книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

линдра λ = 50 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Найдите зависимости от r величины теплового потока q(r ) и мощности, выде-

ляемой внутренними источниками, qV (r ). Чему равно суммарное

тепло, выделяющееся внутри части цилиндра длиной 1 м за 1с? 1.40. Внутри шара радиусом R = 0,5 м за счет внутренних источ-

ников тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV , причем величина qV тем больше, чем больше расстояние от цен-

тра шара: qV = 2,4 104 r (Вт/м2). Расстояние r измеряется в метрах.

Коэффициент теплопроводности шара λ = 4 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Температура на расстоянии 40 см от центра шара равна 318 К. Определите максимальную и минимальную температуры внутри шара.

1.41. Урановый шар радиусом 5 см облучается равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия qV = 100 Вт/см3. Температура на поверхности шара равна

100 °С, коэффициент теплопроводности урана λ = 400 Вт/(м·К). Найдите стационарное распределение температуры в шаре, а также температуру

вегоцентре.

1.42.По однородному цилиндрическому проводу течет постоянный электрический ток плотностью j = 107 А/м2. Радиус провода 5 мм,

удельное сопротивление материала провода ρуд = 10–6 Ом·м, коэффици-

ент теплопроводности λ = 20 Вт/(м·К). Определите стационарное распределение температуры в проводе, если его поверхность поддерживается при постоянной температуре Т0 = 200 °С. Результат представьте на графике. Чему равна температура на оси провода? Удельное сопротивление и коэффициент теплопроводности независят от температуры.

Замечание. Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме: qV = j2ρуд – тепло, выделяющееся в единице объема проводника за

единицу времени.

1.43. По однородному медному цилиндрическому проводу без изоляции течет постоянный электрический ток I = 20 А. Радиус провода 2 мм, удельное сопротивление материала провода ρуд = 1,7·10–8 Ом·м.

Коэффициент теплопроводности λ = 400 Вт/(м·К). Насколько отличают-

131

ся температуры на оси и на поверхности провода? Считать, что удельное сопротивление и коэффициент теплопроводности не зависят от температуры.

1.44.Труба с водой подвергается воздействию электромагнитного излучения, которое поглощается водой равномерно во всем объеме,

ипри этом на 1 см длины трубы выделяется мощность Р = 0,01 Вт. Температура поверхности трубы постоянна. Определите поле температур внутри трубы. Определите разность температур между точками в центре и на поверхности трубы, если коэффициент теплопроводности воды λ= 0,6 Вт/(м·К). Конвекцией пренебречь.

1.45.Внутри шара радиусом R = 1 м в единице объема выделяет-

ся мощность qV = 300 Вт/м3. Шар находится в воздухе, температура

которого равна +20 °С. Коэффициент теплоотдачи от поверхности шара к воздуху α = 10 Вт/(м2·К). Определите установившиеся температуры на поверхности и в центре шара, если коэффициент теплопроводности шара λ = 10 Вт/(м·К) и не зависит от температуры.

1.46. Температура одного конца стержня длиной 40 см поддерживается равной 300 °С, а другим концом стержень упирается

втающий лед. Теплопроводность материала стержня зависит от абсолютной температуры по закону λ = А·Т, где А = 0,2 Вт/(м·К2). Найдите температурное поле в стержне. Представьте результат графически. На каком расстоянии от холодного конца стержня температура равна 100 °С? Считать, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня.

1.47.Температура одного конца стержня длиной 1 м с площадью сечения 5 см2 поддерживается равной 200 °С, а другим концом стержень упирается в тающий лед. Теплопроводность материала стержня зависит от абсолютной температуры по закону λ = А·Т, где А = = 0,3 Вт/(м·К2). Найдите температурное поле в стержне. Представьте результат графически. Рассчитайте массу льда, растаявшего за время 10 мин. Удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг. Считать, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня.

1.48.Внутри шара радиусом R за счет внутренних источников

вединице объема ежесекундно выделяется тепло qV , одинаковое в лю-

бой точке шара. Установившаяся температура поверхности шара равна

132

Т1. Коэффициент теплопроводности материала шара зависит от температуры по закону λ = А·Т, где А – известная константа. Найдите поле температур внутри шара. Определите температуру в центре шара.

1.49. По однородному цилиндрическому проводу радиусом R и удельным сопротивлением ρуд течет постоянный электрический ток плотности j. Температура поверхности провода установилась равной Т1. Коэффициент теплопроводности материала провода зависит от температуры по закону λ = А·Т, где А – известная константа. Найдите поле температур внутри провода. Определите температуру на оси провода. Удельное сопротивление провода не зависит оттемпературы.

Замечание. Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме qV = j2ρуд – тепло, выделяющееся в единице объема проводника за единицу времени.

1.50.За счет внутренних источников тепла температура на по-

верхности шара радиусом R установилась равной Т1, температура на большом расстоянии от центра шара равна Т∞. Определите температуру Т2 на расстоянии 2R от центра шара. Задачу решите в трех случаях: 1) шар находится в среде с коэффициентом теплопроводности, не зависящим от температуры; 2) шар находится в среде с коэффициентом теплопроводности, зависящим от абсолютной температуры по закону λ = А·Т, где А – известная константа; 3) шар находится в среде

скоэффициентом теплопроводности, зависящим от абсолютной температуры по закону λ = А/Т, где А – известная константа.

1.51.Внутри шара радиусом R за счет внутренних источников в

единице объема ежесекундно выделяется тепло qV, одинаковое в любой точке шара. Установившаяся температура в центре шара равна

Т0. Коэффициент теплопроводности материала шара зависит от температуры по закону λ = А/Т, где А – известная константа. Найдите поле температур внутри шара. Определите температуру на поверхности шара.

1.52.Внутри шара радиусом R за счет внутренних источников

в единице объема ежесекундно выделяется тепло qV, одинаковое в любой точке шара. Установившаяся температура в центре шара зависит от

расстояния r до центра шара по закону T (r ) = T0 exp(−ar2 ) , где а – из-

133

вестная константа. Определите функцию зависимости коэффициента теплопроводности шара от температуры λ(Т). Чему равна величина потокатепла, уходящего от поверхности шаравовнешнее пространство?

1.53.Сферический кусок льда с начальным радиусом R0 = 5 см

итемпературой 0 °С погружен в водоем с температурой Т = 30 °С. Предполагая, что теплопередача в жидкости связана только с ее теплопроводностью, оцените время, в течение которого лед полностью растает. Теплопроводность воды λ = 0,6 Вт/(м·К), удельная теплота плавления льда δ = 3,4·105 Дж/кг, плотность льда ρ = 900 кг/м3.

1.54.Сосуд, наполненный водой массой М = 2 кг, стоит в печи.

Температура его внешних стенок t0 = 200 °С. Нагреваемая поверхность воды S = 400 см2, толщина стенок сосуда h = 1 см, коэффициент теплопроводности стенок λ = 0,5 Вт/(м·К). Сколько времени потребуется для нагревания воды от 20 до 80 °С? Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг·К).

1.55.Оценить толщину льда, образующегося в течение суток на спокойной поверхности озера. Температура окружающего воздуха равна –5 °С. Коэффициент теплопроводности льда λ = 2,2 Вт/(м·К), удельнаятеплота плавления льда δ= 3,4·105 Дж/кг, плотность льда 900 кг/м3.

1.56.Сосуд, наполненный водой массой М = 2,5 кг, стоит в печи.

Температура его внешних стенок t0 = 150 °С. Нагреваемая поверхность воды S = 500 см2, толщина стенок сосуда h = 1 см. Оцените коэффициент теплопроводности стенок сосуда, если для нагревания жидкости от 20 до 100 °С требуется 1 ч. Удельная теплоемкость воды

с = 4200 Дж/(кг·К).

1.57.При какой температуре окружающего воздуха спокойная поверхность озера за сутки покроется кромкой льда толщиной 15 см? Коэффициент теплопроводности льда λ = 2,2 Вт/(м·К), удельная теплота плавления льда δ = 3,4·105 Дж/кг, плотность льда 900 кг/м3.

1.58.На какой глубине в почве не чувствуются суточные колеба-

ния температуры окружающей среды? Теплопроводность грунта λ ≈ 1 Вт/(м·К), его плотность ρ ≈ 103 кг/м3, удельная теплоемкость

с≈ 103 Дж/(кг·К).

1.59.Один конец металлической ложки длиной 20 см погружают в горячую воду. Оцените, за какое время температурная волна достигнет второго конца ложки. Теплопроводность материала ложки

134

λ ≈ 50 Вт/(м·К), его плотность ρ ≈ 5·103 кг/м3, удельная теплоемкость

с≈ 300 Дж/(кг·К).

1.60.Горячую воду наливают в сосуд из материала с низкой теп-

лопроводностью. Через какое время можно будет ощутить тепло, взяв сосуд в руки? Толщина стенок 1 см. Теплопроводность материала сосуда λ ≈ 0,5 Вт/(м·К), его плотность ρ ≈ 500 кг/м3, удельная теплоемкость с ≈ 102 Дж/(кг·К).

2. Физика жидкого состояния. Гидродинамика

Физические свойства жидкости

Структура жидкостей не является подобно газам абсолютно беспорядочной. Рассмотрим фиксированную молекулу жидкости. Из-за сильного теплового движения молекул жидкости число соседей и их расположение вокруг данной молекулы заметно флуктуируют (изменяются) по сравнению с кристаллическими структурами. Но из-за еще достаточно сильного взаимодействия частиц в жидкости можно говорить о некотором среднем числе соседей и их определенном пространственном распределении вокруг данной молекулы, т.е. ближнем порядке в расположении частиц.

Тепловое движение частиц жидкости имеет прыжковый, или активационный характер. Частицы совершают колебания внутри полости, создаваемой ближайшими соседями. Эту полость называют клеткой (не путайте с понятием биологической клетки). Поколебавшись в клетке около одного положения равновесия, частицы совершают перескок в другую клетку, расположенную по соседству на расстоянии, приблизительно равном расстоянию между молекулами.

По уравнению Я.И. Френкеля, время пребывания частицы в клетке (время оседлой жизни)

U
τ = τ0 exp		,

kT

где τ0 – период колебаний молекулы около положения равновесия; U – энергия, необходимая для выхода молекулы из клетки (или высота потенциального барьера, разделяющего два соседних положения рав-

135

новесия). Значения U для разных жидкостей по порядку величины составляют 10–20 Дж или примерно 0,1 эВ или 10 кДж на 1 моль частиц.

Если энергию U измерять в джоулях на моль, то для правильного расчета константу Больцмана k = 1,38·10–23 Дж/К следует заменить на универсальную газовую постоянную R = 8,31 Дж/(моль·К) (подумайте почему):

	U
τ = τ0 exp		.
	RT

Пример 1. В некоторой жидкости пороговое значение энергии частиц, необходимое для выхода из клетки, U = 20 кДж/моль. Определите среднее число колебаний частиц в клетках при температуре Т = 300 К. Определите среднюю скорость движения молекул жидкости, если период колебаний молекул в клетках τ0 = 10–13 с, среднее расстояние между молекулами δ = 0,4 нм.

Решение. Среднее число колебаний

				U
			τ0 exp				U		20000
	τ			RT
N =		=				= e		= e	8,31 300	≈ 3000.
							RT
	τ0		τ0

Во время оседлой жизни молекула колеблется в клетке в течение времени τ, а затем совершает перескок на расстояние, близкое к среднему расстоянию между молекулами жидкости. Получается, что за время τ молекула перемещается на расстояние δ, т.е. средняя скорость молекул

ν =	δ	=	δ	= 1,3 (м/с) .
	τ		τ0 N

При нагревании твердых или жидких тел их объем увеличивается (плотность соответственно уменьшается). Исключением является вода, объем которой уменьшается при нагревании в диапазоне температур от 0 до 4 °С. Изменение объема (или плотности) тел при нагревании при постоянном давлении р характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения

136

β =	1		∂V	= −	1		∂ρ
							.
	V
			∂T p		ρ		∂T p

Коэффициент β зависит от температуры. Средний коэффициент объемного расширения в диапазоне температур от Т до Т + ∆Т:

β =	1		∆V	= −	1		∆ρ
							,
	V0
			∆T		ρ0		∆T

где V0	– начальный объем. Таким образом, ∆V = β∆T . Эта формула
	V0

показывает, что коэффициент теплового расширения равен относительному изменению объема тела ∆V/V0 при его нагревании на ∆T = 1 К. Подчеркнем, что ее можно использовать, если известен средний коэффициент теплового расширения, либо коэффициент расширения слабо меняется в некотором диапазоне температур, и его можно считать постоянным. Выведем формулу для конечного объема V при нагревании телана∆Т:

			∆V = β∆T ;		V − V0	= β∆T ; V = V0 (1+ β∆T ) .
			V0		V0
Пример 2. Изотермический коэффициент теплового расширения
при	постоянном			давлении по определению β =			1		∂V	либо
							V		∂T p
β = −	1		∂ρ
			. Докажите, что определения равносильны.
	ρ		∂T p

Решение. Плотность тела ρ = m . Берем дифференциалы от обе-

V

их частей равенства (считая массу постоянной):

1

1

ρ

∂ρ = m∂

; ∂ρ = −m

∂V ; ∂ρ = −

∂V ;

2

V

V

V

∂ρ

= −

ρ

∂V

1

∂ρ

= −

1 ∂V

;

∂T

.

∂T

V

∂T

ρ

∂T

V

137

Наконец, учитывая, что процесс нагревания происходит при постоянном давлении:

−	1		∂ρ	=		1		∂V
									,
	ρ		∂T p		V			∂T p

что и требовалось доказать.

Объемы тел могут изменяться и при постоянной температуре, например, при изменении давления. Повышение давления всегда приводит к уменьшению объема тела (соответственно к увеличению плотности) и наоборот. Изменение объема тела при изменении давления при постоянной температуре характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости:

χ = −

1

∂V

=

1

∂ρ

.

V

∂p T

ρ

∂p T

Средний коэффициент сжимаемости в диапазоне давлений от р

до р + ∆р

χ = −

1

∆V

=

1

∆ρ

∆ρ

= χ∆р.

∆p

;

ρ0

V0

ρ0

∆p

Из последней формулы следует, что коэффициент сжимаемости равен относительному изменению плотности жидкости при изменении давления на ∆р = 1 Па. Сжимаемость жидкостей очень мала. Например, для воды χ = 5·10–10 Па–1. Если увеличить давление воды на 10 атм =

= 106	Па,	то относительное изменение плотности	составит всего
∆ρ ρ0	= 5	10−4 , а изменение плотности ∆ρ = ρ0 5 10−4	= 103 5 10−4 =
= 0,5	(кг/м3 ) .

Пример 3. Плотность воды при 20 °С и нормальном атмосферном давлении р0 = 105 Па составляет ρ0 = 998,2 кг/м3. Оцените плотность воды под давлением 50 атм и температуре 40 °С. Средний ко-

138

эффициент теплового расширения воды в заданных интервалах температур и давлений β = 0,30·10–3 К–1, изотермический коэффициент сжимаемости χ = 5,0·10–10 Па–1.

Решение. Сначала нагреем воду на ∆Т = 20 К (от 20 до 40 °С) при постоянном давлении. Изменение плотности составит:

∆ρ = −ρ0β∆T = −998,2 0,3 10−3 20 ≈ 6,0 (кг/м3 ) .

Плотность воды ρ1 = 998,2 − 6 = 992,2 (кг/м3 ).

Далее, увеличим давление на ∆р = 49 атм = 49·105 Па (от 1 до 50 атм) при постоянной температуре 30 °С. Изменение плотности

∆ρ = ρ1χ∆р = 992,2 5 10−10 49 105 ≈ 2,4 (кг/м3 ).

Искомая плотность ρ2 = 992,2 + 2,4 = 994,6 (кг/м3 ).

Поверхностное натяжение

Пусть жидкость граничит со своим паром. Тогда молекулы поверхностного слоя жидкости обладают повышенной энергией по сравнению с молекулами в объеме. Избыточная энергия поверхностных молекул, приходящаяся на единицу площади поверхности, называется коэффициентом поверхностного натяжения σ. Таким образом:

σ = U ; U = σS ,

S

где U – избыточная энергия поверхностных молекул жидкости. Можно дать еще одно определение коэффициента поверхностно-

го натяжения. Коэффициент поверхностного натяжения есть сила, действующая со стороны поверхностного слоя на единицу длины контура, ограничивающего этот слой:

σ = F ; F = σL .

L

Заметим, что коэффициент поверхностного натяжения зависит от двух граничащих сред. Так как в основной массе задач поверхность жидкости граничит со своим паром или воздухом, будем говорить просто: коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

139

Пример 4. Две одинаковые сферические капли радиусом r сливаются, соединившись в одну сферическую каплю. Насколько изменилась поверхностная энергия жидкости, из которой состоят капли? Коэффициент поверхностного натяжения жидкости σ.

Решение. Изменение поверхностной энергии ∆ U = σ∆S . Рассчитаем изменение площади поверхности жидкости ∆S. Площадь поверхности двух капель радиусом r: S1 = 8πr2 . Площадь поверхно-

сти образовавшейся большой капли радиусом R: S2 = 4πR2 . Определим R. Суммарный объем двух капель равен объему

большой капли: 2	4	πr3 =	4	πR3 ;	R = r 3 2 .
3		3
Тогда ∆S = S2 − S1 = 4πr2 (22/3 − 2). Изменение поверхностной
энергии ∆U = 4πσr2 (22/3 − 2) .					Значение ∆U отрицательно, так как

площадь поверхности уменьшилась.

Добавочное давление в жидкости, обусловленное кривизной ее

	1		1
поверхности, ∆p = σ		+		,	где r1 и r2 – радиусы кривизны двух
r1			r2

взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости. Для сферической поверхности (r1 = r2 = r):

∆p = 2σ . r

Для цилиндрической поверхности (r1 = r, r2 = ∞):

∆p = σ . r

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке радиусом r, погруженной в сосуд с жидкостью (вывод формулы опускаем, но для успешного решения задач советуем его повторить),

140