книги / Начала инженерного творчества

Таблица 37

	Число факторов, k			Количество опытов в центре плана, n0
	2	3	4
	1.000	1.477	2.000	1
	1.160	1.650	2.164	2
	1.317	1.831	2.390	3

ти к нарушению условий, принятых при определении области планирования эксперимента.

Рассмотрим некоторые примеры решения технологических задач с применением планирования эксперимента, взятые из книги А.А. Спиридонова [12].

Пример 1. Исследование упругой характеристики системы шпиндель–деталь токарного станка

В Уральском техническом университете С.И. Солониным исследовано влияние факторов процесса резания на упругую характеристику системы шпиндель–деталь токарного станка. При точении деталей, консольно закрепленных в патроне, положение оси вращения в зоне обработки определяется положениями звеньев системы шпиндель–деталь. К этим звеньям относятся опоры шпинделя, шпиндель, патрон и деталь. В процессе точения система шпиндель–деталь упруго деформируется под действием силы резания. Если рассматривать обработку деталей большой жесткости, упругими деформациями которых можно пренебречь, то схема деформации системы под действием силы P, эквивалентной силе резания, будет иметь вид, изображенный на рис. 24.

Упругие деформации системы шпиндель–деталь будут определяться главным образом упругими деформациями стыков между шпинделем и опорами, шпинделя с патроном и стыка патрон–кулачки–деталь. Деформации стыков приводят к по-

161

вороту звеньев друг относительно друга на углы θ1, θ2 и θ3. В результате ось системы шпиндель–деталь получает форму ломаной линии, а ось системы в зоне обработки будет повернутой и смещенной и расположенной так, как это показано на рис. 24.

Рис. 24. Схема деформации системы шпиндель-деталь

Для создания системы автоматического управления размером детали необходимо обеспечить измерение отклонений yz оси вращающейся детали в зоне обработки. Непосредственное измерение этих отклонений практически трудно осуществить. Поэтому вместо уz измеряли упругое перемещение уш шпинделя в месте его соединения с патроном, а затем измеренную величину преобразовывали в оценку упругого перемещения оси шпинделя в зоне резания. В рассматриваемом случае указанное преобразование заключалось в умножении перемещения уш оси шпинделя на упругую характеристику f(z) системы шпиндель– деталь. Измерение уш выполнялось с помощью индуктивного датчика Д. Упругая характеристика f(z) системы шпиндель– деталь представляет собой отношение уz к уш. Получена математическая модель, описывающая это отношение,

162

yz

l2 + z

z

2

z −l2 −l3

2

f (z) =

=

+k2

+k3

y

l

1

l

+ z

l

+ z

, (3.86)

2

2

2

ш

где z – координата, равная расстоянию от вершины резца до точки измерения yш; l2 – расстояние от задней опоры шпинде-

ля до стыка шпинделя с патроном; l3 – расстояние от задней опоры шпинделя до стыка патрон – кулачки – деталь; k2 , k3 –

коэффициенты, зависящие от упругих свойств стыков системы. Величины упругих перемещений yz и yш определяются

величиной и направлением силы резания.

При выводе уравнения (3.86) сделано допущение о наличии прямой пропорциональной связи между силой нормального давления в стыке, деформацией стыка и углом θ1, его поворота. Поскольку силы нормального давления пропорциональны силе резания, то пропорциональны ей и упругие перемещения уz и уш. Имеются основания полагать, что при изменении силы P отношение уz/уш будет оставаться постоянным, т.е. величина и направление силы резания не будут оказывать существенного влияния на упругую характеристику f (z). Ее величина будет

определяться только координатой z и упругими свойствами стыков, которые характеризуются коэффициентами k2 и k3. Для данного станка величины k2 и k3 можно считать постоянными.

Изложенная физическая модель подвергалась экспериментальной проверке, которая производилась с помощью дробного факторного эксперимента и аппарата регрессионного анализа.

Были выбраны четыре фактора процесса резания, которые могли бы оказать влияние на величину упругой характеристики f(z): t – глубина резания, мм; s – подача, мм/об; ϕ – главный угол в плане, град; п – угловая скорость вращения детали, об/мин. Первые три фактора определяют величину и направление силы резания.

163

Для описания возможной связи упругой характеристики f(z) с факторами t, s, ϕ и п была принята простейшая математическая модель в виде полинома первой степени. Если обозна-

чить f(z)	в точке	с	фиксированным			значением	z через и,
~	~	=	~	~
a t = x1,	s = x2 , ϕ		x3 , n = x4 , то согласно принятой модели
можно записать
	U =		~	~	~	~	(3.87)
		B0 + B1x1		+ B2 x2	+ B3x3 + B4 x4 ,

где В0, В1, В2, В3, В4 – коэффициенты полинома. Взаимодействиями факторов пренебрегаем. Если величина и не зависит от

~	,	~	,	~	и	~	, то модель f(z) для фиксированного значения
x1		x2		x3		x4

упругой характеристики z сведется к выражению U = B0 =

= const. Таким образом, задачей эксперимента было определение коэффициентов полинома, оценка значимости коэффициентов В1, В2, В3, В4 и проверка адекватности модели. Величина и характеризует функцию f(z) в точке с фиксированной величиной z, поэтому для оценки влияния t, s, ϕ, n на f(z) были

проведены исследования с различными значениями z. Величина z варьировалась от 200 до 320 мм с шагом 20 мм, при этом вылет детали из патрона соответственно изменялся от 40 до

160 мм.

При проведении эксперимента каждый фактор варьировался на двух уровнях. Принятые в исследовании уровни факторов приведены в табл. 38.

Для упрощения вычислений независимые переменные кодировались по выражению

	~		~0
x	=	xi	− xi	.	(3.88)
i			I

Коэффициенты полинома при кодированных переменных обозначим через bi . Полином (3.87) после кодирования полу-

чил вид

164

	u = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3x3 + b4 x4.			(3.89)
				Таблица 38
Факторы	Интервалы	Уровни факторов
	варьирования	верхний +1	основной 0	нижний –1
t, мм	0,5	2	1,5	1
s, мм/об	0,1	0,3	0,2	0,1
ϕ, град	22,5	90	67,5	45
n, об/мин	75	400	325	250

При выбранной модели использование дробного факторного эксперимента типа 24−1, предусматривающего проведение восьми опытов, позволяет получить эмпирические данные, необходимые для оценки коэффициентов уравнения регрессии и его статистического анализа. Матрица планирования в этом случае представляет собой полуреплику от плана эксперимента типа 24. В качестве генерирующего соотношения принято x4 = = x1x2x3. Определяющий контраст равен 1 = x1x2x3x4. Для оценки дисперсии воспроизводимости проводилось равномерное дублирование по два опыта в каждой точке факторного пространства.

Матрица планирования и результаты опытов, выполненных при z = 260 мм, указаны в табл. 39. Опыты выполнялись в случайной последовательности. Общее число опытов равно 16, а порядок их выполнения, установленный по таблице слу-

чайных чисел, следующий: 2, 15, 9, 5, 12, 14, 8, 13, 16, 1, 3, 7, 4, 6, 11, 10. Номера опытов выше 8-го относятся к повторным, например, условия опытов 1-го и 9-го одинаковы и соответствуют условиям 1-го опыта в матрице планирования и т.д. Для каждой серии опытов вычисляли среднее арифметическое u j

и дисперсию воспроизводимости опыта s2j . Эту дисперсию определяли по выражению

165

																	Таблица 39
	Номер опыта		x0		x1		x2		x3		x4	u1 j	u2 j			j	s2j
															u
	1		+		–		–		–		–	3,75	4,39	3,97			0,2048
	2		+		+		–		–		+	4,64	4,15	4,40			0,1201
	3		+		–		+		–		+	4,95	4,44	4,70			0,1301
	4		+		+		+		–		–	4,83	4,55	4,69			0,0392
	5		+		–		–		+		+	4,25	3,94	4,10			0,0481
166	6		+		+		–		+		–	4,38	4,94	4,66			0,1568
	7		+		–		+		+		–	4,00	4,64	4,32			0,2048
	8		+		+		+		+		+	4,52	4,94	4,73			0,0882
																	δ
	Коэффициенты	b	= 4,458	b	= 0,161	b	= 0,151	b	= 0,006	b	= 0,024						∑ s2 = 0,9921
		0		1		2		3		4							j
																	j =1

166

		∑m j (u jl −					j )2
						u
s2j	=	l=1						,	(3.90)
					m j−1
где l – номер опыта в j-й серии; u jl						– значение функции откли-
ка в l-м опыте j-й серии;	m j		– число опытов в j-й серии.
Вычисленные средние					j и	дисперсии s2j			приведены
				u

в плане эксперимента (см. табл. 39). Поскольку число m j параллельных опытов в каждой серии одинаково, однородность ряда дисперсий s2j проверяли по G-критерию Кохрена

s2

Gp = Nmax = 0,2064. (3.91)

∑ s2j

j =1

Табличное значение критерия при 5%-ном уровне значимости для N = 8 и т =2 Gт = 0,6798. Поскольку расчетное значение Gp = 0,2064 меньше табличного Gт = 0,6798, гипотеза однородности дисперсий принимается. Убедившись в однород-

ности дисперсий s2j , можно вычислить дисперсию s2 воспроизводимости эксперимента:

		N
		∑ si2
	s2 =	j=1	= 0,124.	(3.92)
		N

Коэффициенты bi вычисляли по формуле

		N
		∑ xij		j
			u
b	=	j=1			,	(3.93)
i		N

где xij – кодированное значение i-го фактора в j-м опыте.

167

Вычисленные значения коэффициентов указаны в табл. 39. После подстановки в уравнение (3.89) значений коэффициентов bi оно получило вид

u = 4,458 +0,161x1 +0,151x2 −0,006x3 +0,024x4.

(3.94)

Для проверки гипотезы адекватности уравнения (3.94) на-

ходится дисперсия s2

адекватности по формуле

ад

s2

=

sR

.

(3.95)

ад

f

Остаточная

сумма

квадратов

sR

определена по

выра-

жению

N

k

s

=

∑

2

− N ∑b2

m

= 0,374,

(3.96)

R

u

j

i

j =1

i=0

где k – число исследуемых факторов; т = 2 – число параллельных опытов; f = N – (k + 1) = 3 – число степеней свободы.

Дисперсия адекватности составила sад2 = sfR = 0,125.

Гипотеза адекватности проверялась по F-критерию Фишера

s2

Fp = sад2 ≈1.

Табличное значение критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 3 и знаменателя 8 равно Fт = 4,07. Поскольку Fр < Fт, модель, представленную уравнением (3.94), можно признать адекватной.

Для оценки значимости коэффициентов bi найдены их дисперсии

s2 {bi }= s2 = 0,00775

Nm

168

и определён доверительный интервал

∆bi = ±tтs{bi} = ±0,2024,

где tт = 2,3 – табличное значение критерия Стьюдента при 5 % уровне значимости и числе степеней свободы N{m – 1) = 8.

Все коэффициенты, кроме b0 , меньше доверительного ин-

тервала, поэтому их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии (3.94), которое в этом случае примет вид

u = b0 или u = 4,458.

Для проверки возможности предсказания значений и по модели u =b0 была вычислена дисперсия sp2 рассеяния результатов u j относительно их среднего, которым в данном случае

является коэффициент b .				Дисперсия					s2	определена по выра-
	0								p
жению
	m∑N (		j −b0 )2			2∑δ (		j −b0 )2
		u					u
sp2 =	j =1				=	j =1					= 0,151.
	N −1					8 −1
Однородность дисперсий						sp2 и s2			проверена по F-крите-

рию Фишера:

s2

Fp = sp2 =1,22.

Табличное значение критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 7 и для знаменателя 8 (см. прил. 1) Fт = 3,50; расчётное значение кри-

терия меньше табличного Fр < Fт, поэтому дисперсии sp2 и s2 следует признать однородными, а полученную модель u =b0 – адекватной.

169

Адекватность модели u = b0 свидетельствует о несущественном влиянии глубины резания t, подачи s, угла в плане ϕ и числа оборотов n на величину упругой характеристики системы шпиндель–деталь f(z), т.е. в области эксперимента при фиксированном значении осевой координаты z упругая характеристика f(z) остается постоянной при изменении t, s, ϕ и п.

Аналогичные исследования были проведены при всех других принятых значениях z, а именно: z = 200; 220; 240; 260; 280; 300; 320 мм. Математическая обработка экспериментальных данных показала, что в области эксперимента при принятых значениях z факторы t, s, ϕ и п также не оказывают существенного влияния на величину упругой характеристики f(z).

Опытные данные uj, полученные при различных значениях z, позволили определить коэффициенты k2 и k3, характеризующие упругие свойства стыков системы. Эти коэффициенты, входящие в уравнение (3.86) упругой характеристики f(z), находились с использованием метода наименьших квадратов.

Проведенные исследования позволили получить упругую характеристику f(z) системы шпиндель–деталь токарного стан-

ка модели 1К62, а также использовать предлагаемую методику для других станков токарной группы.

Использование полученной характеристики даёт возможность создать эффективную систему автоматического управления размером детали, обеспечивающую обработку с точностью до 3-го класса.

Кроме того, линейная модель нулевого порядка – это

отсутствие функциональной зависимости, но отрицательный результат – в науке тоже результат!

170