книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

методом наложения, рассчитав схему замещения (рис. 3.9), в которой реактивные элементы заменены единичными источниками ЭДС и тока. В такой схеме (см. рис. 3.9) определению подлежат напряжения на источниках тока uL1 , uL2 и ток

в емкости iC , так как именно

	iL1	R4
	uL1	uC	R2
	E R3	iC		R5
		uL2	iL2
	R1
		Рис. 3.9

они определяют производные от переменных состояния. Рассмотрим четыре подсхемы (рис. 3.10), в каждой из которых действует только один из источников, входящих в схему, приведенную на рис. 3.9. Расчет схемы (см. рис. 3.10, а) позволяет определить искомые величиныотдействия источника напряжения uC :

duCI

iCI

uC

a u

C

,

dt

C

(R R

R

)C

11

4

3

5

I

I

(R

R

)

R

R

diL

uL

iCI

4

4

uC a21uC ,

1

1

5

5

dt

L

L

(R

R

R

)L

4

1

1

3

5

1

diLI

uLI

R

R

2

2

iCI

5

5

uC a31uC .

dt

L2

L2

(R3 R4 R5 )L2

Аналогичным образом рассчитаем эти же величины от действия источника тока iL1 (см. рис. 3.10, б):

duCII

iCII

R4 R5

i

a i

,

(R

)C

dt

C

R

4

R

L1

12

L1

3

5

diLII

uLII

iL

(R

4

R )R

1

1

1

5

3

R1

dt

L1

R3

R4 R5

L1

R1 R3 R1 R4 R1 R5 R4 R3 R5 R3

i

a

22

i

,

(R3 R4 R5 )L1

L1

L1

diLII

uLII

R R

5

iL

a32iL .

2

2

3

dt

L2

(R3

R4

R5 )L2

1

1

121

uLI1	R4					iL1	R4
	uC					II	iII
	iI	R2		R5		uL1		R2	R5
R3	C					R3
		uLI						II
R1			2			R1
								uL2
uLIII	а					uIV	б
	R4						R4
1						L1
	iCIII	R2					iIV	R2
				R5	E		C		R5
R3						R3
	III	iL2						uL2
R1	uL2					R1
								IV
	в						г
				Рис. 3.10

Рассчитав следующую схему (см. рис. 3.10, в), найдем искомые величины от источника тока iL2 .

duCIII				iCIII							R5				i		a i		,
								(R
	dt				C					R		R )C				L2		13	L2
							3				4	5
diLIII					uLIII	(R					R R						a23iL2 ,
	dt				L					R		R )L iL2
	1				1						5	3
					1		3				4	5	1
					uLIII			(R			R )R							iL
diLIII															R2
dt					L	R					R R							L
	2				2					3		4	5					2
					2					3		4	5					2
			R R R R R R R R R R																iL a33iL .
				2 3			2 4				2 5		3 5					4 5
							(R3 R4					R5 )L2							2	2

Расчет схемы, изображенной на рис. 3.10, г, позволяет определить искомые величины от действия источника ЭДС:

122

duCIV				IV
				iC
	dt			C
diL1			uL1
	IV			IV
	dt			L1
diIV			uIV
	L2			L2
	dt			L
			2

0 b11E,

E b21E,

0 b31E.

Суммируя частные решения в каждой из подсхем с учетом выбранных положительных направлений напряжений и токов, находим полные решения искомых величин:

duC

duCI

duCII

duCIII

duCIV

a u

a

i

a

i

,

dt

dt

dt

dt

dt

11 C

12

L1

13

L2

diL

diLI

II

III

IV

diL

diL

diL

a21uC a22iL

a23iL

E,

1

1

1

1

1

dt

dt

dt

dt

dt

1

2

I

di

II

di

III

di

IV

diL2

diL2

L2

L2

L2

a31uC a32iL1 a33iL2 .

dt

dt

dt

dt

dt

Полученные уравнения позволяют сформировать систему дифференциальных уравнений в форме Коши для переменных состояния и записать ее в матричной форме:

duC
	dt			a
diL1				11
				a21
	dt
diL2				a31
	dt

a12 a22 a32

a			u				0
				C
13									E .
a23		iL1				1 L1
							0
a33		iL2

После подстановки численных значений параметров элементов цепи:

123

du
	C														u
	dt				25 103			75 103			50 103								0
diL1							3			3		3				C				3
					0,75 10			1,75 10			0,5 10				iL1			120 10				E.
	dt
					0, 25 10	3		0, 25 10	3		1,5 10		3						0
diL															iL
																2
	2
	dt

К системе уравнений, записанных в нормальной форме, необходимо добавить вектор, который отражает состояние электриче-

ской цепи в момент времени t 0 . Поскольку переменные состояния подчиняются законам коммутации, этот вектор можно получить из анализа состояния цепи в старом установившемся режиме

(t 0 ). Схема вмомент времени t 0 представленанарис. 3.11.

iL1 (0 ) iL2			(0 )				E		30 А,
						R1
							R4 R2
uC (0		)			R4 R2			E 90 В.
				R1	R4		R2

iL1 (0 )	R4
uC (0 )		R2
E
	R3
R1		iL2	(0		)	R5
	Рис. 3.11

Такимобразом, вектор начальных состоянийцепиимеет вид:

uC (0)			90
	(0)
X (0) iL1			30 .
	(0)
iL2			30

124

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.В чем заключается суть метода переменных состояния? Что понимают под переменными состояния? Чем определяется количество переменных состояния?

2.Что такое уравнение состояния цепи? Какова его матричная форма записи?

3.Что лежит в основе методов решения уравнения состояния

цепи?

4.Какими элементами замещаются в резистивных схемах для определения переменных состояния:

а) индуктивности; б) резисторы; в) емкости;

г) источники тока; д) источники ЭДС?

5.В результате расчета некоторой электрической цепи было получено уравнение состояния:

diL
	dt			0		4			iL		0				E .
				10	4	10	3					10	5
duC			4						uC		2,5
	dt

Определить:

а) порядок электрической цепи; б) корни характеристического уравнения; в) вид свободной составляющей; г) источники цепи; д) начальные условия;

е) характер переходного процесса; ж) время переходного процесса.

6.Записатьуравнениесостоянияэлектрическихцепей(рис. 3.12).

7.Определить матрицы связи A, B, C, D электрических цепей (рис. 3.13) при определении тока i(t) и напряжения uL (t) .

125

	R1		R1			R1
	R2						R2
						E	С
	E	С	E	R2	L
							R3
	L
	а		б				в
			Рис. 3.12
	L				С
	uL(t)						uL(t)
	E	R	E		i(t)	R	L
	i(t)		С

а	L	L	б
	uL1(t)	uL2(t)
E		С R2

R1	i(t)
	в
	Рис. 3.13

3.2. Расчетно-графическая работа № 6

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях II порядка

Данная работа подводит итог изучения переходных режимов

вэлектрических цепях и усвоения методов их анализа. Для расчета переходного процесса предлагается цепь второго порядка,

вкоторой действуют два источника постоянных воздействий.

126

Предполагается, что до срабатывания коммутаторов (коммутатор работает на замыкание) цепь находилась в установившемся режиме.

Задача расчета переходных процессов сводится к решению системы дифференциальных уравнений, связывающих заданные воздействия и искомые токи и напряжения в исследуемой послекоммутационной цепи. Сформулированная задача может быть решена на основе классической теории дифференциальных уравнений (классический метод), операционного исчисления (операторный метод), численных методов (метод пространства состояний).

Задание

1.На откидном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, привести численные значения параметров и задающих источников тока и напряжения.

2.Рассчитать указанный преподавателем ток или напряжение в одной из ветвей классическим методом.

3.Составить эквивалентную операторную схему и записать для нее систему уравнений по законам Кирхгофа. Рассчитать искомый ток операторным методом.

4.Получить матрицы связей А, В, С, D исследуемой цепи для решения задачи методом пространства состояний.

5.Построить графики изменения во времени найденных ве-

личин.

Выбор варианта и расчет параметров элементов цепи

1. Расчетная цепь выбирается в соответствии с номером варианта с помощью табл. 3.2. Графы расчетных цепей изображены на рис. 3.14.

127

Таблица 3.2

Вариант	Граф	Ключ		Расположение элементов в ветвях
			E1		Е2	J	R		L	C
1, 26, 51	а	3	1		–	6	1, 5,	4	3	2
2, 27, 52	б	5	1		5	–	3, 4,	5	1	2
3, 28, 53	в	2	3		–	5	1, 2,	3	3	4
4, 29, 54	г	3	1		–	5	1, 4,	3	1	2
5, 30, 55	д	4	1		5	–	2, 4,	5	1	3
6, 31, 56	е	4	1		4	–	1, 3, 4, 5, 6		5	2
7, 32, 57	а	6	6		–	1	2, 3, 5, 6		2	5
8, 33, 58	б	2	5		3	–	1, 2, 3, 5		4	1
9, 34, 59	в	2	1		–	4	1, 3, 4, 5		2	5
10 , 35, 60	г	4	3		1	–	2, 3, 4, 5		5	1
11, 36, 61	д	4	1		4	–	1, 2, 3, 4, 5		1	2
12, 37, 62	е	6	4		–	2	3, 4, 5, 6		4	1
13,38,63	а	4	1		–	6	1, 4, 5		3	2
14, 39, 64	б	4	4		–	5	1, 4, 3		1	2
15, 40, 65	в	5	4		5	–	1, 3, 4, 5		1	2
16, 41, 66	г	5	5		–	2	1, 3, 4, 5		4	1
17, 42, 67	д	4	1		4	–	1, 3, 4, 5		5	2
18, 43, 68	е	2	3		–	1	2, 3, 4, 6		5	3
19, 44, 69	а	6	2		5	–	1, 2, 3, 4, 5, 6		1	2
20, 45, 70	б	5	3		5	–	2, 4, 5		4	1
21, 46, 71	в	2	4		–	5	1, 2, 3, 4		1	3
22, 47, 72	г	5	3		–	1	2, 3, 5		3	4
23, 48, 73	д	4	1		–	2	1, 3, 4		3	5
24, 49, 74	е	1	6		–	4	1, 2, 3, 6		3	5
25, 50, 75	а	5	3		–	2	1, 3, 5, 6		1	4

2. Параметры пассивных элементов цепи и задающих источниковцепейвовсехвариантахопределяютсяследующимобразом:

L= 0,5 М Гн , С = 100 N мкФ;

–величина сопротивлений для четных ветвей R = 100 Аr Ом,

–для нечетных ветвей R = 20 (Аr + N) Ом;

128

		3
1	2	5	6	1	2	4		5
		4				3
	3	а				3 б
1	2	4	5	1	2		4	5

в

г

1	2	5	2	3
	3		1	4
	4		5	6
		д	Рис. 3.14	е

– параметры источников: Е1 = 20 (N + M) В, Е2= 20 N B,

J = 0,1 (N + 2M) А,

где N – номер группы (для студентов заочного отделения: 1 – для студентов, обучающихся в нормативные сроки, 2 – для студентов, обучающихся в сокращенные сроки); M – шифр специальности, для АСУ – 2; АТ – 1; АТПП – 3,5; ИН – 7; КЗИ– 6; КТЭИ – 3; КОБ – 4;

ТК– 2,5; ЭВТ– 5; ЭС– 1,5; Ar – суммацифр номераварианта.

129

		4. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
		Интеграл Дюамеля (интеграл на-
f(t)		y(t) ложения) позволяет рассчитывать ре-
		акцию цепи y(t) на входное воздейст-
		вие любой формы (сигнал напряжения
	Рис. 4.1	или тока), задаваемое некоторой функ-
		цией f(t) (рис. 4.1). При этом данное

воздействие может быть представлено в виде суммы некоторых тестовых обобщенных функций, каждая из которых начинает действие в момент ti, а амплитуда ее зависит от приращения входного воздействия f. В связи с этим для линейных систем, подчиняющихся принципу суперпозиции, справедливо следующее утверждение: поскольку возможна интерпретация входного сигнала в виде суммы (наложения) тестовых сигналов, выходной сигнал, в свою очередь, также интерпретируется в виде суммы (наложения) реакций на данные тестовые сигналы.

4.1.Переходные и импульсные характеристики

Кобобщенным (тестовым) функциям относят единичное сту-

пенчатое возмущение 1(t) (рис. 4.2, а) и -функцию (всплеск) Дирака

						(t) (рис. 4.2, б). Единичная функция
		1(t)				аналитически записывается как
						1(t)	0,	при t 0,	(4.1)
					t			при t 0;
		a					1,
						-функция Дирака аналитически
		(t)
						записывается так:
				t			0,	при t 0,
						t		при t 0, (4.2)
		б
							,
								при t 0.
		Рис. 4.2					0,

130