|
3 |
10 |
|
|
|
4 |
2 |
2. Розв‘язати систему рівнянь за методом Жорданових виключень.
Розв’язання. Нехай задана система лінійних рівнянь ,
Запишемо систему лінійних рівнянь у вигляді таблиці: Таблиця 1.
1. Вибираємо розв’язуючий елемент (будь-який не рівний 0). х1 х2 х3
Наприклад, “1”. Це означає, що перший рядок і третій 1 3 -2 1
стовпець - розв’язуючі. 5 4 1 0
-4 1 -5 4
-
Заповнюємо лівий стовпець і верхній рядок таблиці , враховуючи зміну місцями вільного члена 1 і невідомої х3.
Таблиця 2.
х1 х2 1 3. У новій таблиці замість розв’язуючого елемента пишемо
х3 -3 2 1 “1” поділена на розв’язуючий елемент, тобто ( 1/1=1).
5 4 1 0 4. Всі інші елементи розв’язуючого стовпця (третього) без змін
-4 -11 3 4 знака діляться на розв’язуючий елемент “1” і записуються у
третій стовпець нової таблиці (табл.2).
-
Елементи розв’язуючого рядка (першого) змінюють знак на протилежний, діляться на розв’язуючий елемент і записуються у перший рядок нової таблиці (табл.2).
-
Користуючись правилом “прямокутника” , обчислюємо всі інші елементи нової таблиці (табл.2).
В новій таблиці обираємо розв’язуючий елемент, наприклад “1”, якій стоїть у другому рядку і другому стовпці. У цьому випадку розв’язучий рядок другий і
розв’язуючий стовпець - другий. Заповнюємо нову таблицю за описаною схемою :
Таблиця 3.
х1 5 1
х3 -11 2 1
В отриманій таблиці 3 залишається поміняти х2 -4 1 0
місцями тільки невідому х1 і вільний член -4 -4 -23 3 4
Таблиця 4.
-4 5 1
х3 11/23 13/23 -21/23
х2 4/23 11/23 -16/23
х1 -1/23 3/23 4/23 З останньої таблиці знаходимо невідомі :
Перевірка : підкладаємо значення змінних у кожне рівняння системи
Відповідь : Х1=1 , Х2=1 , Х3=0 .
Завдання 1.2. Розв’язати систему рівнянь за методом Жорданових виключень
Варіанти завдань :
Варіант А
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10)
Варіант Б
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10)
Варіант В
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10)
Розділ ІІ . Диференціальне числення.
Приклад розв’язання типового завдання:
1. Дослідити функцію і побудувати її графік .
-
Область визначення функції D(х)=(-;+)
-
Функція парна : , тому її графік симетричний відносно осі OY.
-
Точки перетину графіка з віссю ОY : х=0 ; ; А (0 ; 3) .
з віссю ОХ: у=0 ; .
Робимо підстановку , тоді отримаємо
Отримаємо точки для побудови графіка : В(-4,1 ; 0) , С(-1,2 ; 0) , D(1,2 ; 0) , E(4,1 ; 0)
-
Для визначення точок екстремума знайдемо першу похідну функції :
x |
(-;-3) |
-3 |
(-3 ; 0) |
0 |
(0 ; 3) |
3 |
(3 ; +) |
y’ |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y |
|
min |
|
max |
|
min |
|
Знайдені точки екстремуму : min(-3 ; -7,125) , min (3 ; -7,125) , max (0 , 3) .
-
Проміжки опуклості та вгнутості графіка визначаються за допомогою другої похідної
x |
(- ; -3) |
-3 |
(-3 ; 3 ) |
3 |
(3 ; +) |
y” |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y |
|
перегин |
|
перегин |
|
Графік функції :
Завдання 2.1. Дослідити функцію і побудувати її графік.
Варіанти завдань :
-
А Б В
2. Знайти найменше та найбільше значення функції на
проміжку [-2 ; 4]
1. Знайдемо критичні точки заданої функції з умови
З розв’язаної задачі 1 критичні точки є:
2. Перевіряємо , чи належать критичні точки до заданого проміжку :
3. Обчислимо значення функції на кінцях заданого проміжку і в критичних точках, які належать до нього :
Відповідь : max y(x)=-1 ; min y(x)=-7,125.
[-2 ; 4] [-2 ; 4]
Завдання 2.2. Знайти найменше та найбільше значення функції, заданої у попередньому завданні 2.1 на вказаному проміжку.
Варіанти завдань :
№
1. |
А
[ 0 ; 3 ] |
Б
[ -1 ; 3 ] |
В
[ -3 ; 1 ] |
2. |
[ -1 ; 4 ] |
[ 0 ; 3 ] |
[ -1 ; 1 ] |
3. |
[ 0 ; 4 ] |
[ 0 ; 3 ] |
[ -1 ; 3 ] |
4. |
[ -1 ; 2 ] |
[ -2,5 ; 0 ] |
[ -4 ; 1 ] |
5. |
[ -0,5 ; 2 ] |
[ -1 ; 2 ] |
[ -0,5 ; 3 ] |
6. |
[ -2 ; 1 ] |
[ -1 ; 2 ] |
[ -1 ; 3 ] |
7. |
[ -1 ; 2 ] |
[ -0,5 ; 2 ] |
[ 1 ; 3 ] |
8. |
[ 0 ; 1 ] |
[ -1 ; 3 ] |
[ 1 ; 4 ] |
9. |
[ -1 ; 4 ] |
[ -2 ; 1 ] |
[ -3 ; 1 ] |
10. |
[ 0 ; 3 ] |
[ -2 ; 1 ] |
[ -1 ; 2 ] |
3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до графіка функції у точці Х0=2. Накреслити графік функції , нормалі та дотичної.
Рівняння дотичної має вигляд : .
Для нашого випадку :
Рівняння дотичної : (Т) .
Рівняння нормалі має вигляд : .
Для нашого випадку :
(N) .
Д ля побудови графіка функції знайдемо координати вершини параболи і точки перетину її з осями координат. Абсцису вершини параболи
обчислюємо за формулою : . Для нашого випадку :
Точки перетину параболи з ОХ :
Отримаємо дві точки: (-0,75 ; 0) та (1,75 ; 0) .
Завдання 2.3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до заданої функції у(х) у заданій точці Х0 . Зробити малюнок.
Варіанти завдань : А Б В
4. Знайти похідні наступних функцій :
Р озв”язання :
Завдання 2.4 Знайти похідні від заданих функцій.
Варіанти завдань :
А: Варіант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Б : Варіант
1.
B : Варіант
Розділ ІІІ . Границя функції.
Приклад розв’язання типового завдання:
1. Знайти границі функцій:
Зауваження :
Завдання 3.1. Знайти границі заданих функцій, якщо
1) а) Х0=0 , б) Х0=
Варіанти завдань :
А :
В аріант
Б :
В аріант
В :
В аріант
Розділ ІV . Інтегральне числення.
Приклад розв’язання типового завдання:
-
1. За допомогою основних методів інтегрування знайти інтеграли : Безпосереднє інтегрування
1)
Завдання 4.1 1) Знайти невизначений інтеграл ;
2) Обчислити визначений інтеграл Варіанти завдань :
№ |
А |
Б |
В |
1 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
2 |
1) 2) |
1) 2) |
|
3 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
4 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
5 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
6 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
7 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
8 |
1) 2) |
1) 2) |
1) |
9 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
10 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
Інтегрування методом підстановки.
Завдання 4.2 Обчислити інтеграли за методом підстановки.
Варіанти завдань :
№ |
А |
Б |
В |
1 |
1) 2) |
1) 2) |
1) 2) |
2 |
1) 2) |
||
3 |
2) |
|
|
4
|
|||
5 |
|||
6 |
|||
7 |
|||
8 |
|||
9 |
|||
10 |
Інтегрування частинами.
Завдання 4.3 Розв’язати за методом інтегрування частинами
Варіанти завдань .
№ |
А |
Б |
В |
1 |
|||
2 |
|||
3 |
|
||
4 |
|||
5 |
|||
6 |
|||
7 |
|||
8 |
|||
9 |
|||
10 |
-
2. Обчислити площу фігури, обмежену лініями :
Розв’язок : Знайдемо точки перетину заданих парабол. Для цього розв’яжемо систему рівнянь : .
Розв”яжемо одержане квадратне рівняння
Обчислимо відповідні значення функції
Маємо дві точки перетину : А(-1 ; 1) , В(4 ; -9) .
Побудуємо параболи в системі координат
Завдання 4.4 Обчислити площу фігури, обмежену заданими параболами.
Варіанти завдань:
Варіант А Б В
Розділ V . Аналітична геометрія на площині.
Приклад розв’язання типового завдання:
Для трикутника АВС задано координати вершин: ,.
Потрібно: 1) записати рівняння , знайти довжину :
а) сторони АВ;
б) медіани СД;
в) висоти СF;
2) знайти кут між прямими АВ і АС .
Нехай А(-3;-3), В(4;3), С(2;7). Покажемо АВС в декартовій cистемі координат.
1. а) Рівняння АВ ;
6(x+3)=7(y+3) ;
Кутовий коефіцієнт прямої АВ
Довжина АВ :
б) Рівняння медіани СД : Д – середина АВ тому
Запишемо рівняння СД :
; ; -7(x-2)= -3/2(y-7) ;
Довжина СД :
в) Рівняння висоти СF :
За умовою перпендикулярності прямих АВ і CF:
Тому, кутовий коефіцієнт висоти СF:
Рівняння СF :
Довжина СF :
Знайдемо точку перетину прямих АВ і СF. Для цього складаємо систему із рівнянь прямих АВ і СF і розв”язуємо її :
Підставляємо знайдене “х” у будь яке рівняння системи :
2) Кут між прямими АВ і АС :
Щоб знайти кут між прямими АВ і АС треба знати кутові коефіцієнти прямих. Кутовий коефіцієнт АВ : . Кутовий коефіцієнт прямої АС :
Тоді кут ВАС трикутника знаходимо за формулою :
Завдання 5.1. Задані координати вершин трикутника АВС . Необхідно :