книги / Методические указания к проведению практических занятий по разделу математическая статистика дисциплины Основы системного анализа и математической статистики

11

2. Вычисление точечных оценок параметров распределения Генеральной средней/выборочной средней x называется среднее арифметическое значение признака генеральной /выборочной

совокупности.

x x1 x2 ... xk n

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Генеральной выборочной дисперсией D называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной/выборочной совокупности от их среднего значения.

n

(xi x)2

D i 1

n

Генеральным выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из генеральной/ выборочной дисперсии.

D

Вычисление дисперсии, выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу:

D x2 (x)2

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой.

S 2 n n 1DB

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение

S S2

12

Пример 4.

Используя условие примера 1, найти числовые характеристики интервального вариационного ряда.

Решение:

За хi примем середины частичных интервалов. Находим

выборочное среднее: xB 1 k xi ni n i 1

x B 2001 (6,68 2 6,7 15 6,72 17 6,74 44 6,76 52 6,78 44

6,8 14 6,82 11 6,84 1) 6,7578

Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой

D x 2В (x B )2

x2В 2001 (6,682 2 6,72 15 6,722 17 6,742 44 6,762 52 6,782 446,82 14 6,822 11 6,842 1) 45,6688

Тогда выборочная дисперсия равна

DB 45,6688 (6,7578)2 0,001

Выборочное среднее квадратическое отклонение: 0,001 0,032

В качестве описательных характеристик вариационного ряда или полученного из него статистического распределения выборки используется медиана и мода.

Модой вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту.

Медианой непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством

P X M e (X ) P X M e (X ) .

13

Пример 5.

Найти моду и медиану вариационного ряда.

						Таблица 4
хi	2	4	5	8	10		12
ni	2	7	4	6	5		2

Решение:

Мода Мо* 4, медиана Мо* 5 28 6,5 (так как 2+7+4 = 6+5+2).

3. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Точечная оценка неизвестного параметра не позволяет непосредственно ответить на вопрос, какую ошибку мы совершаем, принимая вместо точного значения параметра его приближенное значение (оценку). Чтобы дать представление о точности и надежности оценки, в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки называют вероятность , с которой выполняется неравенство ~ .

Уровнем значимости называется величина	1 .
Доверительным интервалом называется	интервал ; ,

который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью . Интервальной называется оценка параметра распределения, которая

определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

14

Построение доверительных интервалов

для параметров нормального распределения

Выборка Х извлечена из нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами a и : N (a; ). Необходимо построить доверительные интервалы для параметров распределения при заданной надежности .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания a при известном значении

P x

t

a x t

2 t .

n

n

Число t определяется

из

равенства

t

по таблицам значений

2

функции Лапласа.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания a при неизвестном значении

По наблюдениям находят точечные оценки x и S математического ожидания μ и дисперсии σ .

	Р(		t	s	a		t	s	)
		x				x
				n				n

Число t - значение функции распределения Стьюдента (t-распределения) ,

	степеням свободы	и надежности .
соответствующее	Доверительный интервалk n	1для оценки	γ

среднего квадратического отклонения

Р(max 0;s 1 q s 1 q )

где q – значение функции распределения Пирсона ( 2-распределения),

соответствующее степеням свободы				и надежности .			.
Приэтомточностьоценкисреднего	квадратичногоотклоненияравна:					γ
		k	n 1		δ
						Sq

15

Интервальная оценка вероятности события

При рассмотрении точечных оценок было показано, что "хорошей" оценкой вероятности события является частость w = m / n, где m – число испытаний, в которых произошло событие А, а n – общее число независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью q = 1 – р (т.е. последовательность испытаний Бернулли).

Построение доверительного интервала для вероятности в этом случае (при больших значениях n 100) осуществляется по формуле:

P w t w 1n w p w t w 1n w 2 t ,

где t – значение стандартной нормальной величины, соответствующее надежности Ф t γ/2, а Ф t – функция Лапласа

Пример 6.

Произведено 5 независимых испытаний. С. в. Х ~ N (a; 20). Результаты наблюдений: х1 25, х2 34,х3 20,х4 10,х5 21. Найти оценку для математического ожидания а и построить для него 95% доверительный интервал.

Решение:

Находим x 1n ( 25 34 20 10 21) 4.

По условию 0,95 , следовательно Ф(t) 2 0,295 0,475.

По таблице значений функции Лапласа находим t t 1,96.

Тогда 1,96 20 17,5.

5

Доверительный интервал имеет вид: (4 17,5; 4 17,5) или ( 13,5; 21,5).

16

Пример 7.

По условию примера 6, считая, что случайная величина X ~ N (а, ), построить доверительный интервал для неизвестного с надежностью.

0,95 .

Решение:

Воспользуемся результатом примера 6: x 4. Находим значение:

2 14 (( 25 4)2 (34 4)2 ( 20 4)2 (10 4)2 (21 4)2 660,5

	2	25,7 .
Для	0,95			и (n 1) 4	по таблице находим t	2,78. Следовательно
2,78		25,7		31,9.
		2,24

Доверительный интервал: ( 27,9; 35,9)

Пример 8.

Измерения твердости 16 образцов легированной стали (в условных единицах) дали следующие результаты:

						Таблица 5
13,1	12,8	11,9	12,4	13,5	13,7	12,0	13,8
10,6	12,4	13,5	11,7	13,9	11,5	12,5	11,9
В предположении,		что выборка измерений получена из нормально

распределенной генеральной совокупности, найти доверительные интервалы для среднего и дисперсии при доверительной вероятности 0,95.

Решение:

Математическое ожидание а неизвестно, по выборке найдем

		1	16	201,2
х			хi	16	12,58	,
		16 i 1

17

			1	n
		S		(хi х)2				0,91 0,95.
			15 i 1
По таблице распределения Стьюдента для k 16 1 15									и	0,95
находим t	t0,95	2,13.

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

						2,13	0,95	; 12,58 2,13					0,95		,
				12,58			16
													16
						(12,08; 13,09).
	По таблице распределения k2							для		k 16 1 15 ,						0,95 находим
квантили
2	2			2	6,26		и	2		2			2			25,0.
1	1 0,95			0.975,15				2 1 0.95					0.05,15
			,16	1								,16 1
	2									2
Доверительный интервал для неизвестного имеет вид:
						16 1 0,95				16 1 0,95
									;					,
							25,0			6,26
							0,74; 1,47 .

Пример 9

Найти минимальный объем выборки, на основании которой можно было бы оценить математическое ожидание времени исполнения некоторой технической операции с ошибкой, не превышающей 10с и надежностью 0,95, если предположить, что время исполнения этой операции имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 50.

Решение:

Погрешность оценки математического ожидания при известной дисперсии выражается формулой:

n U 2

					2U 2
По условию ε ≤ 10. Поэтому			10,	откуда n	2
		U 2
	n				100

18

По таблицам функции Лапласа при доверительной вероятности 1 0,95 находим квантиль U 2 U0,25 1,96.

Тогда n ≥ 96 и nmin = 9.

4. Методы статистической проверки гипотез.

Критерии согласия Стьюдента, Фишера, Пирсона, Колмогорова

Статистическая гипотеза называется параметрической, если предположения касаются значений параметров распределения, и – непараметрической, если содержит предположения о виде закона распределения.

4.1. Т - критерий Стьюдента для несвязных выборок

Т-критерий Стьюдента					направлен	на оценку различий величин
средних		и		двух выборок	X и Y ,	которые распределены по
	X		Y

нормальному закону. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

В общем случае формула для расчета наблюдаемого значения критерия tэмп по t - критерию Стьюдента для несвязных выборок такова:

	tэмп		X		Y		,
			Sd

где Sd

Sx2 S y2

Для равночисленных выборок с объемами n n1 n2 выражение для Sd имеет вид:

				(xi		)2 (yi		)2
Sd	2	2			X		Y		.
	Sx	S y			(n 1) n

Для неравночисленных выборок n1 n2 , выражение будет вычисляться следующим образом:

19

(xi

)2

(yi

)2

(n1 n2 )

2

2

X

Y

Sd

S x

S y

(n1

n2

2)

(n1

n2 )

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле: k (n1 1) (n2 1) n1 n2 2

Пример 10.

Представлены результаты измерения времени сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в группе X , состоящей из 9 спортсменов высокой квалификации и в группе Y , состоящей из 8 человек, активно не занимающихся спортом. С помощью t - критерия Стьюдента проверить гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде таблицы 6, в которой произведем ряд необходимых расчетов.

													Таблица 6
		группы		отклонение от							квадраты
	№			среднего						отклонений
		X	Y	xi	X		yi	Y		(xi	X	)2	(yi	Y	)2
	1	504	580	-22			-58			484			3364
	2	560	692	34			54			1156			2916
	3	420	700	-106			62			11236			3844
	4	600	621	74			-17			5476			289
	5	580	640	54			2			2916			4
	6	530	561	4			-77			16			5929
	7	490	680	-36			42			1296			1764
	8	580	630	54			-8			2916			64
	9	470	-	-56			-			3136			-
		4734	5104	0			-17			28632			18174
	среднее	526	638

20

Решение:

Среднее арифметическое в экспериментальной группе X 47349 526.

Среднее арифметическое в контрольной группе Y 51048 638.

Разница по абсолютной величине между средними

X Y 526 638 112.

Подсчет выражения дает Sd								(28632			18174)		(9 8)		736,76 27,14.
										(9	8 2)		(9 8)
								112
Следовательно tэмп		X		Y						4,13.
		Sd						27,14

Число степеней свободы k 9 8 2 15. Для данного числа степеней свободы и 0,001находимtкр 4,07.

Таким образом, при 0,001, средняя скорость сложной

сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно

выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом делаем

вывод: на 0,1% уровне значимости принимается гипотеза о различии

между группами.

4.2Т - критерий Стьюдента для связных выборок.

Вслучае связных выборок с равным числом измерений в каждой

можно использовать более простую формулу t - критерия Стьюдента:

tэмп

d

di

(xi yi )

, где d

Sd

n

n

di xi

yi разности между соответствующими значениями

переменной X и переменной Y , а

среднее этих разностей.

d