книги / Математика. Дифференциальные уравнения
.pdfгде α = 0 , β = 2 . Поскольку числа ±2i не являются корнями харак-
теристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y* = Acos 2x + Bsin 2x (замечание 3, п.3, §3).
Дважды дифференцируем:
y′= −2Asin 2x + 2B cos 2x ,
y′′= −4Acos 2x −4Bsin 2x
и подставляем в уравнение:
−4Acos 2x −4Bsin 2x −8Asin 2x +8B cos 2x + +13Acos 2x +13Bsin 2x =5sin 2x.
Приравнивая друг другу коэффициенты при |
sin 2x и cos 2x |
||||||||||||
в обеих частях равенства, получим: |
|
|
|
|
|||||||||
|
sin 2x : −4B −8A +13B =5 |
|
−8A +9B =5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
9A +8B = |
. |
|||
|
cos 2x : −4A +8B +13A = 0 |
|
0 |
||||||||||
Отсюда |
A = − |
8 |
|
, |
B = |
9 |
, т.е. частным решением будет функ- |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
29 |
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
||
ция y* = − |
8 |
cos 2x + |
9 |
sin 2x , а общим |
|
|
|
|
|||||
|
29 |
|
|
|
|
||||||||
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = e−2x (C1 cos3x +C2 sin 3x) − |
8 |
cos 2x + |
9 |
sin 2x . |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
29 |
|
29 |
|
Задача 4. Найти решение уравнения( коэффициенты не определять)
y′′−2 y′+ 2 y = ex (5x cos x − x2 sin x) .
Решение
Характеристическое уравнение
k2 −2k + 2 = 0
51
имеет корни k1,2 =1±i . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = ex (C1 cos x +C2 sin x) .
Правая часть уравнения есть функция вида (2.28)
f (x) = ex (5xcos x − x2 sin x), где α =1, β =1 .
Поскольку числа 1±i являются корнями характеристического уравнения, причем, учитывая замечание 1 пункта 3, §3, заключаем, что кратность корня λ =1. Многочлен P(x) =5x – первой степени,
Q(x) = −x2 – второй, следовательно, в решении при cos x и sin x
будут многочлены второй степени с неопределенными коэффициентами (формула 2.29):
y* = ex (Ax2 + Bx +C )cos x +(Dx2 + Ex + F )sin x x .
Общее решение уравнения:
y= y + y* = ex (C1 cos x +C2 sin x) +
+ex (Ax2 + Bx +C )cos x +(Dx2 + Ex + F )sin x x.
Задача 5. Найти общее решение уравнения
y′′− y′= 4ex − x + 2 .
Решение
Характеристическое уравнение
k2 −k = 0
имеет корни k1 =1 , k2 = 0 , поэтому общее решение соответствую-
щего однородного уравнения на основании формулы (2.15) запишется следующим образом:
y =C1ex +C2 .
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения рассмотрим два вспомогательных уравнения:
52
y′′− y′= 4ex , |
(*) |
y′′− y′= −x + 2, |
(**) |
и находим для каждого из них частные решения y * |
и y *. |
1 |
2 |
Частное решение уравнения (*) ищем в виде |
y * = Aex x , так |
|
1 |
как коэффициент α =1 совпадает с одним из корней характеристи-
ческого уравнении. |
Дифференцируя |
|
y * и |
подставляя в уравне- |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ние (*), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
y1*′ = Aex x + Aex = Aex (x +1) , |
||||||||
*′′ |
|
x |
(x +1) +e |
x |
|
= Ae |
x |
(x + 2) , |
y1 |
= A e |
|
|
|
|
Aex ( x + 2) − Aex (x +1) = 4ex .
Сокращая обе части равенства на множитель ex ≠ 0 и приводя подобные члены, получим:
A = 4 и, следовательно,
y1* = 4ex x .
Частное решение уравнения (**) ищем в виде y2* =(Bx +C ) x ,
так как f2 (x) =(−x + 2)e0 x и коэффициент α = 0 совпадает с корнем характеристического уравнения.
Поскольку y2*′ = 2Bx +C, y2*′′ = 2B, то, подставляя y*′ и y*′′
в уравнение (**), находим: |
2B −2Bx −C = −x + 2. |
||
|
|
1 |
|
|
|
x : −2B = −1, |
|
|
|
x0 |
|
|
|
: 2B −C = 2. |
|
|
|
|
|
Следовательно, B = |
1 |
, C = −1. |
|
|
2 |
|
|
53
|
Таким образом, y2* = 1 x −1 |
x = |
x2 |
− x . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
На основании (п. 4 §3 гл. II) частное решение данного урав- |
|||||||||||||||||
нения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y* = y * + y * |
= 4ex x + |
x2 |
− x . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Общее решение этого уравнения запишется в виде |
|
|
|||||||||||||||
|
y = |
|
+ y* =C ex +C |
|
+ 4ex |
x + |
x2 |
− x. |
|
|
||||||||
|
y |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
§4. Метод вариации произвольных постоянных |
|
||||||||||||||||
|
Изложим теперь метод, позволяющий отыскивать решение линей- |
|||||||||||||||||
ного |
неоднородного уравнения |
a0 (x) y′′+ a1 ( x) y′+ a2 (x) y = f (x) , |
||||||||||||||||
где |
f ( x) – любая функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
|
Определения и замечания |
|||||||||
1. a0 (x) y′′+a1 (x) y′+a2 (x) y = |
f (x) |
(2.34) |
Линейное неоднородное диф- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ференциальное уравнение вто- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рого |
|
порядка, |
где |
a0 (x) , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 (x) , a2 (x) , |
f (x) – |
задан- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные непрерывные на (а; b) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, причем a0 (x) ≠ 0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для любого |
x (a;b) , |
f (x) – |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любая функция. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод вариации постоянных в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равной мере применим как к |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнениям |
с |
постоянными |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициентами, так и к |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнениям, в которых коэф- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фициенты а0, а1, а2 являются |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функциями от х. |
|
|
||||||
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||
2. |
a0 (x) y′′+a1 (x) y′+a2 (x) y = 0 |
(2.35) |
Однородное уравнение, |
соот- |
|||||
|
|
|
|
|
ветствующее уравнению (2.34). |
||||
|
|
= C1 y1 +C2 y2 |
(2.36) |
Общее |
решение |
уравнения |
|||
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
(2.35), где |
y1 и y2 |
– линейно |
||
|
|
|
|
|
независимы, а C1 и C2 – кон- |
||||
|
|
|
|
|
станты. |
|
|
|
|
3. |
y = C1 (x) y1 +C2 (x) y2 |
(2.37) |
Следует запомнить: |
|
|||||
|
|
|
|
|
общее |
|
решение |
уравне- |
|
|
|
|
|
|
ния(2.34) будем искать в виде |
||||
|
|
|
|
|
(2.37), где C1 (x) и C2 (x) – |
||||
|
|
|
|
|
неизвестные функции, подле- |
||||
|
|
|
|
|
жащие |
|
определению, |
а |
|
|
|
|
|
|
y1 = y1 (x) и y2 = y2 ( x) – из- |
||||
|
|
|
|
|
вестные частные решения од- |
||||
|
|
|
|
|
нородного уравнения (2.35). |
||||
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
||
|
|
|
|
|
Поскольку определению |
под- |
|||
|
|
|
|
|
лежат |
две |
функции C1 (x) и |
||
|
|
|
|
|
C2 (x) , то одним соотношени- |
||||
|
|
|
|
|
ем между ними можем распо- |
||||
|
|
|
|
|
рядиться произвольным обра- |
||||
|
|
|
|
|
зом. |
|
|
|
|
4. |
y′ = C1′( x) y1 +C1 (x) y1′ + |
(2.38) |
Следует запомнить: |
под- |
|||||
|
|
|
|
|
наиболее |
целесообразно |
|||
+C2′(x) y2 +C2 (x) y2′ |
|
чинить C1 (x) и C2 (x) такому |
|||||||
C1′(x) y1 +C2′(x) y2 = 0 |
(2.39) |
условию, |
чтобы |
выражение |
|||||
|
|
|
|
|
для y′ |
имело тот |
же самый |
||
|
y′ = C1 (x) y1′ +C2 (x) y2′ |
(2.40) |
вид, что и функция |
y (форму- |
|||||
|
|
|
|
|
ла (2.37)). Тогда получим ра- |
||||
|
|
|
|
|
венство (2.40). |
|
|
55
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
|||||||||||||||||
5. |
y′′ = C1′(x) y1′ +C1 (x) y1′′+ |
|
|
(2.41) |
Следует запомнить: |
|
|
|||||||||||||||
+ C2′ (x) y2′ +C2 (x) y2′′ |
|
|
|
|
|
|
если |
y, y′, |
|
y′′ |
подставить в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
левую часть уравнения (2.34), |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|||||||||||
C1′(x) y1′ +C2′ (x) y2′ = |
|
|
|
(2.42) |
получим второе условие (2.42) |
|||||||||||||||||
a0 (x) |
|
|
для |
определения |
C1 ( x) |
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 (x) . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
C1′(x) y1 +C2′ |
(x) y2 |
= 0 |
|
|
|
|
Для |
определения |
функций |
||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
( x) |
(2.43) |
C1 (x) |
и C2 (x) |
получена сис- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C1′(x) y1′ +C2′ |
(x) y2′ |
= |
|
|
|
|
|
тема |
(2.43), в которую вошли |
||||||||||||
|
a0 |
(x) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условия (2.39) и (2.42). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.44) |
∆ – |
главный |
определитель |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
∆ = |
1 |
|
2 |
≠ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
системы (2.43). |
|
|
|
|||||
|
|
y1′ |
y2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
y2 |
|
=W ( x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ = |
|
|
есть |
оп- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ′ |
y ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределитель Вронского. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ ≠ 0 , |
так |
|
как |
y1 = y1 (x) |
и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = y2 (x) |
|
по |
условию |
ли- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нейно независимы (замечание, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п.5, §1, гл. II). |
|
|
|
|||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из системы (2.43) определяем |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1′(x) |
и C2′ (x), а затем ин- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тегрированием и сами функ- |
||||||||
C1 (x) = ∫C1′(x)dx +C1 |
|
|
|
|
|
|
ции C1 ( x) и C2 (x) . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(2.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C2 (x) = ∫C2′ (x)dx +C2 |
|
|
|
|
|
(2.46) |
Замечание |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (2.45) и (2.46) в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулу (2.37), мы сразу по- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучим общее решение неодно- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
родного уравнения (2.34). |
|
|||||||
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи
Задача 1. Решить уравнение
y′′+ y = tg x .
Решение
Здесь найти частное решение по виду правой части нельзя. Поэтому для нахождения общего решения уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.
Однородному уравнению
y′′+ y = 0
соответствует характеристическое уравнение
k2 +1 = 0 .
Его корни k1,2 = ±i. Поэтому y1 = cos x и y2 =sin x. Запишем решение однородного уравнения в виде (2.23):
y =C1 cos x +C2 sin x.
Будем искать общее решение данного уравнения в виде (2.37):
y =C1 (x)cos x +C2 (x)sin x. |
(*) |
Найдем первую производную: |
|
y′=C1′(x)cos x −C1 ( x)sin x +C2′ (x)sin x +C2 (x)cos x. |
|
Выберем y′ в том же виде, что и функция |
y(*), тогда сумма |
остальных слагаемых равна нулю, |
|
C1′(x)cos x +C2′ (x)sin x = 0. |
(2.47) |
Следовательно,
y′= −C1 ( x)sin x +C2 ( x)cos x .
57
Найдем вторую производную:
y′′= −C1′(x)sin x −C1 (x)cos x +C2′ (x)cos x −C2 (x)sin x.
Подставляя выражение для y и y′′ в данное уравнение, полу-
чим: |
|
|
|
−C1′(x)sin x − C1 ( x)cos x +C2′( x)cos x − |
|
||
−C2 ( x)sin x + C1 (x)cos x + C2 (x)sin x = tg x, |
|
||
−C1′(x)sin x +C2′ ( x)cos x = tg x. |
(2.48) |
||
Условия (2.47) и (2.48) объединяем в систему: |
|
||
C′(x)cos x +C′ |
(x)sin x = 0, |
|
|
1 |
2 |
|
|
−C′(x)sin x +C′ (x)cos x = tg x. |
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Систему решаем методом Крамера:
∆ = |
cos x |
sin x |
= cos2 x +sin2 x =1 ≠ 0 , |
|
−sin x |
cos x |
|
система имеет единственное решение
∆C ′ |
= |
|
0 |
sin x |
|
= −sin2 x |
, |
||||
|
|
||||||||||
1 |
|
tg x |
cos x |
|
|
|
cos x |
|
|||
∆C2′ = |
|
cos x |
0 |
|
=sin x . |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
−sin x |
tg x |
|
|
|
Тогда C1′(x) = |
∆C |
′ |
sin2 x |
|
C2′(x) = |
∆C ′ |
|
|
|
|||
|
1 |
= − |
|
|
, |
2 |
|
=sin x |
|||||
|
|
cos x |
∆ |
|
|||||||||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Интегрирование дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x) = −∫ sin2 xdx = |
∫ cos x − |
|
1 |
|
dx =sin x |
|
||||||
C1 |
|
|
−ln |
tg |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
.
x |
+ |
π |
|
|
+C1 , |
|
|
||||||
2 |
4 |
|||||
|
|
|
|
58
C2 ( x) = ∫sin xdx = −cos x +C2 ,
где C1 , C2 – постоянные.
Теперь запишем общее решение данного уравнения:
y = |
sin x −ln |
|
tg |
x |
+ |
π |
|
+C |
cos x +(−cos x +C |
|
)sin x = |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
=C1 cos x +C2 sin x −cos x ln |
|
x |
+ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
tg |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
59
Глава III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§1. Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью соответствующей подстановки данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже.
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||
1. |
y′′ = f (x) |
(3.1) |
Дифференциальное уравнение вто- |
||
|
|
|
рого порядка. Правая часть не со- |
||
|
|
|
держит |
y и y′, |
т.е. правая часть |
|
|
|
f (x) зависит только от x. |
||
|
|
|
|
||
2. |
y′ = ∫ f (x)dx +C1 |
(3.2) |
Следует запомнить: |
||
y = ∫ ∫ f (x)dx dx +C1x +C2 – |
|
если правая часть уравнения зависит |
|||
(3.3) |
только от x, общее решение (3.3) |
||||
общее решение уравнения. |
|
находим непосредственным интег- |
|||
|
рированием дважды. |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
C1 и C2 – произвольные постоян- |
||
|
|
|
ные. |
|
|
3. |
y(n) = f (x) |
(3.4) |
Дифференциальное уравнение n-го |
||
|
|
|
порядка. Правая часть f (x) зави- |
||
|
|
|
сит только от x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ∫ dx∫...∫ f (x)dx + |
(3.5) |
Общее |
решение (3.5) находится |
|
4. |
+C1xn−1 +C2 xn−2 +... +Cn |
|
непосредственным |
интегрировани- |
|
|
|
ем уравнения (3.4) |
последовательно |
||
|
|
|
n раз. |
|
|
60