книги / Неопределенный интеграл
..pdfЗдесь можно было не прибегать к замене переменной,
а заметив, что |
1 dx = d (lnx), |
свести интеграл к табличному |
|||||
(формула II): |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
ln x |
dx = ln xd lnx = ln2 x |
+ C = |
2 |
(ln x)3 + C. |
||
|
3 |
||||||
|
x |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Замечание. Все интегралы примера 2 и задания 2 можно найти методом замены переменной с помощью подстановки t = ϕ(x).
|
|
б) |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(2x + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Этот интеграл был рассмотрен в примере 2, в. Найдем его |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с помощью |
|
|
замены |
|
переменной. |
|
Положим |
t = 2x + 1. |
|
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt = (2x + 1)′ dx = 2dx . Так как dt = 2dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
то dx = |
2dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dt |
|
|
|
|
1 t−3dt = |
|
1 |
t |
−2 |
|
|
|
|||||||
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2x + 1) |
3 |
3 |
|
|
|
−2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
= − |
1 |
+ C = − |
1 |
|
|
|
+ C |
или |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
1 |
(2x + 1)−3 d (2x + 1)= |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4(2x + 1) |
2 |
|
(2x + |
1) |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
1 |
(2x + 1)−2 |
|
|
+ C = − |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 (2x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
в) |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
||||||
|
|
Пусть |
|
|
1+ x = t , |
|
|
|
тогда |
|
|
|
x = t2 − 1;dx = d |
t2 |
|
|
|
= 2tdt . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
( |
t + 1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt =2 dt |
|
− |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
1+ 1+ x |
|
1 |
+ t |
|
|
t + 1 |
|
|
|
t |
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
= 2(t − ln |
|
t + 1 |
|
)+ C = 2( x + 1− ln |
|
x + 1+ 1 |
|
)+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
|
|
г) |
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
2 |
+ a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Обозначим |
|
|
t = |
|
x2 + a2 |
+ x (подстановка Эйлера). |
Тогда |
||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + a2 + x |
|
|
|
|
|
||||||||||
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 dx , т.е. dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ a2 |
|
|
|
|
x2 |
+ a2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Отсюда |
|
|
подынтегральное |
выражение |
dx |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
+ a2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
+ a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ x |
|
|
t |
dx |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Значит |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
t |
|
+ C = ln |
x + x2 + a2 |
+ C. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
t |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что пример 3, г, представляет собой доказательство формулы XIII таблицы интегралов.
д) exdx−1.
Выполним подстановку |
t = ex |
||
x = ln(t + 1). Следовательно, dx = |
|
dt |
|
|
t + 1 |
||
|
|
− 1. Тогда |
ex = t + 1 и |
dx |
dt |
Значит ex − 1 = t (t + 1).
Очевидно, |
что |
1 |
|
1+ t − t |
||||||||
|
|
|
= t (t + 1) |
|||||||||
t (t + 1) |
||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
− |
|
|
dt = ln |
t |
− ln |
t + 1 |
+ C |
||
|
t + 1 |
|||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
, поэтому |
|
dt |
|
|
= t |
− |
|
|
|
= |
||
t + 1 |
t (t + 1) |
= ln t +t 1 + C.
Вернемся к старой переменной: |
dx |
= ln |
ex −1 |
+ C . |
|
ex −1 |
|
ex |
Применение свойств логарифма позволяет записать ответ в виде
|
dx |
= ln |
|
e |
x |
−1 |
|
− x + C. |
|
|
|
||||||||
ex −1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
− x |
|
е) eex +− ee− x dx.
22
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
t = ex + e− x . |
|
Тогда |
dt = (ex − e− x )dx . |
|
Отсюда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
eex +− ee− x dx = dtt = ln |
|
t |
|
+ C = ln(ex + e− x )+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что выражение, стоящее под знаком модуля, явля- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется положительным. Поэтому знак модуля можно опустить. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ex + e− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 1 dt . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
t = ex . Тогда x = lnt |
и |
Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1dt |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e− x |
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
dx |
|
= |
t |
|
= |
dt |
=arctgt +C =arctg(ex )+C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
= t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ex |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ex |
+e− x |
|
|
1 |
t2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
з) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e2x + ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 1dt . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Как и в предыдущем примере, |
положим t = ex , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
t dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
e2x |
+ ex |
t2 + t |
t2 (t + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы найти последний интеграл, в числителе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прибавим и вычтем t2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− t2 + t2 |
|
|
|
|
1− t2 |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = t2 (t + 1) dt = |
|
|
dt + |
|
dt = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t2 (t + 1) |
t2 (t + 1) |
t2 (t + 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
|
t2 |
|
|
dt + |
|
|
|
|
dt |
= |
|
dt − t dt + |
|
|
dt = − t − ln |
|
t |
+ ln |
t + 1 |
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t + 1 |
t2 |
t + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 1 |
|
|
|
Вернемся к переменной х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1= |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− ln |
|
t |
|
+ ln |
|
t + 1 |
|
+ C = ln(ex + 1)− x − e− x + C. |
Здесь |
|
= e− x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
ex |
||||
|
|
|
= ln(ex )= x . Так как ex и, тем более, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
t |
|
ex + 1 положительны, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
знак модуля можно опустить.
23
Задание 3. Найдите неопределенные интегралы с помощью метода замены переменной:
1) |
|
dx |
; |
2) |
x(x − 1)20 dx ; |
3) |
sin2x |
dx ; |
|||||||
(x + 1) x |
1+ cos2 x |
||||||||||||||
4) |
|
|
|
dx |
|
; |
5) |
|
|
ex dx |
. |
|
|
|
|
e |
x |
− e |
− x |
e |
x − x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− e |
|
|
|
2. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
Ниже мы рассмотрим интегралы четырех следующих видов:
(А) |
|
|
dx |
, |
(В) |
|
ax |
2 |
+ bx + c |
||||
|
|
|
|
|
||
(С) |
|
|
px + q |
dx , |
(D) |
|
|
ax |
2 |
+ bx + c |
|||
|
|
|
|
|
dx
ax2 + bx + c px + q
ax2 + bx + c
,
dx .
Покажем, как выбираются подстановки, с помощью которых интегралы вида (А), (В), (С), (D) сводятся к табличным интегралам.
Рассмотрим интеграл вида (А), то есть интеграл
ax2 +dxbx + c.
|
|
Выделим в |
|
знаменателе |
полный |
|
квадрат |
|
ax2 + bx + c = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
b |
|
b2 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
b2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
= a x |
|
+ |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
+ c − |
|
= a |
x |
+ |
|
|
|
|
+ c − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2a |
4a |
2 |
4a |
|
|
4a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
2a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Сделаем замену t = x + |
|
|
, |
|
x = t − |
|
, dx = dt. Тогда ин- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
dx |
|
|||||||
теграл (А) сведется к табличному интегралу |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ax2 + bx + c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
d x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
|
b2 |
|
at |
2 |
+ c − |
b2 |
|||||||||||||||||
|
a x + |
|
|
|
|
|
+ c − |
|
|
|
|
a x + |
|
|
|
|
|
+ c − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
4a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
В зависимости от знака коэффициента a и разности |
c − |
b2 |
|
4a |
|||
|
|
мы получаем интеграл X, XI или II таблицы интегралов.
Пример 4.1. Найдем неопределенные интегралы вида (А).
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ 2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x +3= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим |
|
|
в |
знаменателе |
|
|
|
полный |
|
квадрат: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=(x |
2 |
+ 2x +1)+ 2 =(x +1) |
2 |
+ 2. Значит, |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
+ 2x + 3 |
(x + 1)2 + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
t = x + 1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
arctg |
|
|
|
t |
|
|
|
+C = |
1 |
|
|
arctg |
x +1 |
+C. |
|
|
(форму- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt = dx |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ла X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x − 2 = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим |
|
|
в |
|
знаменателе |
|
|
|
|
полный |
квадрат: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= x2 − 2x |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
− |
1 |
− 2 = x − |
|
1 |
2 |
− |
|
9 |
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
x |
2 |
|
− x − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x − |
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
= |
|
|
ln |
|
|
|
|
+ C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 2 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 2 |
|
3 |
x − |
1 |
+ |
3 |
|
|
3 |
|
x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(формула XI). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
dt |
|
= t |
−2 |
dt = |
|
t−1 |
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
+ 6x + 9 |
|
(x + 3) |
2 |
|
|
dt = dx |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
1 |
+ C = − |
|
|
1 |
|
|
+ C (формула II). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
интеграл |
|
вида |
(В), |
|
то |
|
есть |
|
|
интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Интеграл |
|
dx |
путем выделения полного квадра- |
|
ax2 + bx + c |
||||
|
|
та в подкоренном выражении сводится к табличному интегралу XII (если a<0), интегралу XIII (если a>0) или III (если a>0 и подкоренное выражение представляет собой полный квадрат).
Пример 4.2. Найдем интегралы вида (В).
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 6x − 9x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим подкоренное |
выражение |
( |
и |
выделим полный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 . |
Сделаем за- |
|||||||||||||||||||
2− 6x − 9x2 |
= − |
|
|
9x2 + 6x + 1 |
|
+ 3 |
= 3 |
− |
|
3x |
+ |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мену: |
3x + 1= t,dx = 1dt . |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2− 6x − 9x |
2 |
|
|
3 |
− (3x + 1) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
d (3x + 1) |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
= |
1 |
arcsin |
|
|
t |
|
+ C = |
1 |
arcsin |
3x + 1 |
+ C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3− (3x + 1) |
2 |
3 |
|
|
|
|
3− t |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(формула XII). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+ 2x + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Здесь |
|
x2 + 2x + 5= |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 4 , |
|
и, заменив |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x + 1 |
|
+ 4 |
= |
|
x + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 1= t, dx = dt, получим |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
dt |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
+ 2x + x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
+ 4 |
|
t |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 1) |
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
t2 + 4 |
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 5 |
|
+ C (формула XIII). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ln |
t + |
+ C = ln |
x + 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−2+ 4x + |
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим подкоренное выражение и выделим полный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрат: −2+ 4x + 4x2 = |
( |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
2 − 3 |
. |
Заменим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x |
+ 4x + |
1 − 3= |
|
2x + 1 |
|
26
2x + 1= t, dx = dt . Получим: |
|
|
|
|
dx |
|
= |
dx |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
−2 |
+ 4x + 4x |
2 |
(2x + 1) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|||||||||
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
= |
ln |
t + t2 |
− 3 |
+ C = |
ln |
2x + 1+ 4x2 + 4x − |
2 |
+ C |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
t |
− 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(формула XIII). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
г) |
|
|
|
|
dx |
|
= |
|
|
dx |
|
= ln1+ 2x |
|
+ C (формула III). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
+ 4x + 4x |
2 |
(1+ 2x) |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим интеграл вида (C), то есть интеграл
ax2 + bx + c dx. Этот интеграл сводится к сумме двух интегралов:
первое слагаемое представляет собой интеграл вида dt |
= ln |
|
t |
|
+ C |
|
|
||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(формула III), второе слагаемое – интеграл вида (А). |
|
|
|
|
|
Преобразуем числитель px+q и выделим в числителе произ-
водную знаменателя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
px + q = |
|
|
p |
(2ax + b) |
|
− |
pb |
|
+ q . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2a |
2a |
|
2ax + b |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
px + q |
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
|
dx = |
|
|
|
dx + |
||||||||||||||
ax |
2 |
+ bx + c |
|
|
2a |
ax |
2 |
+ bx + c |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
pb |
+ q |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2a |
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x + |
|
|
|
|
|
|
+ c − |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
В интеграле |
|
2ax + b |
|
dx выполним замену t = ax |
2 |
+ bx + c . |
|||||||||||||||
ax2 + bx + c |
|
||||||||||||||||||||
Тогда dt = (2ax + b)dx и |
|
2ax + b |
dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx = |
t |
= ln |
ax |
|
+ bx |
+ c |
+ C . |
||||||||||
|
ax2 |
+ bx + c |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Интеграл |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
является интегралом вида (А). |
||||||||||
|
|
|
b |
|
|
2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a x |
+ |
|
|
|
+ c − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
px + q |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
p |
|
|
d (ax2 + bx + c) |
|
dx + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ax |
2 |
|
+ bx + c |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
ax |
2 |
+ bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
− |
|
+ q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Пример 4.3. Найдем интегралы вида (С). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − 7x + 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1= 12(2x − 7)+ 92 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Так как |
|
(x2 − 7x + 10)′ = 2x − 7 |
|
и |
|
то |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + |
1 |
|
|
|
|
|
dx = |
|
1 |
|
|
|
(2x − 7)dx |
|
|
+ |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
d (x2 − 7x + 10) |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
− 7x + 10 |
|
2 |
|
x |
2 |
− 7x + 10 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
9 |
2 |
|
|
x |
2 |
− 7x |
+ 10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
− |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
7 |
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ln |
|
x |
2 |
|
− 7x |
+ 10 |
|
+ |
|
|
ln |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
+ C = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
− |
7 |
2 |
− |
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
x − |
7 |
|
+ |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
ln |
|
x2 − 7x + 10 |
|
+ |
|
|
ln |
|
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
В знаменателе второго слагаемого был выделен полный |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрат следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 7x + 10 = x |
2 |
− |
2x |
7 |
+ |
|
49 |
− |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
7 2 |
|
− |
9 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
4 |
|
+ 10 = x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 4x + 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим в числителе производную знаменателя: 2x −1= (2x + 4)− 5.
28
В знаменателе подынтегральной дроби выделим полный квадрат:
x2 + 4x + 13= (x2 + 4x + 4)+ 9 = (x + 2)2 + 9.
|
Получим: |
2x − 1 |
|
|
|
dx |
= |
|
2x + 4 |
dx − 5 |
|
|
|
|
dx |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + 4x + 13 |
x2 + 4x + 13 |
(x + 2)2 + 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислим каждый из полученных интегралов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x + 4 |
|
|
|
|
|
t = x2 + 4x + 13 |
|
|
|
|
= |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dx |
= |
dt = (2x + 4)dx |
|
|
|
|
t = ln |
t |
+ C = ln |
x |
|
+ 4x + 13 |
+ C; |
|||||||||||||||||||||||||||
x2 + 4x + 13 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
= |
|
t = x + 2 |
|
= |
|
|
dt |
|
= |
1 |
arctg |
x + 2 |
+ C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(x + 2) |
2 |
+ 9 |
|
dt = dx |
|
t |
2 |
+ 9 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Итак, |
|
|
|
2x − 1 |
|
|
|
dx = ln |
|
x2 + 4x + 13 |
|
− |
|
5 |
arctg |
x + 2 |
+ C. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
+ 4x + 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Рассмотриминтеграл(D),тоестьинтегралвида |
|
|
px + q |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ax2 + bx + c |
Интеграл вида (D) с помощью преобразований, аналогичных преобразованиям интеграла (С), сведется к сумме двух интегралов.
Первое слагаемое имеет вид dtt = 2 t + C, второе слагаемое –
интеграл вида (В).
Сначала преобразуем числитель px+q и выделим в числителе
производнуюподкоренноговыражения: |
px + q = |
p |
(2ax + b)− |
pb |
+ q . |
|||||||||||||||
2a |
2a |
|||||||||||||||||||
|
|
|
px |
+ q |
|
|
|
p |
|
|
|
2ax + b |
|
|
||||||
Тогда |
dx = |
|
|
|
|
|
dx + |
|
||||||||||||
2 |
|
2a |
|
|
2 |
+ bx + c |
|
|||||||||||||
|
|
|
ax + bx + c |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|||||||
|
|
pb |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
+ |
− |
|
+ q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2a |
|
|
b |
2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a x + |
|
|
+ c − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В знаменателе второго слагаемого мы выделили полный квадрат. Каждый интеграл возьмем отдельно:
29
|
|
|
t = ax2 + bx + c |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
2ax + b |
dx = |
= |
dt |
= t |
− |
1 |
dt = |
t |
2 |
|
+ C = |
||
2 |
||||||||||||||
2 |
dt = (2ax + b)dx |
t |
|
|
|
|||||||||
|
ax + bx + c |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= 2 t + C = 2 ax2 + bx + c + C.
Интеграл |
|
|
dx |
|
|
|
– это интеграл вида (B). |
|
|
b 2 |
|
|
|
||||
|
|
b2 |
||||||
|
|
a x + |
|
|
+ c − |
|
|
|
|
|
|
4a |
|||||
|
|
|
2a |
|
Пример 4.4. Найдем интегралы вида (D).
а) |
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
− 2x − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Преобразуем числитель, выделив в числителе производную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подкоренного выражения: x + 4 = − |
1(−2x − 2)+ 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем подкоренное выражение и выделим полный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрат: 6− 2x − x2 = − (x2 + 2x − 6)= − ((x + 1)2 − 7)= 7− (x + 1)2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
1 |
|
|
(−2− 2x)dx |
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
6− 2x − x2 |
|
6− 2x − x2 |
7− (x +1)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим каждый интеграл отдельно: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(−2− 2x)dx |
|
= |
|
|
|
t = 6− 2x − x2 |
|
|
= |
dt |
= 2 6− 2x − x2 + C; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
dt = (−2− 2x)dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6− 2x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
t = x + 1 |
|
= |
|
|
dt |
|
|
= arcsin |
x + 1 |
+ C. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
7− (x + 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = dx |
|
|
|
|
7− t |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Итак, |
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
dx = − |
6− 2x − x2 + 3arcsin |
x + 1 |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||
|
6− 2x − x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
30