Главы 5-6

Решение:	Алгоритм:
	Расстояние от точки	А
	(А1,А2) до прямой l (l1,l2) равно
	длине перпендикуляра	АВ,
	опущенного из точки A на эту
	прямую.

1. Преобразовать прямую общего положения l в прямую уровня:

– новая ось х14 l1;

– на прямой l необходимо отметить две произвольные точки

1 и 2;

– на П4 построить l4 и А4;

– из точки А опустить перпендикуляр АВ к прямой l;

– А4В4 l4, А1В1 и А2В2 строятся по линиям связи;

2. Определить натуральную величину АВ:

– ввести дополнительную плоскость проекций П5 АВ;

– новая ось x25 А2В2;

– А5В5 – н.в. расстояния от точки А до прямой l.

б) плоскости (k, l).

94

Решение:	Алгоритм:
	Расстояние	от точки А
	(А1,А2) до плоскости (k, l)
	равно длине	перпендикуляра
	АВ, опущенного из точки A на
	эту плоскость.

1. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую ( П4):

– новая ось х24 k2 (k –фрон- таль);

– на плоскости необходимо отметить три произвольные точки 1, 2 и 3;

– на П4 построить А4 и 4 (вырожденная проекция).

2. Построить и определить натуральную величину перпендикуляра АВ:

– А4В4 (р4) 4;.

–А2В2 (р2) х24, т.к. АВ(р) – прямая уровня в системе П2/П4;

– А1В1 (р1) определяется по линиям связи и удалением от х24;

– А4В4 – н.в. расстояния от точки А до плоскости .

95

ГЛАВА 6. МНОГОГРАННИКИ

Части плоскостей (грани), пересекаясь по ребрам, образуют гранные поверхности.

Многогранники – геометрические тела, ограниченные гранными поверхностями, ребра которых пересекаются в вершинах. На чертеже многогранник изображается проекциями ребер и вершин с обозначением или ребер (обычно у призмы) или вершин (обычно у пирамид).

При обводке чертежа невидимые ребра изображают штриховой линией. Видимые ребра обводят сплошной основной толстой линией.

6.1. ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников:

1. Пирамида – это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина еѐ отсекается плоскостью

(рис.6.1).

а)	б)
Рис. 6.1. Пирамида: а) модель;	б) эпюр

2. Призма – многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными

96

сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если еѐ ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис 6.2.).

а)

б)

Рис. 6.2. Призма: а) модель; б) эпюр

Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

6.2. ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА

Точка на поверхности многогранника может принадлежать:

–ребру. В этом случае точка строится по принадлежности к данному ребру;

–грани. Точка строится по принадлежности к прямой этой грани. Точка видима, если она расположена на видимых ребре или грани и

невидима, если – на невидимых ребре или грани.

На рис. 6.3 показано построение точек на поверхности многогранника. Точка F принадлежит ребру SC. На плоскостях П1 и П2 точка видима, т.к. ребро SC на этих плоскостях видимо. На плоскости П3 проекция

97

ребра S3C3

невидима (ребро SC закрыто гранью АSВ), следовательно, проекция точки F3 –невидима.

Точка Е принадлежит грани АSВ. Она строится при помощи вспомогательной прямой, принадлежащей грани АSВ. На плоскостях П1, П2 и П3 точка Е видима, т.к. грань АSВ на этих плоскостях видима.

Рис. 6.3. Точки на поверхности многогранника

6.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С МНОГОГРАННИКОМ

Точками пересечения прямой с многогранником являются точки пересечения этой прямой с контуром сечения многогранника вспомогательной (обычно проецирующей) плоскостью, проведенной через эту прямую (рис. 6.4). Алгоритм решения задачи определения точек пересечения прямой m с поверхностью пирамиды ASBC:

1.Провести фронтально проецирующую плоскость через прямую m (на чертеже совпадает с m2).

2.Построить линию сечения пирамиды плоскостью – в виде треугольника с вершинами 123. Эти вершины являются точками пересечения

ребер пирамиды секущей плоскостью .

98

3. Определить точки пересечения прямой m с линией сечения в точках F и Е.

Обводка чертежа прямой с учетом видимости точек пересечения. Видимую линию обводят толстой основной линией, невидимую – тонкой штриховой, а внутри многогранника между точками входа и выхода – сплошной тонкой линией (считается, что линия отсутствует).

а)

б)

Рис. 6.4. Пересечение прямой линии с пирамидой: а) модель; б) эпюр

99

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача 1.

Построить недостающие проекции точек Т и М на поверхности пирамиды SАВС.

Решение:

100

Задача 2.

Построить недостающие проекции точек N, L и K на поверхности призмы АВСDЕF.

Решение:

101

Задача 3.

Построить точки пересечения прямой m с поверхностью заданных тел: а) призмы ABDCEF;

Решение:

102

б) пирамиды SABC

Решение:

103