книги / Неопределенный интеграл
..pdfциональной функции |
dx |
= |
6t5dt |
= 6 |
t3dt |
|
|
|
|
. Степень числи- |
|||
x + 3 x |
t3 + t2 |
t + 1 |
теля выше степени знаменателя, поэтому выделим целую часть
подынтегральной дроби и «остаток» |
|
|
t3 |
|
|
= t |
2 |
− t + |
1− |
|
1 |
|
|
. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
+ |
1 |
|
t |
+ 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
|
t3dt |
|
= 6 t3 |
− t2 + t |
− ln |
|
t +1 |
|
+ C = 2t3 − 3t2 + 6t − 6ln |
|
|
t +1 |
|
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
t2 = 3 |
x, |
|
t3 = |
|
|
x . Итак, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Выполним обратную замену t = 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
x − 33 |
|
x + 6 |
x − 6ln |
6 |
x + 1 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + |
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
в) |
|
4 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Подынтегральная функция содержит |
|
|
x = x12 |
|
и |
|
|
4 x = x14 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
НОК (2,4) = 4. |
Поэтому выполним замену |
|
x = t4,dx = 4t3dt . При |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этом |
|
|
x = t2, |
|
4 |
x = t.Рассматриваемый интеграл сводится к инте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 xdx |
|
|
|
t 4t3dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t4dt |
|||||||||||||||||
гралу от рациональной функции |
|
|
= |
t2 − 1 |
= 4 |
|
= I1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − 1 |
t2 −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Так как |
|
|
t4 |
|
|
|
= |
|
t |
4 −1+ 1 |
= |
|
(t2 −1)(t2 |
+ 1) |
+ |
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t2 −1 |
|
|
|
t2 −1 |
|
|
|
|
|
t2 −1 |
|
|
|
|
|
t2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 4 |
|
|
t4dt |
= 4 |
|
|
|
2 |
+ 1+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
3 |
+ 4t + |
2ln |
|
t −1 |
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
2 |
−1 |
|
|
|
t |
2 |
−1 |
3 |
|
|
t |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Выполним обратную замену: t = 4 x, |
|
t3 = 4 x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
4 |
|
xdx |
|
|
|
4 4 |
x3 |
|
|
4 |
x − 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ 44 |
x + 2ln |
|
|
|
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
3 |
|
|
4 |
x + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
г) I = |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 (x + 2)2 − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
|
|
|
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей |
|
2 |
и 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
есть 6. Поэтому полагаем x + 2 = t6 , |
x = t6 − 2, dx = 6t5dt. При этом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 2 = t3, 3 (x + 2)2 = t4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Следовательно, I = |
6t5dt |
|
|
= 6 t2dt |
= 6 (t2 − 1)+ 1dt |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t4 − t3 |
|
|
t − 1 |
|
|
|
|
|
t − 1 |
|
|
|
||||||||||
= 6 t + 1+ |
|
1 |
dt = 3t2 + 6t + 6ln |
|
t − 1 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 = 3 x + 2 .Тогда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Выполним обратную замену: t = 6 |
x + 2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= 33 x + 2 + 66 |
x + 2 + 6ln |
|
6 |
x + 2 − 1 |
|
+ C. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
(x + 2)2 − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
д) |
I = |
|
2x − 3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(t2 |
+ 3), |
|
|
|
|
Выполним подстановку 2x − 3= t2 . При этом x = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||||||||||||
dx = t dt. Тогда |
I = |
|
|
dt = |
2 1− |
|
dt = 2t − |
|
|
arctg |
|
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
t2 + 3 |
t2 + 3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Выполним |
обратную |
подстановку |
t = |
2x − 3. |
Получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = |
|
2x − 3 |
dx |
= 2 |
|
2x − 3 − 2 |
3arctg |
|
|
2x − 3 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
е) I = |
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x + 1+ x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Разделим числитель и знаменатель подынтегральной функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции на |
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Тогда I = |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1+ |
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
Выполним рационализирующую подстановку x −1 = t2 . Отсю- x + 1
да x − 1= t2x + t2 . Значит, |
x = − t2 + 1, dx |
= |
|
|
|
|
4t |
|
|
|
dt. Следовательно, |
||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
) |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 −1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
−1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
4t dt |
|
|
4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
dt = I1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1+ t |
(t2 − 1)2 |
(t − 1)2 (t + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Проинтегрируем |
|
дробно-рациональную |
|
функцию |
||||||||||||||||||||||
f (t) = |
|
|
4t |
. Для этого представим ее в виде суммы эле- |
|||||||||||||||||||||||
(t − 1)2 (t + 1)3 |
|||||||||||||||||||||||||||
ментарных дробей |
|
|
|
A1 |
A2 |
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
B2 |
|
B3 |
|||||||||||
f (t) = |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
. |
||||||||||||||
t − 1 |
(t − 1)2 |
|
t + 1 |
(t + 1)2 |
(t + 1)3 |
Неопределенные коэффициенты найдем с помощью вычетов. Согласно табл. 5, имеют место равенства:
A2
A1
B3
B2
B1
= lim |
|
|
4t |
|
|
= |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t→1 (t + 1)3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4t |
|
|
′ |
|
|
|
(t + 1)3 − 3t (t + 1)2 |
|||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4lim |
|
|
|
|
|
||||
(t + 1)3 |
|
|
|
|
(t + 1)6 |
|
|
||||||||||||||
|
t→1 |
|
|
|
|
|
t→1 |
|
|
|
|
||||||||||
= lim |
|
|
4t |
|
|
= −1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
t→−1 (t − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4t |
|
|
′ |
|
|
|
|
(t −1)2 − 2t (t −1) |
||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4lim |
|
|
|
|
|
|||||
|
(t −1)2 |
|
|
|
|
(t −1)4 |
|
|
|||||||||||||
|
t→−1 |
|
|
|
|
|
|
t→−1 |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
4t |
|
|
|
|
|
′′ |
|
−4 |
|
|
t + 1 |
′ |
|||
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
= |
||||
|
|
−1)2 |
|
|
|
|
(t −1)3 |
||||||||||||||
|
2t→−1 (t |
|
|
|
|
2 |
|
t→−1 |
|
= − 14,
= −4lim |
t + 1 |
= 0, |
|
(t −1)3 |
|||
t→−1 |
|
= −2lim |
(t −1)3 |
− 3(t + |
1)(t −1)2 |
= |
1 |
. |
|
(t −1) |
6 |
4 |
|||
t→−1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
83
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I1 = |
− t − 1 |
+ |
(t − 1)2 |
+ t + 1− (t + 1)3 dt |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
t + 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
4ln |
|
t − 1 |
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2(t − 1) |
2(t + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Выполним обратную замену: |
t = |
|
|
|
. После преобразо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ваний |
|
получим: |
|
t + 1 |
|
x − 1+ x + 1 |
|
|
|
(x − 1)+ 2 x2 − 1+ (x |
+ 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t − 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − 1− |
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
(x − 1)− (x + 1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= x + |
x |
2 |
−1, |
поэтому ln |
|
t +1 |
|
= ln |
|
x |
+ |
x |
2 |
−1 |
|
. Далее |
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t −1 |
|
|
|
|
|
|
(t + 1)2 |
(t −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
x |
2 |
−1− x −1 |
|
|
x |
2 |
−1 |
+ x + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
1− x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x −1+ x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1((x + 1)2 − x x2 −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Таким |
|
образом, |
|
I = |
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
dx = |
1 |
|
|
x + |
|
x2 |
− 1 |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 1+ |
|
|
x − |
1 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ (x + 1)2 − x x2 − 1)+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Тригонометрические подстановки
Тригонометрическими подстановками называют подстанов-
ки x = asint; x = a tgt; x = |
a |
. |
|
sint |
|||
|
|
Используют их для нахождения интегралов, содержащих корни квадратные из квадратных двучленов, т.е. интегралов вида
R(x, |
a2 − x2 )dx; R(x, |
a2 + x2 )dx; R(x, x2 − a2 )dx. |
84
1. Для интеграла вида R(x, a2 − x2 )dx используется ра-
ционализирующая подстановка x = a sint, dx = a cost dt. В этом случае обратное преобразование определяется следующим обра-
зом: t = arcsin ax .
Подстановка избавляет от иррациональности, так как
a2 − x2 = |
a2 − a2 sin2 t = a 1− sin2 t = a cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Для интеграла вида |
R |
(x, |
a2 + x2 |
)dx |
используется ра- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||
ционализирующая |
подстановка |
|
x = a tgt, |
dx = |
|
|
dt. |
Обрат- |
||||||||||||||||
|
cos2 t |
|||||||||||||||||||||||
ное преобразование t = arctg |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подстановка |
избавляет |
|
от |
иррациональности, |
так |
как |
||||||||||||||||||
a2 + x2 = a 1+ tg2t = a |
1 |
|
|
|
= |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos2 t |
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 − a2 )dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Для интеграла вида |
|
R(x, |
|
используется ра- |
||||||||||||||||||||
ционализирующая подстановка |
|
x = |
|
a |
, |
dx = a |
sint |
|
dt. Обрат- |
|||||||||||||||
|
cost |
cos2 t |
||||||||||||||||||||||
ное преобразование t = arccosa . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подстановка |
избавляет |
|
от |
иррациональности, |
|
так |
как |
|||||||||||||||||
x2 − a2 = |
a |
− a2 = |
a2 − a2 cos2 t = a |
1− cos2 t = asint |
= a tg t. |
|||||||||||||||||||
cos2 t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
cost |
|
|
cost |
|
|
Пример 8.2. Найдем неопределенные интегралы с помощью тригонометрических подстановок.
а) I = x2dx . 4− x2
85
|
|
|
Интеграл I |
содержит выражение вида |
|
|
a2 − x2 , |
a = 2, по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этому применяем подстановку x = 2sint, |
dx = 2cost dt . При этом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4− x2 |
= |
|
4− 4sin2 t |
= |
|
|
|
|
4cos2 t |
= 2cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I = |
|
x2 |
|
|
dx = |
4sin2 t |
2cost dt = 4 sin2 t dt = 4 1− cos2t dt = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2cost |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 2t − sin2t + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Выполним обратную подстановку |
t = arcsin |
x |
. |
Воспользу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
емся |
формулой |
|
sin2t = 2sint cost = 2sint |
|
1− sin2 t . |
|
Так |
|
как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
sint = sin arcsin |
|
= |
|
|
, |
|
|
то sin2t = 2 |
|
|
|
1− |
|
|
|
= |
|
|
|
4 |
− x |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Итак, |
|
x2dx |
|
= 2arcsin |
x |
− |
x |
|
4− x2 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
б) I = |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(5+ x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Интеграл I |
|
содержит выражение |
вида |
|
|
|
a2 + x2 , a = |
5, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому применяем подстановку x = |
|
5tgt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x = |
|
5tgt, |
|
= |
|
|
|
|
5dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
5dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
(5+ x2 ) |
3 |
|
|
dx = |
|
(5+ 5tg2t ) |
3 |
cos2 t |
|
5 |
cos2 t |
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
1 costdt = 1sint + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
Выполним обратную подстановку |
t = arctg |
x |
|
|
. |
Воспользу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
емся формулой sint = |
|
|
|
|
|
tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как tg arctg |
|
|
|
|
= |
|
|
, то по- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ tg2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
лучим sint = |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5+ x2 |
|
|
|
5 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
( |
5+ x2 )3 |
|
|
|
5 |
|
5+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
в) I = |
|
|
x2 − 9 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интеграл I содержит выражение вида |
|
x2 − a2 , |
|
|
a = 3, поэто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
му применяем подстановку |
|
x = |
|
|
|
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dx = |
dx |
= |
|
|
3sint |
|
dt |
|
= |
|
3tg t |
|
3sint |
dt = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 9 |
|
= 3tg t |
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− cos2 t |
|
|
|
|
|
|
(tg t − t )+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
t dt = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
3 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим полученный ответ через переменную x. t = arccos 3x ,
tg t = |
1 |
− 1 = |
x2 |
− 1 = |
x2 − 9 |
. |
|
cos2 t |
9 |
3 |
|||||
|
|
|
|
87
Итак, I = |
|
|
|
x2 − 9 |
dx = x2 − 9 |
− 3arccos |
3 |
+ C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3. Интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x |
− α) ax2 + bx + c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
.где a, b, c, α – дейст- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x − α) |
|
|
ax2 + bx + c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вительные числа, с помощью подстановки |
|
x − α = 1 приводится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к виду (B) главы 2, §2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 8.3. Найдем неопределенные интегралы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
− 2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть |
x = |
1 |
|
, тогда |
dx = − |
|
1 |
dt, |
и следовательно, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= − |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dt |
= − |
|
|
|
dt |
|
|
|
= |
|||||||||||||||
x 5x2 − 2x + 1 |
1 5 |
2 |
+ 1 |
t2 |
t2 − 2t + 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
− t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
|
d (t − 1) |
|
|
|
= = − ln |
|
t − 1+ |
t |
2 |
− 2t |
+ |
5 |
|
+ C = |
|
t = |
1 |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(t − 1) |
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 − 1+ |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= − ln |
|
|
|
− |
+ 5 |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x − 1) |
|
|
3+ 2x − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть |
x − 1= |
1 |
, тогда x = |
|
1 |
+ 1 |
и dx = − |
1 |
dt , следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
88
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||
(x − 1) 3+ 2x − x |
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
3+ 2 |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1+ |
|
− 1 |
t |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (2t ) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||
= − |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − |
|
|
|
= − |
ln |
2t + 4t2 |
− 1 |
+ C = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4t |
− 1 |
|
2 |
|
|
|
(2t ) |
|
− 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
|
|
ln |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
x |
− 1 |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Интегралы вида R(x, |
eax |
|
+ b )dx |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Для рационализации функции R(x, |
eax + b ) |
применяют под- |
||||||||||||||||||||||||
становку |
t = eax + b . Тогда |
eax + b = t2,eax |
= t2 − b, ax = ln(t2 − b), |
||||||||||||||||||||||||||
x = |
|
1 |
ln(t2 |
− b). |
Следовательно, dx = |
1 |
|
|
2t |
|
|
dt. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
t2 |
− b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример 8.4. Найдем неопределенные интегралы. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) I = e2x − 3 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Воспользуемся подстановкой t = |
|
e2x |
− 3 . Тогда e2x |
− 3= t2, |
||||||||||||||||||||||
2x = ln(t2 + 3), |
x = |
1 |
ln |
(t2 + 3). Значит, dx = |
|
|
t |
|
dt. |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
t2 |
+ 3 |
t |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Интеграл |
I |
примет |
вид |
I = e2x − 3 dx = t |
|
dt = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
t2 |
+ 3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
(t2 |
+ 3)− 3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
2 |
|
|
dt |
= 1− |
|
|
|
dt = t − |
|
|
arctg |
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|||||||
|
|
t |
+ 3 |
t |
2 |
+ 3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
Так как t = e2x − 3 , то I = e2x − 3 dx = e2x − 3 −
− |
3 |
arctg |
|
e2x |
− 3 |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
б) |
e2x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 ex + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Поступим аналогично |
|
|
предыдущему |
примеру. Выполним |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
|
|
|
. |
Тогда |
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
( |
|
4 |
) |
|
|
4t3 |
|
|
|
|||
замену |
t = |
|
e |
+ 1 |
|
e |
|
+ 1= t |
, |
x = ln |
t |
|
|
|
dx = |
|
|
|
dt. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 , |
|
t4 − |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то e2x = (t4 −1)2 . Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так как ex = t4 − 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e2x |
|
|
|
|
|
|
(t4 |
−1)2 |
|
4t3 |
|
|
(t |
4 |
−1)t |
2 |
|
|
t7 |
t3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
t |
|
|
dt = 4 |
|
|
dt = |
4 |
7 − |
3 + C. |
|||||||||||||||||||
|
|
4 ex + 1 |
|
|
|
t4 −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Выполним обратную замену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
e2x |
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
7 |
4 |
|
|
4 |
|
x |
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dx = |
7 |
(e |
|
+ 1) |
|
|
|
− 3(e |
|
+ 1) |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 ex + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Интегрирование дифференциальных биномов
Дифференциальным биномом называется выражение вида xm (a + bxn )p , где n,m,p − рациональные числа.
Как доказал П.Л. Чебышев, интегралы xm (a + bxn )p dx от
дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:
1)p − целое число;
2)(mn+ 1)− целое число;
3)(mn+ 1)+ p − целое число.
90