книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

3.

4.

Решение:

Справедлива теорема: для того чтобы функция f ( x) возрастала (убывала) на интервале (a;b), достаточно, чтобы производная f ′( x) всюду на этом интервале была положительной (отри-

цательной).

На первом рисунке функция монотонно убывает на интервале (a;b), следовательно, f ′( x) < 0 на интервале (a;b).

На втором рисунке функция монотонно возрастает, следовательно, f ′( x) > 0 на интервале (a;b).

В третьем случае f (x) = const для любого x (a;b). Следовательно, f ′ (x) = 0 для любого x (a;b).

В четвертом случае функция f (x) на интервале (a;b) не-

монотонна и потому имеет знакопеременную производную.

Ответ: 1.

71

Вопрос 3.1.6

Если функция y = f (x) имеет в точке x0 экстремум, то …:

1)первая производная функции в этой точке равна нулю или не существует;

2)в этой точке вторая производная отрицательна;

3)такаяточка всегда только однанавсей областиопределения;

4)в этой точке всегда достигается наименьшее значение функции на всей области определения.

Решение:

Если дифференцируемая в точке x0 функция y = f (x) имеет в этой точке локальный экстремум (максимум, минимум), то ее производная вэтойточкеобращается в ноль, т.е. f ′( x0 ) = 0 (рис. 3.3).

		а			б

в

Рис. 3.3: а – x0 – точка локального максимума, f′(x0) = 0;

б– x0 – точка локального минимума, f′(x0) = 0;

в– x0 – точка локального максимума, f′(x0) не существует

Вточке экстремума производная может и не существовать (см. рис. 3.3, в). Таким образом, первое утверждение верно.

Второе утверждение неверно. В качестве примера рассмот-

рим функцию f (x) = x2, график которой изображен на рис. 3.4.

72

Очевидно, что точка x = 0 является точкой локального экстремума (минимума), однако вторая производная в этой точке равна двум, т.е. положительна.

Третье утверждение также ошибочно.

Например, функция f (x) = x3 − 3x имеет две точки экстремума x1 = −1 и x2 = 1 (рис. 3.5).

Рис. 3.4	Рис. 3.5
Четвертое утверждение неверно.
Так, для функции f (x) = x4 − 2x2	точка x = 0 является точ-

кой экстремума. Значение функции в этой точке равно нулю, однако наименьшее значение функции yнаим = −1 и достигается в

другой точке (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Ответ: 1.

73

Вопрос 3.1.7	y = f (x) на
На рисунках изображены графики функций
интервале (a;b). Укажите случай, когда f ′′( x) < 0	на интерва-
ле (а; b):
1.

2.

3.

74

4.

Решение:

Если на интервале (a;b) f ′′(x) < 0, то кривая выпукла (выпукла вверх) на этом интервале. Первый случай верный.

Во втором случае на интервале (a; b) происходит смена характера выпуклости кривой в промежуточной точке интервала (a; b). В связи с этим вторая производная меняет знак на этом

промежутке, следовательно, второй случай неверный.

В третьем случае изображена постоянная функция f (x) = const, следовательно, на интервале (a;b) f ′′( x) = 0. Тре-

тий случай ошибочный.

В четвертом случае изображена вогнутая (выпуклая вниз) функция. Для такой функции на интервале (a;b) f ′′(x) > 0. Чет-

вертый случай неверный.

Ответ: 1.

Вопрос 3.1.8

На рисунках изображены графики функций y = f (x). Укажите функцию, удовлетворяющую следующим условиям:

f ( x) ≥ 0,

f ′ ( x) > 0,

f ′′ ( x) > 0.

75

1)А;

2)В;

3)С;

4)D;

5)Е.

Решение:

При выполнении условия f ( x) ≥ 0 график функции должен быть расположен не ниже оси Ox. Если выполнено условие f ′(x) > 0, то функция монотонно возрастает на всем промежутке. Из условия f ′′( x) > 0 следует, что функция является вогну-

той (выпуклой вниз). Таким образом, необходимо выбрать неотрицательную, монотонно возрастающую, вогнутую (выпуклую вниз) функцию.

На рис. А	f ( x) > 0,	f ′(x) < 0,	f ′′( x) > 0.	Нарушено второе
условие.	f ( x) ≥ 0,	f ′(x) > 0,	f ′′( x) < 0.
На рис. В				Нарушено третье
условие.
На рис. С f (x) ≥ 0,		f ′(x) > 0,	f ′′( x) > 0. Ответ верный.
На рис. D f (x) ≥ 0,		f ′(x) > 0,	f ′′( x) = 0.	Нарушено третье
условие.
76

На рис. Е f (x) > 0, f ′(x) < 0, f ′′( x) < 0. Нарушены второе

и третье условия.

Ответ: 3.

Вопрос 3.1.9

На рисунках изображены графики функций y = f (x). Укажите случаи, когда f ′( x0 ) не существует.

1.

2.

3.

77

4.

Решение:

Для точек графика функций, в которых производная не существует, характерно отсутствие касательной к графику функции в этой точке как предельного положения секущей. В случае 1 и 3

касательной в точке с абсциссой x0 не существует, поэтому вер-

ны ответы 1 и 3.

Ответ: 1, 3.

Вопрос 3.1.10

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции y = f (x) на отрезке [a;b] могут достигаться … :

1)в критических точках функции, расположенных вне от-

резка;

2)в критических точках функции, расположенных внутри отрезка;

3)на концах отрезка;

4)в точках перегиба.

Решение:

Всякая непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. При этом точки, в которых она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, могут быть как внутренними точками отрезка, так и находиться на границе отрезка.

78

Возможны следующие ситуации:

Наибольшее значение достигается внутри отрезка [a; b] в точке x1 (точка максимума): M = f (x1 ).

Наименьшее значение достигается внутри отрезка [a; b] в точке x2 (точка минимума): m = f (x2 ) (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Наибольшее значение достигается внутри отрезка [a; b] в точке x1 (точка максимума):

M= f (x1 ),

анаименьшее значение на одном из концов отрезка, например в точке x = b, m = f (b) (рис. 3.8).

Рис. 3.8

79

Наименьшее значение достигается внутри отрезка [a;b] в точке x1 (точка минимума):

m = f ( x1 ),

а наибольшее значение на одном из концов отрезка, например в точке x = a, M = f (a) (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Если функция на отрезке [a; b] монотонно возрастает (это означает, что функция y = f ( x) на отрезке [a; b] не имеет критических точек), то ее наибольшее значение будет f (b) (на правом конце отрезка), анаименьшее f (a) (налевомконцеотрезка) (рис. 3.10, а).

Если функция монотонно убывает, то указанные значения просто поменяются местами: yнаиб = f (a), yнаим = f (b) (рис. 3.10, б).

а
		б

Рис. 3.10

80