книги / Моделирование процессов и объектов в металлургии
..pdfy n+1 − y n |
y n |
− 2 y n + y n |
|||
i |
i |
= |
i+1 |
i |
i−1 |
τ |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
||
i =1, 2, |
L, |
N −1, |
|
||
n = 0, 1, |
L, K −1, |
|
|||
hN =1, |
|
|
|
|
|
Kτ =1, |
|
|
|
|
|
y0n = µ1 (tn ), |
|
|
|||
yNn = µ2 (tn ), |
|
|
|||
n = 0,1,L, K, |
|
|
|||
yi0 = u0 (xi ), |
|
|
|||
i = 0, 1, |
L, |
N. |
|
|
Схема имеет первый порядок аппроксимации рядок по h. Здесь ϕin = f (xi ,tn+1 )+O(τ+ h2 ).
+ ϕin ,
(4.36)
по τ и второй по-
81
elib.pstu.ru
Тема 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СМЕШАННОГО ТИПА
Отличие моделей смешанного типа от эмпирических и теоретических заключается в том, что в данных моделях уравнениями описываются только наиболее существенные процессы, а влияние остальных процессов определяется при помощи идентификации.
Идентификация – количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту. В качестве критерия соответствия модели и объекта используется минимум ошибки модели εM =Y (t )−YM (t) или минимум среднего квадрата этой ошибки
(рис. 5.1). Задача идентификации заключается в определении не самого оператора F0, а его оценки FM.
Y(t)
F0
X(t)
YM(t)
FM
Рис. 5.1. Схема процесса идентификации: F0 – истинная характеристика объекта, FM – оценка характеристики объекта
Взависимости от характера априорной информации об объекте различают задачи идентификации в узком и широком смысле.
Задача идентификации в узком смысле ставится в случае, когда:
•априорная информация об объекте велика,
•известна внутренняя структура объекта,
•задан класс моделей, к которому можно отнести данный объект.
Вэтом случае задача идентификации в узком смысле, или параметрическая идентификация, сводится к оценке параметров объ-
82
elib.pstu.ru
екта по результатам наблюдений за входными и выходными сигналами, полученными в условиях функционирования объекта.
Задача идентификации в широком смысле ставится в случае, когда:
•априорная информация об объекте недостаточна,
•неизвестна внутренняя структура объекта,
•не задан класс моделей, к которому можно отнести данный объект.
В этом случае задача идентификации в широком смысле, или структурная идентификация, заключается в выборе структуры объекта и задания класса моделей, оценки степени и формы влияния входных переменных на выходные и пр.
Построение модели – многоэтапный процесс, заключающийся
впоследовательной постановке и проверке гипотез о структуре и параметрах объекта. На каждом из этапов необходимо проводить анализ ошибок модели, что позволяет принимать решения о направлениях ее дальнейшего совершенствования.
Структурная идентификация
Одной из задач структурной идентификации является вскрытие структуры объекта. В этом процессе можно отметить следующие этапы:
•выделение объекта из среды;
•ранжирование входов и выходов объекта по степени влияния их на конечный показатель;
•определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели;
•определение характера связи между входом и выходом мо-
дели.
Рассмотрим каждую из этих задач.
Выделение объекта из среды. Процесс выделения объекта из среды определяется целью, для которой строится модель. При выделении объекта из среды и его разделении на подобъекты необхо-
83
elib.pstu.ru
дим минимум связей со средой или другими подобъектами. Этот процесс может осуществляться как последовательный переход от простейших форм объекта к более сложным.
Ранжирование входов и выходов объекта по степени влияния их на конечный показатель. Определяют все входы и выходы, состояние которых в какой-то степени влияет на выполнение цели.
Определение рационального числа входов и выходов объекта,
учитываемых в модели. Для отбора существенных факторов применяют метод экспертных оценок, наблюдение за функционированием реального объекта, специально спланированный эксперимент на объекте.
Определение характера связи между входом и выходом моде-
ли. Целенаправленное определение характера связи между входами и выходами модели возможно лишь на основе теоретических представлений о механизме процессов, протекающих в объекте. Возможен также простой перебор структур, что практически нереально.
Практически гипотезы о структуре ставятся с учетом физических, физико-химических и прочих теоретических представлений о конкретных объектах. Для проверки этих гипотез используются экспериментально-статистические методы.
В качестве метода проверки гипотез об адекватности структуры применяют содержательный анализ остатков.
Остатки εi – разность между фактически измеренными значениями выходного параметра yi и предсказанными с помощью модели ŷ’i, т.е. это остаточные ошибки модели.
Для ошибок делаются предположения, что они независимы, имеют нулевые средние, постоянную дисперсию и подчиняются нормальному закону распределения.
Если подбираемая модель находится в удовлетворительном соответствии с объектом, то остатки должны проявлять тенденцию к подтверждению сделанных предположений или не противоречить им.
При проверке формулируется следующий вопрос: «Не показывают ли остатки, что наши предположения ошибочны?». При анализе остатков возможны выводы:
• предположения, по-видимому, нарушены.
84
elib.pstu.ru
• предположения, по-видимому, не нарушены. Это означает, что мы не имеем основания для утверждения о неправильности, но не значит, что предположения верны.
Процедура исследования остатков носит графический характер и позволяет проводить как качественный, так и количественный анализ степени идентичности модели и объекта.
К основным видам графиков остатков относятся: общий (например, гистограмма распределения); зависимости от времени или номера опытов, если известна их последовательность; зависимости от предсказываемых значений ŷ’i; зависимости от входных факторов xij, а также любой вид графика, целесообразного для данной конкретной задачи.
|
|
n |
|
|
|
60 |
|
|
|
40 |
|
|
|
20 |
|
–2 |
0 |
2 |
ε |
Рис. 5.2. Вид симметричной гистограммы распределения
Рассмотрим построение гистограммы распределения. Она строится следующим образом. Весь диапазон изменения ошибки модели разбивается на ряд равных интервалов, чаще всего 10–15, которые откладываются на оси абсцисс, а на оси ординат отмечается частота попадания ошибки в каждый из этих интервалов (число случаев). Симметричный характер гистограммы не дает оснований для суждений о неправильности наших предположений. Несимметричный характер может свидетельствовать о том, что в модели не учтена какая-то случайная составляющая и требуется более глубокий анализ ошибки модели.
85
elib.pstu.ru
Эффективным при последовательном совершенствовании моделей может оказаться введение в рассмотрение новой переменной. Строится график зависимости остатков от новой переменной, не включенной в рассматриваемую модель. Если такая зависимость обнаруживается, то в модель вводятся новые параметры для учета этой переменной. Большой интерес при исследовании остатков могут представить выбросы – значительные отклонения параметров от установленного закона распределения. Особенно важен анализ выбросов при задаче вскрытия внутреннего механизма явлений, поскольку выброс связан с необычной комбинацией условий. Если выбросы превышают ± 3σ, где σ – среднее квадратическое отклонение, то их рекомендуется не учитывать.
Параметрическая идентификация
Методы параметрической идентификации называются в зависимости от параметров моделирования: статические и динамические, детерминированные и неопределенные, линейные и нелинейные, непрерывные и дискретные.
В основу классификации методов параметрической идентификации положены следующие признаки:
•активность (пассивные и активные методы);
•адаптивность (неадаптивные и адаптивные);
•дискретность (непрерывные и дискретные (шаговые)).
Из-за невозможности рассмотреть все промежуточные случаи остановимся на основных.
Параметрическая идентификация для случая статистической детерминированной линейной модели.
Допустим, что поведение объекта описывается некоторой регулярной зависимостью, связывающей вход X и выход Y объекта: Y=F0(X). Тогда модель объекта также должна представлять собой некоторую регулярную функцию F: Y=F(X).
Рассмотрим случай линейной модели объекта, когда количество входов n>1, а количество выходов m=1. В скалярной форме модель имеет вид:
86
elib.pstu.ru
y = b0 +b1x1 +b2 x2 +L+bn xn .
Она содержит k=n+1 неизвестных параметров b0, b1,…, bn, которые могут быть оценены на основе информации об объекте.
Применим неадаптивный шаговый метод для решения этой задачи, для чего приравниваем выходы модели и объекта в каждом из N опытов:
n
b0 + ∑bi xij = y j ( j =1,L, N ).
i=1
Врезультате может быть получена система из N уравнений идентификации с n+1 неизвестным, которая имеет однозначное решение, если ранг матрицы равен n+1, т.е. имеется n+1 линейно независимая строка этой матрицы
1 |
x11 |
x21 |
L |
xn1 |
|
1 |
x12 |
x22 |
L |
xn2 |
. |
L L |
L |
|
L |
|
|
1 |
x1N |
x2N |
L xnN |
|
В качестве критерия идентификации чаще всего используется квадрат суммарной невязки модели и объекта
N
Q(B)= ∑q2j (b),
j=1
где qj – локальная невязка в j-м опыте;
n
q j = b0 + ∑bi xij − y j .
i=1
Применим адаптивный шаговый метод, при котором связываются параметры модели на двух следующих друг за другом шагах:
B j = J (B j−1, X j , y j ),
где J – алгоритм адаптации, а Bj=(b0(j), b1(j), …, bn(j)). В качестве такого алгоритма часто используют метод наискорейшего спуска:
B = B − −α gradq2 (B − ),
j j 1 j j j 1
87
elib.pstu.ru
где qj(Bj–1) – невязка на j-м шаге при значении параметра модели на (j–1)-м шаге адаптации;
n
q j (B j−1 )= b0( j−1) + ∑bi( j−1)xij − y j . i=1
Параметр αj выбирается из условия минимума текущей невязки q2j (b j )→ min α j .
Преимуществом адаптивного метода адаптации по сравнению с неадаптивным является возможность использования текущей информации. При этом возникает проблема сходимости процесса адаптации (связанная с выбором параметра αj).
Для непрерывного случая процесс адаптивной идентификации представляется дифференциальным уравнением вида:
dBdt = J (B, X (t ),Y (t)).
Если в качестве критерия идентификации принять квадрат невязки, а в качестве алгоритма – метод наискорейшего спуска, то уравнение примет вид:
dBdt = −α gradq2j B(t ),
где
B(t)= b0 (t ),b1 (t),L,bn (t) ; qt (B)= b0 +b1x1t +L+bn xnt − yt ; gradqt2 (B)= −2[1, x1t ,L, xnt ]qt (B).
Обозначим вектор-функцию времени
X t =[1, x1t ,L, xnt ].
Получим
qt (B)=[B, X t ]− yt ,
88
elib.pstu.ru
gradqt2 (B) = −2{[B, X t ]− yt }X t .
Тогда уравнение примет вид:
dBdt = −2α{[B, X t ]− yt }X t .
Структурная схема, изображающая этот алгоритм, приведена на рис. 5.3.
Объект
yt
Xt
Модель [B, X]
B
∫
qt(B)
×
ИУ
Рис. 5.3. Структурная схема непрерывной адаптивной идентификации, ИУ – идентифицирующее устройство
Динамические модели
Динамические объекты – объекты, оператор которых имеет память, т.е. выход Y в момент времени t отражает не столько состояние входа X в этот момент, сколько его значения в предыдущие моменты времени.
Следует различать параметрические и непараметрические динамические модели объектов. Параметрическая модель определяется набором параметров, которые оцениваются в процессе иденти-
89
elib.pstu.ru
фикации. Непараметрическая модель определяется непрерывной функцией, чаще всего функцией времени.
Линейная модель для одномерного случая представляет обыкновенное дифференциальное уравнение вида
p |
d |
(i) |
l |
d |
( j) |
|||
∑ai |
|
y |
= ∑b j |
|
x |
. |
||
dt |
(i) |
dt |
( j) |
|||||
i=0 |
|
j=0 |
|
|
Запишем эту модель в виде системы дифференциальных уравнений, для чего введем новые переменные:
y1 = y2 =
y3 =
L; yk =
y;
y(1); y(2);
y(k −1).
В результате получаем систему уравнений вида
p |
l |
( j); |
y1 = ∑a1i yi + ∑b1 j x |
||
i=0 |
j=0 |
|
L;
y p = ∑p a pi yi + ∑l bpj x( j). i=0 j=0
Исходной информацией для идентификации являются состояние входов x и выхода yt объекта в интервале времени 0 ≤ t ≤T .
Задача идентификации сводится к минимизации функции невязки в виде квадрата разности правой и левой частей уравнения при подстановке в него функций xt и yt наблюдений объекта:
Q(C)= |
T |
p |
l |
|
2 |
∫ |
∑ai yt(i) − ∑b j xt( j) |
|
dt . |
||
|
i=0 |
j=0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Задача минимизации формулируется в виде
90
elib.pstu.ru