книги / Математические модели движения транспортных средств
..pdf
|
Ti−1 −2Ti +Ti+1 = 0, |
|
|
|||||
|
i = 2, 3, ..., |
N, |
|
|
(6.55) |
|||
|
. |
|
||||||
|
T =T |
; |
T |
=T |
|
|
|
|
|
1 |
г1 |
|
N +1 |
г2 |
|
|
|
При числе разбиений N = 4, граничных условиях Tг1 |
= 100, |
|||||||
Tг2 = 200 система имеет следующее решение: T2 = 125, T3 |
= 150, |
|||||||
T4 = 175. Запишем эту систему в векторно-матричной форме: |
|
|||||||
−2 |
1 |
0 |
T2 |
|
−100 |
|
||
1 −2 |
1 |
T |
= |
0 |
. |
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
T4 |
|
−200 |
|
|||
0 |
−2 |
|
Алгоритм прогонки (6.54) реализуется для этой системы при A = C = 1, B = −2 следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β2 = 0 ; |
z2 =100 ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
β |
3 |
= − |
|
C |
= − |
|
1 |
|
= 1 ; |
|
z |
= − |
|
Az2 − F2 |
|
= −1 100 −0 =50 ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Aβ2 |
+ B 1 |
0 −2 2 |
|
3 |
|
|
|
Aβ2 + B |
|
1 0 −2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
β4 |
= − |
|
|
C |
|
|
|
= − |
|
|
1 |
|
= 2 |
; |
z4 |
= − |
Az3 − F3 |
= −1 50 −0 = |
100 ; |
||||||||||||||
Aβ3 + B |
1 1 2 −2 |
Aβ3 + B |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
−3 2 |
3 |
|||||||||||||||
β |
5 |
= − |
|
|
|
|
C |
|
|
= − |
|
|
|
1 |
|
= 3 ; |
|
z |
= − |
Az4 − F4 |
|
= −1 100 3 −0 = 25 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Aβ4 + B 1 2 3 −2 4 |
|
5 |
|
|
|
Aβ4 + B |
|
1 2 3 −2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T =T |
= 200 ; T |
=β T + z |
= 3 200 + 25 =175 ; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
г2 |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
5 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T |
=β T + z |
4 |
= 2 |
175 +100 |
=150 ; T |
=β T + z |
3 |
= 1 150 +50 =125 ; |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 =Tг1 =100 .
Основным недостатком метода прогонки являются ошибки округления при вычислении прогоночных коэффициентов. Эти ошибки возрастают с увеличением порядка системы. Для уменьшения этих ошибок рекомендуется считать эти коэффициенты с двойной точностью.
101
6.4. Основы теории подобия и моделирования
6.4.1. Подобие физических явлений
Одним из средств решения задач моделирования транспортных систем, обобщения экспериментальных и расчетных данных является теория подобия и моделирования.
Теория подобия (учение о подобных явлениях) дает общий метод преобразования выражений, содержащих дифференциальные операторы, к алгебраическим уравнениям.
Суть метода в том, что реальный процесс заменяется условной схемой (моделью), в которой все дифференциальные операторы сохраняют постоянное значение в пространстве и во времени. Термин «подобие» заимствован из геометрии. Так, для подобных фигур
(рис. 6.4)
l1′′ |
= |
l2′′ |
=C , |
(6.56) |
|
|
|||
l1′ |
l2′ |
l |
|
|
|
|
где Сl – константа геометрического подобия, или коэффициент пересчета масштабов, зная который, можно получить любой размер в одной системе по сходственному размеру в другой. Следствием геометрического подобия является соответственное выражение для площадей (S) и объемов (V)
|
|
S′′ |
|
=C |
|
=C2 |
; |
V ′′ |
=C |
=C |
3. |
|
|
(6.57) |
|||||||
|
|
S′ |
|
|
|
V ′ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
l |
|
|
|
V |
|
|
|
l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l1′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l′′ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
l′′ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.4. Геометрически подобные области для объекта (слева) и модели
102
На практике при геометрическом подобии используются не характеристики размеров объекта и модели, а их координаты. Если ввести систему прямоугольных координат x, y, то при геометрическом подобии все координаты xi′, yi′ объекта пропорциональны со-
ответствующим координатам xi′′, yi′′ модели, т.е. выполняются соотношения
x′′ |
=Cx ; |
y′′ |
=Cy . |
(6.58) |
|
x′ |
y′ |
||||
|
|
|
Этот пример иллюстрирует дальнейшее развитие понятия «подобие» – аффинное подобие, при котором допускается неравенство масштабов по отдельным координатным осям. В этом случае геометрические фигуры или пространственные объекты как бы деформируются: круг превращается в эллипс, параллелепипед с неравномерными ребрами – в куб и т.п. Переход к аффинному подобию возникает, например, при моделировании сил сопротивления воздушного потока движению транспортного средства, когда размер пограничного слоя воздуха у поверхности транспортного средства, в котором реализуются силы сопротивления, мал по сравнению с размерами транспортного средства.
Преобразующие функции (6.58), осуществляющие взаимосвязь между координатами модели и объекта, могут быть и нелинейными.
Для реализации подобия физических явлений геометрического подобия недостаточно, необходимо соблюдение подобия и по другим характеристикам, определяющим эти явления: времени, скоростям, массам, силам, температурам, и т.д.
Рассмотрим основные понятия подобных явлений. Одноименными величинами называются такие, которые имеют
одинаковые физический смысл и размерность (например, скорость объекта и модели).
Сходственными точками системы называются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию геометрического подо-
бия (6.56).
103
Сходственные моменты времени наступают по истечении пе-
риодов времени t′ и t′′, имеющих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия Ct =t′′t′.
Подобными называются физические явления, протекающие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа. Эти постоянные числа называ-
ются числами подобия.
Следует отметить, что подобными могут быть явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими зависимостями. Явления, описываемые одинаковыми уравнениями, но имеющие различную природу, называются аналогичными. Пример аналогичных явлений: движение потока жидкости в каналах и транспортного потока по дороге.
6.4.2. Числа подобия при моделировании обтекания автомобиля
Получим числа подобия, предполагая, что объект и модель удовлетворяют второму закону Ньютона
|
|
|
|
m d22x |
= ∑Fx . |
|
|
|
|
|
|
(6.59) |
|||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем этот закон для реального объекта m′d2 x2′ |
= ∑Fx′ |
и для |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt′ |
|
|
|
модели m′′d2 x2′′ |
= ∑Fx′′. |
Введем константы подобия для входящих |
|||||||||||||
dt′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в уравнение (6.59) величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C |
|
= m′′, |
C = t′′, |
C = |
x′′ |
, |
C |
|
= |
Fx′′ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
m |
m′ |
t |
t′ |
l |
x′ |
|
F |
|
F′ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
из которых найдем переменные для модели:
m′′=Cmm′, t′′=Ct t′, x′′ =Cl x′, Fx′′=CF Fx′,
104
подставим их в уравнение для модели
|
d2 x′′ |
|
C d2 x′ |
|
|
|
|
|
d2 x′ |
C C2 |
|
|||||||||
m′′ |
|
|
2 = ∑Fx′′ Cmm′ |
|
l |
|
|
|
=CF ∑Fx′ m′ |
|
2 = |
F t |
∑Fx′. |
|||||||
dt |
′′ |
C |
2 |
dt′ |
2 |
dt′ |
C C |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m l |
|
|
Из тождественности уравнений для объекта и модели вытекает |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
F |
C2 |
=1. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
(6.60) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C C |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
l |
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение |
C =CF Ct2 |
(CmCl ) |
называется |
индикатором подо- |
||||||||||||||||
бия, а вытекающее из (6.60) соотношение |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F′t′2 |
|
= |
|
F′′t′′2 |
|
|
|
|
(6.61) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
m′x′ |
|
|
m′′x′′ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется условием подобия. Равенство (6.61) представляет собой математическое выражение первой теоремы подобия, которая гла-
сит: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице. Смысл равенства единице индикатора подобия заключается в том, что существенное значение для динамического подобия процессов имеет не каждый из параметров, входящих в закон Ньютона в отдельности (F, m, t, x), а вполне определенная их комбинация, называемая числом Ньютона
Ne = |
Ft2 |
= |
Ft |
. |
(6.62) |
ml |
|
||||
|
|
mv |
|
Число Ньютона называется инвариантом подобия и характеризует отношение изменения импульса силы (Ft) к импульсу (mv, v = l/t), оно одинаково для всех подобных друг другу явлений, и первая теорема подобия может быть сформулирована так: у подоб-
ных явлений числа подобия (K) принимают одно и то же значение, т.е. эти явления тождественные,
K = Ne = |
Ft2 |
=idem. |
(6.63) |
|
ml |
|
|
Слово idem применяется для обозначения подобных процессов.
105
Для обобщения условия динамического подобия рассмотрим более сложный вариант, вытекающий из второго закона Ньютона – одномерное стационарное течение вязкого воздуха, обтекающего автомобиль, движущийся со скоростью vx в направлении оси x. При этом скорость частиц воздуха вблизи поверхности автомобиля, у которой реализуются силы трения, зависит от двух координат x и y. Соответствующее уравнение Навье-Стокса, описывающее стационарный перенос импульса под действием сил тяжести, внешнего давления и вязкого трения, является частным случаем уравнения (6.11) и имеет вид
v |
∂vx |
= g |
|
− |
1 ∂p |
+ |
η |
∂2vx . |
(6.64) |
x ∂x |
x |
ρ ∂x |
|
||||||
|
|
|
|
ρ ∂y2 |
|
Для записи этого уравнения в безразмерном виде выберем в качестве масштабов следующие характерные величины: l – характерный размер области; р0 – давление; v0 – скорость. Тогда безразмерные переменные (они обозначены сверху чертой) примут вид
х = |
х |
, |
y = |
y |
, p = |
p |
, vx = |
vx |
. |
(6.65) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
l |
|
l |
p |
|
v |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
Отсюда получаются |
размерные |
переменные x = xl, |
y = yl, |
||||||||
p = pp0 , vx = vxv0 и |
|
их |
дифференциалы |
dx =l d x, dy =l d y, |
|||||||
dp = p0 d p, dvx = v0d vx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим эти размерные переменные в уравнение НавьеСтокса (6.64) и вынесем постоянные масштабы за знаки частных производных:
v v |
|
v0∂vx |
= g − |
1 |
p0∂p |
+ |
η |
v0∂2vx |
, |
|
x l ∂x |
ρ l ∂x |
ρ l2 ∂y2 |
||||||||
0 |
|
|
|
после умножения уравнения на lv02 получим
106
v |
∂vx |
= |
g l |
− |
p0 |
|
∂p |
+ |
η |
∂2vx . |
(6.66) |
x ∂x |
v2 |
ρv2 |
|
∂x |
ρv l |
||||||
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Уравнение (6.66) безразмерно, следовательно, каждый из трех комплексов в правой части уравнения безразмерен и является инвариантом подобия:
Fr = |
gl |
, Eu = |
p0 |
, Re = |
ρv0l |
, |
|
v2 |
ρv2 |
η |
|||||
|
|
|
|
||||
0 |
|
0 |
|
|
|
где Fr, Eu, Re – соответственно числа Фруда, Эйлера и Рейнольдса. Числа подобия можно получить непосредственно из уравнения
переноса импульса для вязкой среды (6.64), анализируя размерность. Действительно, уравнение
v |
|
∂vx |
= g − |
1 ∂p |
+ |
η |
∂2vx |
|
|
x |
∂x |
ρ ∂x |
ρ ∂y2 |
(6.67) |
|||||
|
|
|
(1)(2) (3) (4)
представляет баланс сил инерции (1), тяжести (2), внешнего давления (3) и вязкого трения (4).
Отношение первого члена уравнения, характеризующего силы инерции при стационарном течении, к четвертому, характеризующему силы вязкого трения, является важнейшим критерием подобия,
называемым числом Рейнольдса.
(1) (4) = |
v2 |
ηv |
= |
v lρ |
= Re |
Re = |
ρ v l |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
. |
|||||
l |
ρl2 |
η |
η |
||||||
|
|
|
|
|
При малых значениях числа Рейнольдса (Re <103 ) силы вязкого
трения преобладают над силами инерции, течение вязкой среды имеет слоистую, ламинарную структуру. При больших значениях числа
Рейнольдса (Re >104 ), когда инерционные силы преобладают над
силами вязкого трения, циркуляция вязкой среды имеет турбулентную структуру. Поперечные пульсации скорости и температуры при турбулентной конвекции приводят к возрастанию вязкости.
107
Область изменения числа Рейнольдса 103 < Re <104 характеризует смешанный режим течения, при котором наблюдается примерное равенство сил инерции и вязкого трения и происходит смена ламинарного и турбулентного режимов течения.
Таким образом, число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкого трения, играет важную роль для опреде-
ления структуры течения воздуха, обтекающего транспортное средство при движении.
Отношение второго члена уравнения (6.67) к первому дает чис-
ло Фруда
(2) (1) = g |
v2 |
= |
gl |
= Fr |
Fr = |
g l |
|
|
0 |
v2 |
|
, |
|||||
l |
v2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
характеризующее относительную по сравнению с инерционной силу тяжести.
Из сравнения сил внешнего давления с силами инерции в урав-
нении (6.67)
(3) (1) = |
∆p |
v02 |
= |
∆p |
|
ρl |
l |
|
ρv2 |
|
|
|
|
0 |
получается число Эйлера Eu = ∆p(ρv02 ), характеризующее отноше-
ние перепада давления к удвоенному динамическому напору (ρv02 2),
т.е. безразмерный перепад давления.
Числа Фруда и Рейнольдса определяют геометрию и физические свойства системы и являются ее параметрами, так как могут измениться при переходе к другой системе. Эти числа подобия называются определяющими. Число Эйлера характеризует безразмерный перепад давления, который подлежит определению и называется определяемым числом. С учетом чисел подобия уравнение Навье-Стокса (6.64) принимает вид
v |
|
∂vx |
= Fr −Eu |
∂p |
+ |
1 |
∂2vx . |
(6.68) |
x |
∂x |
∂x |
|
|||||
|
|
|
Re ∂y2 |
|
108
Первая теорема подобия требует тождественности чисел подобия как необходимого условия подобия явлений.
Особый интерес представляют соотношения между числами подобия. Возможность представления решения как функции от чисел подобия в виде критериального уравнения и составляет содержание
второй теоремы подобия (π-теоремы): любое уравнение, связывающее между собой N физических величин, из которых K величин обладают независимыми размерностями, можно преобразовать к уравнению, связывающему N–K безразмерных критериев.
Смысл этой теоремы рассмотрим на примере уравнения НавьеСтокса (6.64), решение которого при соответствующих краевых условиях должно иметь следующий вид:
v = v(x, y, ρ, η, g, v , |
l), |
|
(6.69) |
0 |
|
. |
|
p = p(x, y, ρ, η, g, v , l) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Искомые величины – скорость и давление являются функциями двух аргументов (координат x и y) и пяти параметров (плотности ρ, динамической вязкости η, ускорения свободного падения g, масштабов скорости v0 и длины l).
После приведения уравнения к безразмерному виду (6.68) имеем решение
v = v (x, y, Re, Fr), |
(6.70) |
. |
|
Eu = Eu(x, y, Re, Fr) |
|
|
|
|
|
при этом каждая искомая величина зависит уже от двух безразмерных координат и двух параметров. В рассматриваемой задаче число параметров при переходе к безразмерным переменным уменьшилось на три.
В решении (6.70) числа подобия, составленные из параметров (Fr, Re), называются определяющими, а безразмерная скорость v
и число Эйлера Eu – определяемыми.
Условия, достаточные для существования подобия физических явлений (третья теорема подобия), были впервые сформулированы в 1930 г. Кирпичевым и Гухманом в виде трех положений:
109
1)подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;
2)условия однозначности (геометрические и физические параметры системы, начальные и граничные условия) подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме численных значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях;
3)одноименные определяющие критерии подобных процессов должны иметь одинаковые численные значения.
Отметим следствия теоремы:
1)если процессы А и В подобны, то любая физическая величина φ в данной точке процесса А пропорциональна соответствующей величине в сходственной точке процесса В;
2)подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми.
Пример 6.3. При моделировании испытаний автомобиля в аэродинамической трубе изготовлена модель автомобиля, уменьшенная
в10 раз (рис. 6.5). Критерием, определяющим режим обтекания ав-
томобиля воздухом, является число Рейнольдса Re = ρv0lη.
v0 |
δ |
Рис. 6.5. Схема моделирования обтекания автомобиля в аэродинамической трубе
Первое условие теоремы Кирпичева–Гухмана выполнено, так как в модели и в реальных условиях одна и та же моделирующая среда – воздух. Второе условие (однородность профиля скорости потока воздуха) выполняется не во всем объеме аэродинамической тру-
110