книги / Пределы последовательностей и функций
..pdfВариант 3
1. Вычислить предел последовательности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(n + 4)!− (n + 2)! . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
(n + 3)! |
||
2. Доказать по определению предела: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( x +1) = 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 4 |
3. Вычислить пределы функций: |
||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
( |
|
x2 + x − x) |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
x3 − 2x2 + x −12 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ |
|
3 x3 − x2 − 4x − 6 |
|
||||||||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
3x2 − 40x +128 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) lim |
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x − 3 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
10x − 3 5 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
д) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
10x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
е) lim |
|
x4 − 3x2 + 2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
5x4 − 3x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ж) lim |
1 − cos3x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
з) |
|
|
|
|
3 |
|
|
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
1 |
− x |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
x→ |
1 |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
3 |
− cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Указать характер точек разрыва функции:
31
y = 3x + 4 −1 .
2x2 − 5x − 7
Вариант 4
1. Вычислить предел последовательности:
|
n +1 |
2n |
|
lim |
|
. |
|
|
|||
n→∞ |
n − 2 |
|
2. Доказать по определению предела:
lim |
4x −1 |
= |
4 |
. |
3x + 2 |
|
|||
x→∞ |
3 |
|
3. Вычислить пределы функций:
а) lim |
2x2 − x −1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
1 3x2 + x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
x3 − 4x2 + 6 |
|
; |
|
|||||||||||
|
2x3 +10x2 + 5x |
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
x4 −1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
x→ |
1 2x4 − x2 − |
|
|
|
|
|
||||||||||||
г) lim |
arcsin5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
lim |
|
1 − x − 3 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→− |
8 |
|
2 + 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
е) lim |
|
|
|
x −1 − |
|
|
x2 +1 |
; |
|||||||||||
|
|
|
3x |
|
+ 3 + |
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
3 |
3 |
|
4 |
x |
5 |
+1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ж) lim (4x −11) |
5 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x−3 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
x→ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
5 x −1 |
|||||||
з) |
lim |
x + 2x − |
|
|
|
; |
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
x |
+ x − 7 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и) lim |
|
|
|
sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π 2− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
4. Указать характер точек разрыва функции:
x − 4
y = x2 + x − 20 .
Вариант 5
1. Вычислить предел последовательности:
lim |
(n + 2)!− (n +1)! . |
n→∞ |
(n + 3)! |
2. Доказать по определению предела:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (9 + 2x ) = 7 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→− |
1 |
|
3. Вычислить пределы функций: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
lim |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ 1 1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) lim |
( |
x +1 − |
x |
) |
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
lim |
3x2 − 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 8 |
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→ 2 2x3 + 3x2 − |
7x −14 |
|
||||||||||||||||||
д) lim |
(3x − 7)ln |
2x −1 |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 4 |
|
||||||||||
е) |
lim |
5x2 − 51x +10 |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ 10 |
|
|
|
x −10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ж) |
lim |
x3 − 3x2 + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
5x4 + 8x − 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
з) lim |
|
|
|
x + 9 − 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
x2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
33
1
и) lim (2x + 3) x+1 .
x→− 1
4. Указать характер точек разрыва функции:
1
y = 511−x .
Вариант 6
1. Вычислить предел последовательности:
lim |
n − 2 + 3 n3 +1 |
. |
||
|
||||
n→∞ |
n |
2 |
+ n |
|
|
|
|
2. Доказать по определению предела:
lim |
x +1 |
= |
1 |
. |
3x +10 |
|
|||
x→∞ |
3 |
3. Вычислить пределы функций:
а) |
lim |
|
6x5 − 3x2 +1 |
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
3x5 − 2x + 3 |
|
|||||||||||||||
б) |
lim |
2x2 − 5x − 3 |
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ 3 |
x2 − 5x + 6 |
|
|||||||||||||||
в) |
lim |
tg 3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
tg x |
|
|||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
arctg8x |
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 − 6x + 7 |
1− x |
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
3x + 20x −1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
е) |
lim ( |
x2 + 3x − x) |
; |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
ж) lim ( |
3 − x ) |
|
; |
|
|
|||||||||||||
x−2 |
|
|||||||||||||||||
|
x→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
з) lim |
|
|
x −1 − 2 |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ 5 |
|
2x −1 − 3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
и) lim x4 + x2 + 6x − 8 . |
|
x→ 1 |
x −1 |
4. Указать характер точек разрыва функции:
|
1 |
|
y = arctg |
|
. |
|
||
x + 9 |
|
Вариант 7
1. Вычислить предел последовательности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (2n − 2)!− (2n +1)! . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
(2n )! |
||
2. Доказать по определению предела: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (7x +1) = 1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
3. Вычислить пределы функций: |
|||||||||||||||||||||||||
а) lim |
1 − cos5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 − |
x2 +1 |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
+ 3x |
|
|
+ |
|
x |
|
+ 2x |
|
+1 |
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
7 |
|
4 |
2 |
5 |
7 |
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
lim |
3 |
x − 6 + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→− |
2 |
|
|
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
lim |
3x2 −14x − 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ |
5 |
|
|
|
x2 − 6x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
x +7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
13x −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
е) |
lim |
3x3 + 2x2 + 2x + 3 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→− |
|
1 6x4 + 3x3 − 3x − 6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
ж) lim tg |
π |
− x tg 2x ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→ |
|
π |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
з) lim |
x3 |
− 4x2 |
+ 6 |
; |
|||
3x3 +10x2 |
|
||||||
x→∞ |
|
+ 4x |
|||||
и) lim (5 − 2x ) |
x |
|
|
||||
x−2 |
. |
||||||
x→ |
2 |
|
|
|
|
|
|
4. Указать характер точек разрыва функции:
y = 21 + x − 5 . x2 −16
Вариант 8
1. Вычислить предел последовательности:
lim |
n!+ (n + 2)! |
|
. |
|
(n −1)!+ (n + 2)! |
||||
n→∞ |
|
2. Доказать по определению предела:
lim 5x + 4 = − 5 . |
||
x→∞ |
1 − 3x |
3 |
3. Вычислить пределы функций:
а) |
lim |
|
|
2x2 − 7x + 3 |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ 3 5x2 −16x + 3 |
|
|
|||||||||
б) |
lim |
|
|
|
x3 − 4x − 2 |
|
; |
|
||||
|
|
5x3 + 3x2 −1 |
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||
в) lim |
|
sin π |
x |
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ 1 sin 3π x |
|
|
|||||||||
г) lim |
|
5x 2 +8x − 2 |
4 x+1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
5x |
|
+ 3x + 3 |
||||||||
|
|
|
||||||||||
д) lim |
1 − cos2x |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
x sin x |
|
|
|||||
е) |
lim |
|
|
x 5 x − 3 27x6 + x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→∞ |
|
|
|
(x + 4 x ) 9 + x2 |
36
ж) lim |
7x5 − 2x3 − x2 |
− 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
x |
→ 1 2x4 − x3 + 4x2 − |
8x + 4 |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
з) lim (7 − 2x ) |
|
|
|
|
|
|
|||
x−3 |
; |
|
|
|
|||||
x→ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и) lim |
2x + 3 − |
3 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
x→ |
3 |
|
x − 2 −1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Указать характер точек разрыва функции:
y = x + x + 3 . x + 3
Вариант 9
1. Вычислить предел последовательности:
|
|
2n +1 |
2n+3 |
. |
||
lim |
|
|
|
|||
2n −1 |
||||||
n→∞ |
|
|
|
2. Доказать по определению предела:
lim ( x − 5) = 3 .
x→ 8
3. Вычислить пределы функций:
а) lim |
( x +1)3 + ( x −1)3 |
|
|
||||||
; |
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
x3 +1 |
|
|
||||
б) |
lim |
(x − x2 + 5x ); |
|
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
x3 + 9x2 + 27x + 27 |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
6 |
||||
|
x→− 3 x4 + 2x3 + x2 +10x − |
|
|||||||
г) lim |
tgx − sin x |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
x→ 0 |
|
x3 |
|
|
||||
д) lim |
(3x + 2)ln |
2x +1 |
; |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
2x − 7 |
|
|
37
е) lim |
1 − |
2x +1 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
lim (2x + 3) |
4 x−2 |
|
|
||||||||
ж) |
x+1 |
|
; |
|||||||||
|
x→− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
з) |
lim |
|
cos x |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ |
π |
|
π − |
2x |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) |
lim |
3x2 + 5x − 2 |
. |
|||||||||
|
||||||||||||
|
x→− |
2 2x2 + 3x − 2 |
4. Указать характер точек разрыва функции:
y = arctg |
|
1 |
. |
|
|
||
3 |
− x |
Вариант 10
1. Вычислить предел последовательности:
lim |
(n +1)!+ (n + 2)! . |
n→∞ |
(n −1)!+ (n + 2)! |
2. Доказать по определению предела:
lim 1 − 5x = − 5 . |
||
x→∞ |
6x − 2 |
6 |
3. Вычислить пределы функций:
а) |
lim |
|
|
x4 − 7x2 − 2x −12 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→ |
3 |
|
|
5x3 −11x2 − 36 |
||||
б) lim |
x2 + 5x +1 |
; |
|||||||
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
−2x2 − 3x |
||||
в) lim |
|
arctg5x |
; |
|
|||||
|
|
||||||||
|
x→ |
0 |
|
arcsin 4x |
|||||
г) |
lim |
|
2x + 3 −1 |
; |
|||||
|
|
||||||||
|
x→− |
1 |
|
5 + x − 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
38
д) lim |
2x −1 |
x / 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
+ 4 |
|
|||||||||||
|
x→∞ |
5x |
|
|
|
|
||||||||
е) lim |
|
|
|
3x4 − 2 |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
x |
|
+ 3x + |
4 |
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ж) |
lim |
tg π x |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→− |
2 x + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim (3 − 2x ) |
4 |
|
|
|
|
||||||||
з) |
x−1 |
|
; |
|
|
|||||||||
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) |
lim |
x3 − 8 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 2 2x − 4 |
|
|
|
|
|
4. Указать характер точек разрыва функции:
1
y = e x+5 .
Вариант 11
1. Вычислить предел последовательности:
lim |
(n −1)!+ (n + 2)! . |
n→∞ |
(n +1)! |
2. Доказать по определению предела:
lim ( x − 5) = 1 .
x→ 6
3. Вычислить пределы функций:
|
lim (2 − x ) |
4 x+5 |
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
x−1 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
x + 3 − |
|
x2 − 3 |
; |
||||||||
|
|
x |
|
− 4 − |
|
|
||||||||
|
x→∞ |
3 |
5 |
4 |
x |
4 |
+1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
lim |
|
x2 + 3 + 2x |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→− |
1 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
39
|
|
|
sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
x2 |
|||||||
|
|
|
1 − sin |
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
д) |
lim |
|
|
2 |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
π − x |
|||||||
е) |
lim |
4x2 − 8x + 3 |
; |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
0,5 2x2 − 7x + 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3x − 2 2 x |
||||||||
ж) lim |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
3x +1 |
з) lim |
|
x2 − x − 2 |
|
|
|
; |
|
|
|
||
x→ 2 x3 |
− 4x2 + 6x − 4 |
и) lim (3x − 4)( x +1) . |
|
x→∞ |
x3 + x2 + 2 |
4. Указать характер точек разрыва функции:
y = 20 + x − 5 . x2 − 25
Вариант 12
1. Вычислить предел последовательности:
lim 1 + 2 + ... + n . |
|
n→∞ |
n − n2 + 3 |
2. Доказать по определению предела:
lim |
6x − 3 |
= 3 . |
|
||
x→∞ |
2x + 3 |
3. Вычислить пределы функций:
|
|
6x − 7 |
3x−6 |
|
|||
а) lim |
|
|
; |
|
|
||
6x + 5 |
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
||
б) lim |
x3 + x2 − x −1 |
|
; |
||||
|
|||||||
x→− |
1 x3 + x2 + x +1 |
|
40