информ часть2
.pdf53
Если эти условия выполнены, а это означает, что в (a; b) содержится один корень x* уравнения (7.1), то из двух точек A(a; f(a)) и B(b; f(b)), лежащих на кривой y = f(x), выбирают ту, для которой значение функ- ции и второй производной одного знака. Пусть, например, это будет
точка В, т.е. f(b)×f''(b) > 0.
Первый шаг метода Ньютона состоит в том, что в точке В проводят касательную к графику функции y = f(x) и определяют точку, обозначим ее x1, пересечения касательной с осью Оx по формуле
|
|
|
x = x |
0 |
− |
f (x0 ) |
, |
(7.4) |
|
|
|||||||
|
1 |
|
f '(x0 ) |
|
||||
где для удобства обозначим x0 = b. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
На втором и последующих шагах выполняют те же действия, что и |
|||||||
на первом шаге, т.е. по формуле, аналогичной формуле (7.4) |
|
|||||||
xn |
= xn−1 − |
f (xn−1 ) |
, где n = 2,3,…, определяют точки (числа) x2, x3, |
|||||
|
||||||||
|
|
f '(xn−1 ) |
|
|
|
|
|
… xn, являющиеся приближенными значениями корня x*. Процесс уточ- нения корня можно закончить, например, при выполнении условия |xn – xn-1| < e и |f(xn)| < e и положить x* » xn.
Задание к лабораторной работе
1.Для каждого из двух уравнений, заданных в варианте задания, оп- ределить аналитически и графически отрезок, содержащий корень урав- нения.
2.Вручную уточнить значение каждого корня, выполнив две итера-
ции.
3.Составить блок-схему и программу-процедуру для нахождения
корня каждого уравнения методом половинного деления и методом
Ньютона с точностью e = 0,001.
4. Вывести на экран и в файл приближенное значение корня каждого уравнения, вид уравнения, точность, число итераций.
Варианты
Вари- |
|
Уравнения |
Вари- |
Уравнения |
ант |
|
|
ант |
|
1 |
1) |
( x + 2)×cos( x) = 1; |
2 |
1) sin( x – p/3) – 2 x = 0; |
|
2) x3 – 3 x2 + 9 x – 8 = 0 |
|
2) x3 – 4 x – 1 = 0 |
|
3 |
1) |
( x – 1)×lg( x + 2) = 1; |
4 |
1) cos( x – 1) = x3; |
|
2) 2 x3 – x2 – 2 x + 3 = 0 |
|
2) x3 – 2 x2 + 3 x – 1 = 0 |
|
5 |
1) sin( x – 1) = 2 x3; |
6 |
1) x cos( x) + 1 = 0; |
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
54
Вари- |
Уравнения |
ант
2) x3 – 4 x2 + x – 1 = 0
71) x×lg( x + 2) – 1 = 0;
2)x3 – x2 + 2 x – 4 = 0
91) x2 – 2cos( x) – 1 = 0;
2)x3 – x2 + 2 x + 1 = 0
111) e x + 2 x – 4 = 0;
2)x3 + 3 x2 –2 x + 1 = 0
131) lg( x) – x + 2 = 0; 2) 2 x3 + x2 – x – 2 = 0
151) x×cos( x – 2) = 1;
2)x3 + 3 x2 + 9 x – 8 = 0
171) x×lg( x + 3) = 1;
2) 2 x3 + x2 + 2 x + 3 = 0
191) sin( x) – 2( x + 1)3 = 0;
2)x3 + 4 x2 + x + 1 = 0
211) 1 + x×lg(2 – x) = 0;
2)x3 + x2 + 2 x + 4 = 0
231) x2 – 2sin(p/2 – x) – 1 = 0;
2)x3 + x2 + 2 x – 1 = 0
251) e – x – 2 x – 4 = 0;
2)x3 – 3 x2 + 2 x – 1 = 0
271) lg( x + 2) – x = 0; 2) 2 x3 – x2 + x + 2 = 0
291) ( x + 1)×lg( x + 3) – 1 = 0; 2) 4 x3 – 2 x2 + x – 1 = 0
Вари- |
Уравнения |
ант |
|
|
2) x3 – 2 x2 – 3 x + 2 = 0 |
81) x2 – 2sin( x) – 1 = 0;
2)x3 + x2 + 2 x – 3 = 0
101) e x + x – 2 = 0;
2)x3 + 2 x2 – x – 1 = 0
121) lg( x) – 2 x + 1 = 0; 2) 2 x3 – x2 – x + 2 = 0
141) e – x – 2 x + 1 = 0; 2) 2 x3 – x2 – x + 1 = 0
161) cos( x – p/3) – 2 x = 0;
2)x3 – 4 x + 1 = 0
181) cos( x) –( x + 1) 3 = 0;
2)x3 + 2 x2 + 3 x + 1 = 0
201) 1 – x cos( x) = 0;
2)x3 + 2 x2 – 3 x – 2 = 0
221) x2 + 2sin( x) – 1 = 0;
2)x3 – x2 + 2 x + 3 = 0
241) e – x – x – 2 = 0;
2)x3 + 2 x2 + x + 1 = 0
261) lg( x + 1) – 2 x – 1 = 0; 2) 2 x3 + x2 + x – 2 = 0
281) e x + 2 x + 1 = 0;
2) 2 x3 + x2 – x – 1 = 0
301) sin( x + 1) = 2( x + 3)3;
2)x3 – x2 + 4 x – 1 = 0
Контрольные вопросы
1.Покажите геометрическую интерпретацию метода половинного деления.
2.Каким образом можно геометрически проиллюстрировать метод
Ньютона?
3.Каким образом определяют точку пересечения касательной с осью Оx в методе Ньютона?
4.Каким образом определяют интервал, содержащий корень урав- нения, в методе половинного деления?
5.При каком условии процесс уточнения корня можно закончить? Какие различные варианты условий можно задать в методе Ньютона?
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
55
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
Численное интегрирование
Цель работы: научиться использовать численные методы для нахо- ждения определенных интегралов.
Основные понятия
Для решения задачи численного или приближенного вычисления оп-
ределенного интеграла используют формулу
òb |
f (x)dx, |
(8.1) |
a |
|
|
где f(x) – интегрируемая в [a; b] функция. |
|
|
Сначала отрезок [a; b] разбивается точками x0 |
= a < x1 < x2 < … < |
< xn-1 < xn = b на n равных частей или частичных отрезков [xi; xi+1], где xi = x0 + i×h, i = 0, 1, …, n–1, h = (b – a)/n – длина частичного интервала. Затем интеграл (8.1) записывают в следующем виде:
b |
x |
x |
x |
x |
|
|
ò f (x)dx = ò1 |
f (x)dx + ò2 |
f (x)dx + ... + òi+1 f (x)dx + ... + |
òn |
f (x)dx . |
(8.2) |
|
a |
x0 |
x1 |
xi1 |
xn−11 |
|
Если на каждом из частичных интервалов [xi; xi+1] подынтегральную функцию y = f(x) заменить в (8.2)
1) на постоянную величину f(ξi), где ξi – произвольная точка из от- резка [xi; xi+1], то получим так называемую формулу прямоугольников
b |
|
|
n−1 |
|
n−1 |
|
ò f (x)dx ≈ å f (ξi )h = hå f (ξi ) ; |
(8.3) |
|||||
a |
|
|
i=0 |
− yi |
i=0 |
|
2) отрезком прямой y = yi + |
yi+1 |
(x − xi ), проходящей через точ- |
||||
|
|
|
xi+1 |
− xi |
|
|
ки (xi; f(xi)), (xi+1; f(xi+1)), то получим формулу трапеций |
|
|||||
b |
1 |
n |
|
|
|
|
ò f (x)dx = |
hå[y |
+ y + 2(y + y +...+ y )]; |
(8.4) |
a2 i=0
3)параболой y = ax2 + bx + c, проходящей через три точки (xi; f(xi)),n−1n0 1 2
(xi+1; f(xi+1)), (xi+2; f(xi+2)), при этом n = 2k, т.е. число частичных интерва- лов четно, то получим формулу Симпсона
b |
f (x)dx = |
h |
[y |
+ y |
|
+ 4( y + y |
+ ... + y |
|
) + 2(y |
|
+ y |
|
+ ... + y |
|
)].(8.5) |
|
ò |
2k |
2k−1 |
2 |
4 |
2n−2 |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
3 |
0 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
56
Обозначим через ε абсолютную погрешность приближенного инте- грала (8.1), тогда для формул (8.3) – (8.5) имеют место, соответственно, следующие оценки:
ε≤ h2 b − a
24
ε≤ h2 b − a
12
ε≤ h4 b − a
180
max f ''(x) ;
x [a;b]
max f ''(x) ;
x [a;b]
max f (4) (x) .
x [a;b]
Задание к лабораторной работе
1. Каждый из интегралов, приведенных в варианте задания вычис- лить:
а) по формуле прямоугольников; б) по формуле трапеций; в) по формуле Симпсона,
разбив интервал интегрирования на n частей (n = 10) .
2.Сравнить между собой результаты вычислений и оценить погреш- ность вычисления, используя соответствующие приближенные оценки.
3.Вычислить приведенные в задании интегралы аналитически и найти в каждом случае абсолютную погрешность вычисления.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
|
|
|
||||||
1 |
|
2 3x2 + ex |
|
π 4 arctg2x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) |
ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
б) ò0 1+ 4x2 |
dx |
|
|||||||||
|
|
|
x3 + ex |
|
||||||||||||||||||
2 |
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x3 + 6 |
|
|
|
|||
|
а) |
ò x cos 2xdx ; |
б) ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
+ 5x − 6 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 x |
|
|
|||||||
3 |
|
1 2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
ln(x + 3) |
|
|
|
|||||
|
а) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
б) ò |
|
|
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|||||||||||||
|
1− x |
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|||
|
а) |
ò xsin xdx ; |
б) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||
|
|
|
x |
2 |
+ 3x + 2 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
5 |
|
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
−π 2 |
|
|
|
|
|
||||
а) |
ò |
|
|
dx ; |
б) |
òesin 3x cos3xdx |
||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||
|
|
0 1 |
+ x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
57
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
|
2 |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
x3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
а) |
ò1 |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
б) ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
x2 − 5x + 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
а) òe−x4 x3dx ; |
б) ò |
|
|
|
|
|
5x2 |
|
6 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x3 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) |
ò x |
|
|
ln xdx ; |
б) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
− x − 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9 |
|
π 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||
|
а) |
ò5 4 − 5sin 2x cos2xdx ; |
|
|
|
|
б) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x ln |
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x3 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) ò xe dx ; |
б) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
+ x − 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
|
9 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) |
ò |
dx ; |
б) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12 |
а) ò x |
|
dx −x ; |
б) ò e x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13 |
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) |
ò |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
б) òcos2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
14 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x3 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) ò xe dx ; |
б) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ 3x |
+ |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15 |
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
òctg5xdx ; |
б) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
1− ln |
2 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x3 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) ò1 |
|
|
|
|
|
; |
|
б) ò0 |
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 3 |
|
|
|
|
x2 + x − 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1+ ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
dx ; |
б) ò3 |
|
|
|
|
sin 5xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
2 − 3cos5x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
58
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
3 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) |
òx ×arctg2xdx ; |
б) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 x |
|
- 4x + |
|
||||||||||||||||
19 |
|
π 2 |
4x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
ò |
|
+ cos x |
dx ; |
б) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
x(1+ ln |
2 |
|
x) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
sin x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
20 |
а) ò1 xe−x / 2 dx ; |
б) ò2 |
|
x3 + 5 |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
- 2x - |
|
|
||||||||||||||
21 |
|
1/ 2 |
|
|
x |
3 |
dx |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
e |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) |
ò |
|
|
|
|
; |
|
б) ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ e |
2x |
) |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
1- x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22 |
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x3 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
ò xsin 3xdx ; |
б) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
x |
2 |
- x - 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
23 |
|
3π / 4 |
|
ctg2x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
1- xdx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
б) ò |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
π / 4 sin |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
24 |
а) |
ò3 |
|
|
x ln xdx ; |
б) |
ò |
|
|
2 x3 - 5 |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
- 6x + 5 |
|
||||||||||||||
25 |
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
ò |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) ò xe2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 1 |
+ |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26 |
а) ò2 xe3x dx ; |
|
|
б) |
−ò2 |
|
x3 - 3 |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 x |
|
+ 3x + |
|
||||||||||||||||
27 |
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
3 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а) |
òx ×arctg2xdx ; |
б) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
- 4x + |
|
|
|||||||||||||||
28 |
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x3 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) |
ò xsin 3xdx ; |
б) |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
- x - 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
29 |
а) |
ò3 |
|
|
x ln xdx ; |
б) |
ò |
|
|
2 x3 - 5 |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
- 6x + 5 |
|
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
59
Вариант |
|
|
|
Интегралы |
|
||||
30 |
3 |
|
|
0 |
|
|
x3 |
− 5 |
|
|
а) ò3 |
|
ln xdx ; |
б) ò |
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
− |
6x + 5 |
|||||
|
2 |
|
|
−2 x |
|
|
Контрольные вопросы
1.Покажите геометрическую интерпретацию формулы трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла.
2.Графически проиллюстрируйте формулу Симпсона и формулу прямоугольников.
3.Какой из методов приближенного вычисления определенного ин- теграла дает наименьшую абсолютную погрешность?
4.Какой из методов приближенного вычисления определенного ин- теграла дает наибольшую абсолютную погрешность?
5.Каким образом определяется задача численного интегрирования функции?
6.Влияет ли длина частичного интервала h на получаемое значение интеграла?
7.Запишите формулу прямоугольников, формулу трапеций и фор-
мулу Симпсона.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
60
Приложение
Некоторые сообщения об ошибках периода компиляции
№ |
Сообщение |
|
Комментарий |
|
|
1 |
Out of memory |
|
Выход за границы памяти |
|
|
2 |
Identifier expected |
|
Ожидается идентификатор |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
Unknown identifier |
Неопределенный идентификатор |
|
||
|
|
|
|||
4 |
Duplicate identifier |
Повторное описание идентификатора |
|||
|
|
|
|
||
5 |
Syntax error |
|
Ошибка в синтаксисе (обнаружен недопус- |
||
|
|
|
|
тимый символ) |
|
|
|
|
|
||
6 |
Error in real constant |
Ошибка в вещественной константе |
|
||
|
|
|
|
|
|
7 |
Error in integer |
con- |
Ошибка в целой константе |
|
|
|
stant |
|
|
|
|
8 |
String constant exceeds |
Строковая константа превышает |
допусти- |
||
|
line |
|
|
мые размеры |
|
|
|
|
|
||
10 |
Unexpected end of file |
Не найден конец файла |
|
||
|
|
|
|
|
|
11 |
Line too long |
|
Слишком длинная строка |
|
|
|
|
|
|
||
12 |
type identifier expected |
Не указан тип идентификатора |
|
||
|
|
|
|
|
|
14 |
Invalid file name |
|
Неверное имя файла |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
File not found |
|
Файл не найден |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
Disk full |
|
Диск заполнен |
|
|
|
|
|
|
||
20 |
Variable identifier |
ex- |
Не указан идентификатор переменной |
||
|
pected |
|
|
|
|
21 |
Error in type |
|
Ошибка объявления типа |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
Structure too large |
|
Структура слишком велика |
|
|
|
|
|
|||
23 |
Set base out of range |
Базовый тип множества выходит за допус- |
|||
|
|
|
|
тимые границы |
|
|
|
|
|
||
24 |
File components |
may |
Компонентами файла не могут быть файлы |
||
|
not be files |
|
|
|
|
25 |
Invalid string length |
Неверная длина строки |
|
||
26 |
type mismatch |
|
Несоответствие типов |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
Invalid |
subrange |
base |
Неверный базовый тип для типа диапазон |
|
|
type |
|
|
|
|
28 |
Lower |
bound greater |
Нижняя граница описания типа |
диапазон |
|
|
than upper bound |
|
больше верхней |
|
|
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
61 |
|
|
|
|
Продолжение прил. |
№ |
Сообщение |
|
Комментарий |
|
29 |
Ordinal type expected |
Необходим порядковый тип |
||
|
|
|
|
|
30 |
integer |
constant |
ex- |
Необходима целая константа |
|
pected |
|
|
|
31 |
Constant expected |
|
Необходима константа |
|
|
|
|
||
32 |
integer or real constant |
Необходима целая или вещественная |
||
|
expected |
|
константа |
|
|
|
|
||
33 |
type identifier expected |
Необходим идентификатор типа |
||
|
|
|
|
|
34 |
Invalid |
function result |
Неверный тип результата функции |
|
|
type |
|
|
|
35 |
Label |
identifier |
ex- |
Необходим идентификатор метки |
|
pected |
|
|
|
36 |
BEGIN expected |
|
Необходим BEGIN |
|
|
|
|
|
|
37 |
END expected |
|
Необходим END |
|
|
|
|
|
|
38 |
integer |
expression |
ex- |
Необходимо выражение целого типа |
|
pected |
|
|
|
39 |
Ordinal |
expression |
Необходимо выражение порядкового типа |
|
|
expected |
|
|
|
40 |
boolean |
expression |
Необходимо выражение логического типа |
|
|
expected |
|
|
|
41 |
Operand types do not |
Типы операторов не соответствуют опера- |
||
|
match operator |
|
ции |
|
|
|
|
|
|
42 |
Error in expression |
|
Ошибка в выражении |
|
|
|
|
|
|
43 |
Illegal assigment |
|
Неверное присваивание |
|
|
|
|
|
|
44 |
Field |
identifier |
ex- |
Необходим идентификатор поля |
|
pected |
|
|
|
50 |
DO expected |
|
Необходим DO |
|
|
|
|
|
|
54 |
OF expected |
|
Необходим OF |
|
|
|
|
|
|
57 |
THEN expected |
|
Необходим THEN |
|
|
|
|
||
58 |
TO or DOWNTO ex- |
Необходимы ТО или DOWNTO |
||
|
pected |
|
|
|
59 |
Undefined forward |
|
Неопределенное опережающее описание |
|
|
|
|
||
60 |
Too many procedures |
Слишком много процедур |
||
|
|
|
|
|
61 |
Invalid typecast |
|
Неверное преобразование типа |
|
|
|
|
|
|
62 |
Division by zero |
|
Деление на ноль |
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
Продолжение прил. |
№ |
Сообщение |
|
Комментарий |
||
63 |
Invalid file type |
|
Неверный файловый тип |
||
|
|
|
|
||
64 |
Cannot |
read or write |
Невозможно считать или записать перемен- |
||
|
variables of this type |
ные этого типа |
|||
|
|
|
|
|
|
65 |
Pointer |
variable |
ex- |
Необходима переменная-указатель |
|
|
pected |
|
|
|
|
66 |
String |
variable |
ex- |
Необходима строковая переменная |
|
|
pected |
|
|
|
|
67 |
String |
expression |
ex- |
Необходимо выражение строкового типа |
|
|
pected |
|
|
|
|
74 |
Constant |
and |
case |
Тип констант и тип выражения оператора |
|
|
types do not match |
|
CASE не соответствуют друг другу |
||
|
|
|
|
|
|
75 |
Record |
variable |
ex- |
Необходима переменная-запись |
|
|
pected |
|
|
|
|
76 |
Constant out of range |
Константа выходит за допустимые границы |
|||
|
|
|
|||
77 |
File variable expected |
Необходима файловая переменная |
|||
|
|
|
|
|
|
78 |
Pointer |
expression |
ex- |
Необходимо выражение ссылочного типа |
|
|
pected |
|
|
|
|
79 |
integer or real expres- |
Необходимо выражение целого или вещест- |
|||
|
sion expected |
|
венного типа |
||
80 |
Label not |
within |
cur- |
Метка не находится внутри данного блока |
|
|
rent block |
|
|
|
|
81 |
Label already defined |
Повторное определение метки |
|||
|
|
|
|
||
85 |
«;» expected |
|
Необходима «;» |
||
|
|
|
|
||
86 |
«> expected |
|
Необходимо «:» |
||
|
|
|
|
||
87 |
«,» expected |
|
Необходима «,» |
||
|
|
|
|
||
88 |
«(» expected • |
|
Необходима «(» |
||
|
|
|
|
||
89 |
«)» expected |
|
Необходима «)» |
||
|
|
|
|
||
90 |
«=» expected |
|
Необходимо «=» |
||
|
|
|
|
||
91 |
«:=» expected |
|
Необходимо «:=» |
||
|
|
|
|
||
92 |
«[» expected |
|
Необходима «[» |
||
|
|
|
|
||
93 |
«]» expected |
|
Необходима «]» |
||
|
|
|
|
||
94 |
«.» expected |
|
Необходима «.» |
||
|
|
|
|
||
95 |
«..» expected |
|
Необходимо «..» |
||
|
|
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com