книги / Определение акустических характеристик звукопоглащающих конструкций на основе измерений в интерферометрах с применением программного обеспечения PULSE

	fc		mn	c	.	(6)
			2 R

Для учета процессов поглощения звука в акустическом пограничном слое на стенках трубы интерферометра, что связано с эффектами вязкости и теплопроводности, волновое число k может определяться по формуле [9]:

k

2i

1

1

,

c

D

2 c

2

Pr

где μ – динамическая

вязкость среды; ρ

– плотность среды;

γ – отношение удельных теплоемкостей среды; Pr – число Прандтля; D – гидравлический диаметр канала трубы.

1.3. Звуковое поле в трубе с прямоугольным сечением

Для интерферометра с прямоугольным поперечным сечением канала звуковое поле описывается уравнением Гельмгольца в декартовых координатах [20]:

	2 p		2 p		2 p	k 2 p 0,	(7)
	x2		y2		z2

где p – акустическое давление; k – пространственное волновое число, k 2 f /c; f – линейная частота; c – скорость звука; z – на-

правление вдоль оси канала; x, y – направления, перпендикулярные оси канала (рис. 4).

Решение уравнения (7) для канала с жесткими стенками может быть записано в виде [20]:

p x, y, z	M	N		Amneikz z Bmne ikz z cos(km x)cos(kn y), (8)
	m	0 n	0

где M, N – число учитываемых в решении поперечных мод; m, n – номер поперечной моды; Amn , Bmn – амплитудные коэффициенты прямой и отраженной моды.

11

Рис. 4. Схема координатных осей для канала с прямоугольным сечением

Волновые числа определяются из выражений [20]:

m

n

k

m

; k

n

;

k

z

k 2 k 2

k 2

,

(9)

W

H

m

n

где W, H – размеры поперечного сечения канала (см. рис. 4). Если мода с номером (m, n) имеет мнимое число kz , то эта

мода является затухающей. Частоту, ниже которой мода начинает затухать (частота отсечки), можно найти из выражений (9):

		c	m 2				n 2
fc								.	(10)
		2
			W				H

1.4. Метод передаточной функции на основе двух микрофонов

Из выражения (6) видно, что чем меньше радиус канала, тем выше частота возникновения первой азимутальной моды, следовательно, тем в более широком частотном диапазоне можно проводить испытания образцов ЗПК в условиях распространения в канале интерферометра только поршневой моды (0, 0). В этом случае выражение (5) принимает более простой вид:

p(z) A00eikz B00e ikz .

12

Таким образом, для нахождения неизвестных коэффициентов A, B достаточно провести измерения акустического давления в двух точках:

p(z ) Aeikz1			Be ikz1 ,
1				(11)
p(z		) Aeikz2	Be ikz2 .
	2

Передаточная функция между вторым и первым микрофоном может быть записана как

p(z )

H12 p(z2 ) . (12)

1

Выполняя простые преобразования на основе выражений (1), (11) и (12), получаем:

		H e ik z1 z2
	R	12			e2ikz1 .	(13)
		eik z1 z2 H	12

Далее по формулам (2), (3) можно определить другие акустические характеристики ЗПК. Данный метод называется методом передаточной функции на основе двух микрофонов [21]. Метод является стандартизованным [22] и благодаря своей простоте весьма распространен в настоящее время.

В эксперименте сигналы с микрофонов p(z1 ), p(z2 ) полу-

чают во времени, и для перевода их в частотную область применяется преобразование Фурье. Для этого сигналы делятся на J порций длиной N точек отсчета, для каждой из которых выполняется дискретное преобразование Фурье (в реальности используют быстрое преобразование Фурье) по формулам:

P j

1k

где j – номер щей, k 0...N

1

N 1

i

2 kn

1

N 1

i

2 kn

p j e

N , P j

p j e

N ,

N n 0

1n

2k

2n

N n 0

порции,

j 1...J;

k – номер частотной составляю-

1;

n – номер временного отсчета в порции.

13

Для каждой порции вычисляются автоспектр и взаимный спектр:

j	j	*		j	,	j	j	*	j	.
S11	( fk ) P1k		P1k			S12	( fk ) P1k		P2k

Знак * означает комплексно-сопряженную величину. Полученные спектры усредняются по всем порциям для ка-

ждой частотной компоненты:

S f

1 S j f ,

S f

1 S j f

.

J

J

11 k

J j 1

11 k

12 k

12

k

J j 1

Усредненные спектры позволяют определить передаточную

функцию:

H

( f

)

S12

( fk )

,

k 0... N 1.

(14)

12

k

S11

( fk )

Как видно из выражения (14), частотная функция рассчитывается из взаимного спектра двух микрофонных сигналов. Следовательно, любое несогласование фазы или амплитуды между этими микрофонными каналами нарушит рассчитанное значение. При процедуре калибровки частотная функция рассчитывается при взаимной перестановке двух микрофонов, а затем вновь при их первоначальном расположении. Геометрическое среднее этих двух результатов является комплексным числом, которое может быть «приложено» к любой последующей частотной функции, эффектно устраняя погрешности из-за каких-либо рассогласований в микрофонных каналах [22].

При калибровочной процедуре калибровочные частотные функции для микрофонов в стандартном положении HC1 и в пе-

реставленном положении HC 2 рассчитываются как:

HC1 HC1 ei 1 ; HC 2 HC 2 ei 2 ,

где 1 – фаза калибровочной частотной функции HC1; 2 – фаза калибровочной частотной функции HC 2 .

14

Отсюда калибровочный коэффициент рассчитывается по

формуле:

H

C

H

C

ei ,

(15)

1

(

где

H

C

H

C1

H

C 2

;

).

C

2

C1

C 2

Этот калибровочный коэффициент HC корректирует вычисленную по формуле (14) частотную функцию H12 , давая величи-

ну, которая не зависит от амплитудных или фазовых рассогласований между микрофонными каналами:

H			H12	.	(16)
	12C
			HC

Далее для вычисления коэффициента отражения в формуле (13) вместо H12 используется H12C .

1.5. Метод модальной декомпозиции звукового поля

Если частота звукового сигнала превышает частоту отсечки, то в канале интерферометра с нормальным падением волн распространяется более одной моды, и двух микрофонов уже недостаточно, чтобы определить акустические характеристики образца ЗПК. В этом случае измерения необходимо проводить 2 N микрофонами, где N – число распространяющихся мод. Тогда, если звуковое поле в заданной точке канала интерферометра представить в виде разложения (декомпозиции) по модам, то получим замкнутую систему из 2N уравнений относительно амплитудных коэффициентов мод.

В случае использования интерферометра с диаметром канала 50 мм частота отсечки первой азимутальной моды согласно формуле (6) равна 4020 Гц. Тогда, например, на частоте 5000 Гц в канале будут распространяться две моды с номерами (0, 0) и (1, 0), т.е. для составления системы уравнений понадобится измерить поле в 4 точках. При условии установки микрофонов в ли-

15

нию (в этом случае можно принять 0) выражение (5) для акустического давления на стенке принимает вид:

p(z ) A eik00 z1			B e ik00 z1	A eik10 z1	B e ik10 z1 ;
1		00	00	10	10
p(z	2	) A eik00 z2	B e ik00 z2	A eik10 z2	B e ik10 z2	;
		00	00	10	10		(17)
p(z ) A eik00 z3			B e ik00 z3	A eik10 z3	B e ik10 z3
						;
	3	00	00	10	10
p(z	4	) A eik00 z4	B e ik00 z4	A eik10 z4	B e ik10 z4 .
		00	00	10	10
Здесь множитель J1 ( 10 )			уже включен в коэффициенты A10 , B10 .

Далее на основании найденных из решения системы (17) коэффициентов A00 , B00 по формулам (1–3) можно найти акустиче-

ские характеристики образца ЗПК для заданной частоты.

Для интерферометра с касательным падением волн, канал которого обычно имеет квадратное или прямоугольное сечение, большая часть микрофонов находится на жесткой стенке напротив образца ЗПК, и модальный состав замеряемого акустического давления получается более сложным. Рассмотрим один из вариантов нахождения импеданса ЗПК в этом случае.

Пусть в двумерном канале высотой H (рис. 5) формируется акустическое поле, тогда уравнение (7) примет вид:

2 p 2 p k 2 p 0,z2 x2

а решение уравнения можно записать так:

p z, x	N		A ei n z cos( x) A ei n z cos( x) .
									(18)
	n	0		n	n	n	n

Если ориентировать систему координат так, как показано на рис. 5, то на жестких стенках канала, где установлены микрофоны, x 0, и решение (18) принимает более простой вид:

N			i n z	i n z
p z,0		Ane		An e	.
n	0

16

Рис. 5. Схема рабочей части интерферометра с касательным падением волн

Однако напрямую решить эту систему нелинейных уравнений сложно, поскольку точность нахождения амплитудных коэффициентов и волновых чисел, соответствующих реальному модальному составу шума в канале, сильно зависит от правильного задания начальных приближений данных параметров. Чтобы

обойти эти трудности, для нахождения можно воспользовать-

n

ся методом Прони, который подробно описан в [23]. Укажем здесь только его основные этапы.

Прежде всего необходимо, чтобы микрофоны располагались на стенке интерферометра напротив образца ЗПК с равным шагом z . Количество расчетных точек должно быть равно 2N, где N – число учитываемых в решении мод. На первом шаге метода Прони решается система линейных уравнений:

S D P ,

P

P

P

P

D

P

N

N 1

N 2

1

1

N 1

PN 1

PN

PN 1

P2

D2

PN 2

где S

PN 2

PN 1

PN

P3

;

D D3

;

P PN 3

.

P

P

P

P

D

P

2 N

2 N 1

2 N 2

N

N

2 N

Здесь Pj

p(z j ,0) – акустическое давление в j-й точке на жест-

кой стенке канала интерферометра.

17

На втором шаге находим корни полинома, коэффициенты которого сформированы из найденных элементов вектора D :

G(Q) QN D QN 1		D Q2	D Q D .
N		3	2	1

На третьем шаге находим осевые волновые числа:

	i ln(Qn ).
n

Из дисперсионного соотношения находим волновые числа поперечных мод:

	k 2 .
n	n

В результате, учитывая импедансное граничное условие [19]

p				ikp
x		x H		Z			x H

и формулу (18), для каждой моды можно найти импеданс:

	Zn			ik	.
			tg( H )
			n	n

Программная реализация данного метода представлена в подразделе 3.5.

1.6. Влияние особенностей конструкции интерферометра на точность определения акустических характеристик ЗПК

Как было рассмотрено выше, частота отсечки задает верхний предел работы интерферометра по частотному диапазону (обозначим его fu ). Проведение измерений на частотах выше частоты

отсечки при сохранении того же количества микрофонов приведет в конечном итоге к ошибочным результатам идентификации акустических характеристик испытываемого образца. Однако

18

кроме формы и размеров канала, которые обусловливают частоту отсечки, есть и другие особенности в конструкции интерферометра, которые также могут заметным образом повлиять на точность определения акустических характеристик ЗПК.

Прежде всего к таким особенностям стоит отнести минимальное расстояние s между двумя любыми используемыми при измерениях микрофонами. Если расстояние s равно целому числу полуволн, то определитель системы, построенной из уравнений

(5) или (8), будет равен нулю (подробнее см. в [24]), поэтому найти акустические характеристики ЗПК на этой частоте не удастся. Соответственно, устанавливать микрофоны в интерферометре следует таким образом, чтобы частота, дающая полуволну, равную расстоянию s, находилась бы за пределом верхнего частотного диапазона работы интерферометра:

c

f ,

(19)

2s u

где c – скорость звука.

Тем не менее сильно уменьшать s также не следует. Это связано с тем, что нижний предел частотного диапазона интерферометра (обозначим его fl ) определяется частотой, начиная с кото-

рой становится заметным изменение фазы между замерами акустического давления в двух разных точках. Согласно [22] на расстоянии, равном 5 % от длины волны, уже должным образом обеспечивается изменение фазы (хотя, по наблюдениям авторов, если нижний диапазон работы интерферометра начинается на средних частотах, то это расстояние можно уменьшить и до 2 %). Тогда, учитывая расстояние между микрофонами s, на котором происходит изменение фазы, значение предельной нижней частоты можно определить по формуле:

f		(0,02...0,05)	c	.	(20)
	l
			s
Измерения в интерферометре на частотах ниже					fl также приве-

дут к ошибкам определения акустических характеристик ЗПК.

19

При измерениях в интерферометре с нормальным падением волн также регламентируется расстояние от образца ЗПК до ближайшего микрофона. Это связано с тем, что измерение параметров акустического поля следует проводить в тех точках канала, где поле может трактоваться однозначно (например, на основе модальной декомпозиции), вблизи же образца испытываемой конструкции поле не является однородным. Согласно [22] минимальное расстояние между микрофоном и образцом должно быть не менее:

–1/2 калибра канала для образца неупорядоченной структуры;

–1 калибра канала для образца упорядоченной в поперечном направлении структуры;

–2 калибра канала для несимметричного образца.

Ряд других менее значимых особенностей, также способных внести погрешности в результаты определения акустических характеристик образца ЗПК при его измерениях в интерферометре с нормальным падением волн, указан в международном стандарте [22].

При измерениях на интерферометре с касательным падением волн частотный диапазон работы установки определяется, исходя из тех же соображений, что и для интерферометра с нормальным падением волн. Расстояние от кромок образца ЗПК до крайних микрофонов необходимо выбирать так, чтобы на эти микрофоны приходили только плоские волны. То же требование относится к расстоянию между крайними микрофонами и секциями динамиков. Это обусловлено тем, что наличие на крайних микрофонах только плоских волн существенным образом упрощает в процедурах идентификации акустических характеристик ЗПК задание граничных условий на входе и выходе рабочей части установки.

20