книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Посчитаем объемный расход жидкости Q (м3/с) через площадку единичной длины вдоль оси 0z для течения Пуазейля:

1	h	1 ∆p		2
Q = ∫dz ∫ vxdy = −			h y −
0	− h	2µ ∆x

y	3	h	= −	2	∆p h3 .
						(4.11)
3		− h		3µ ∆x

Таким образом, расход жидкости пропорционален падению давления и пропорционален третьей степени h – полуширины зазора между плоскостями.

4.2.Движение жидкости

вкруглой трубе – течение Пуазейля

Для описания такого течения удобно использовать цилиндрическую систему координат (r, θ, z), в которой ось z совпадает с осью трубы (рис. 4.3). Течение стационарное ( ∂∂t = 0 ), одномерное ( vr = 0; vθ = 0 ), осесимметричное: vz = vz (r) .

Уравнение Навье−Стокса для z-компоненты скорости в цилиндрических координатах имеет вид

∂vz

+ vr

∂vz

+

vθ

∂vz

+ vz

∂vz =

r ∂θ

∂t

∂r

∂z

1

∂p

∂2vz

1 ∂vz

1 ∂2vz

∂2vz

= −

+ ν

+

+

+

.

ρ ∂z

∂r

2

r ∂r

r

2

∂θ

2

∂z

2

После «обнуления» большинства членов уравнения остается выражение

d2vz

+

1

dvz

=

1

dp

.

(4.12)

dr2

r dr

µ dz

Введем постоянный

напор

Рис. 4.3

жидкости в трубе

dp

=

∆p = const ,

dz

∆z

51

тогда (4.12) примет вид

d2vz	+	1		dvz	=	1	∆p .	(4.13)
dr2 r dr						µ ∆z

На твердой внутренней поверхности трубы выполняется условие прилипания жидкости

				vz			r =R	= 0 .			(4.14)
Для интегрирования преобразуем (4.13) к виду
	1 d					dvz			=	1	∆p
				r							.
							dr
	r dr									µ ∆z

Общее решение последнего уравнения выглядит следующим образом:

vz	=	1	∆p	r2	+ C1 ln r + C2 .	(4.15)
		µ ∆z 4

Скорость жидкости должна быть конечна на оси трубы при r = 0, откуда постоянная интегрирования С1 = 0. Постоянную С2 найдем из граничного условия (4.14):

C2	= −	1	∆p	R2	.
		µ ∆z 4

Подставим постоянные интегрирования в (4.15) и получим частное решение:

vz	= −	1	∆p (R2 − r2 ) .	(4.16)
		4µ ∆z

Максимальное значение скорости будет на оси трубы при r = 0:

(vz )max	= −	1	∆p R2 ,	(4.17)
		4µ ∆z

52

тогда решение (4.16) с учетом (4.17) можно записать как

		r 2
vz = (vz )max 1	−			.	(4.18)
		R

Параболический профиль скорости представлен на рис. 4.4. Объемный расход жидкости Q через поперечное сечение трубы

вычисляется следующим образом:

Q = 2∫π dθ∫R vz rdr = −

2π

∆p ∫R (R2 − r2 )rdr = −

π

∆p R4 .

0

0

4µ ∆z 0

8µ ∆z

Таким образом, расход про-

порционален

четвертой

степени

радиуса трубы – закон Пуазейля.

Определим среднюю скорость

жидкости через объемный расход:

vcp

= Q S ,

(4.20)

Рис. 4.4

где S − площадь сечения трубы, S = πR2 .

С учетом (4.19), (4.17) получим

vcp = −

1 ∆p

R

2

=

(vz

)max

.

8µ ∆z

2

(4.19)

(4.21)

Средняя скорость равна половине максимальной.

Вычислим величину касательного вязкого напряжения, которое представляет собой силу, действующую со стороны текущей жидкости на единицу площади внутренней поверхности трубы:

τтр = µ

dvz

= −

µ

∆p

d

(R2 − r2 )

= ∆p

R

.

(4.22)

dr

r= R

4µ ∆z dr

r = R

∆z 2

Сделаем некоторые замечания.

1. Картина течения существенно зависит от безразмерного параметра − числа (критерия) Рейнольдса

53

Re =

где d – диаметр трубы, d = 2R . Если выполняется условие

	vcp d	,	(4.23)
	ν

Re ≤ Reкр , т.е. число Рейнольдса

меньше (или равно) некоторого критического значения, то наблюдается полученное параболическое распределение скорости. В этом случае движение жидкости ламинарное – каждая жидкая частица движется по прямой, движение имеет плавный, спокойный, слоистый характер. Для труб критическое значение чисел Рейнольдса Reкр ≈ 2000...2200 . При Re > Reкр течение жидкости становится бес-

порядочным, турбулентным.

2. Полученное решение (4.16) справедливо для бесконечно длинной цилиндрической трубы. Если скорость жидкости на входе в трубу имеет практически постоянное значение во всех точках поперечного сечения трубы (рис. 4.5), то по-

казано, что на расстоянии от входа

lстаб ≈ 0,0575 R Re

(4.24)

распределение скорости близко к пара- Рис. 4.5 болическому, т.е. на расстоянии участка гидродинамической стабилизации lстаб профиль скорости будет поч-

ти сформирован.

Пусть, для примера, число Рейнольдса имеет значение меньше критического: Re = 103 , тогда

lстаб = 28,7 . 2R

Таким образом, в этом случае участок гидродинамической стабилизации составляет примерно 30 диаметров трубы(30 «калибров»).

3. Определим коэффициент сопротивления λ круглой трубы с помощью формулы

54

−∆p = λ ρvcp2 .

∆z d 2

Перепад давления выразим из (4.21):

	−	∆p	=	32µ vcp	.
		∆z		d 2

Приравняв правые части двух последних формул, получим

λ = 64ν vcpd

или, с учетом (4.23), λ = 64 . Re

4. Для приближенной оценки сопротивления трубы сложного фигурного профиля применяют следующий прием. Сравнивают сопротивление этой трубы с эквивалентной ей по сопротивлению трубой круглого сечения, у которой за радиус принимается так называемый гидравлический радиус, равный отношению удвоенной площади

нормального сечения S трубы к периметру П сечения R =	2S	.
гидр	Π
Так, для трубы квадратного сечения со стороной a получаем:
S = a2 ; Π = 4a; R = a 2 .
гидр

Контрольные вопросы

1.Описать движение жидкости между параллельными плоско-

стями.

2.Что такое объемный расход жидкости?

3.Описать течение Пуазейля.

4.Вывести выражения дляобъемного расхода и средней скорости.

5.Дать определение участка гидродинамической стабилизации.

6.Как определяется гидравлический радиус труб сложного про-

филя?

55

5. СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

5.1. Уравнения свободной конвекции

Плотность жидкости зависит от температуры ρ = ρ(T). Если жидкость неравномерно нагрета, то в неоднородном температурном поле возникает разность плотностей холодных и нагретых частиц жидкости. В результате этого в поле силы тяжести возникает подъемная, или архимедова, сила, которая приводит к свободному движениюжидкости.

Пусть T0 − некоторая фиксированная (например, средняя) температура, которую примем за точку отсчета, ρ0 − соответствующая

этой температуре плотность жидкости. Текущую температуру обозначим T, соответствующую ей плотность − ρ. Введем: избыточную температуру ∆T = T − T0 ; изменение плотности жидкости ∆ρ = ρ − ρ0 .

Считаем, что выполняется условие «слабой» конвекции ∆ρ << ρ0 .

С учетом принятых обозначений выражение для введенного выше температурного коэффициента расширения жидкости (2.6) при-

мет вид
	β = −	1	∆ρ =	ρ0 − ρ ,	(5.1)
		ρ0
			∆T	ρ0∆T
откуда получим
	ρ = ρ0 (1− β∆T ) .				(5.2)
Подставим последнее выражение в векторное уравнение На-
вье−Стокса
ρ	∂vr + ρ(vr )vr = − p + µ∆vr + ρgr ,				(5.3)
	∂t

которое описывает движение жидкости в поле силы тяжести. При этом, следуя Буссинеску, примем важное допущение: изменение плотности с температурой учитывается только в последнем члене

56

(который описывает влияние силы тяжести на течение жидкости) уравнения Навье−Стокса. Тогда отдельно для этого члена уравнения запишем

ρgr = ρ0 (1− β∆T ) gr = ρ0 gr − ρ0β∆Tgr ,

(5.4)

где первое слагаемое учитывает силу тяжести, действующую на жидкость плотностью ρ0 , второе слагаемое дает выражение для

подъемной силы.

В частном случае, если жидкость неподвижна ( vr = 0 ) и изотермична (T0 = const), то из уравнения Навье–Стокса (5.3) следует

0 = − p0 + ρ0 gr .

(5.5)

Подставим (5.5) в (5.4) и получим

ρgr = p0 − ρ0β∆Tgr .

Последнее соотношение подставим в уравнение Навье−Стокса (5.3), в котором в левой части ρ заменено на ρ0 :

ρ0 ∂vr + ρ0 (vr )vr = − p + µ∆vr + p0 − ρ0β∆Tgr.	(5.6)
∂t
Введем p1 = p − p0 − превышение давления над изотермическим
p0 при температуре T0 , тогда − p1 = − p + p0 . Уравнение (5.6) в

этом случае примет вид

∂vr		r r	= − p1	r	r
ρ0	∂t	+ (v )v		+ µ∆v	− ρ0β∆Tg .

В заключение поделим обе части последнего уравнения на ρ0

и, опуская индексы 0 и 1, получим уравнение свободноконвективного движения несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска:

	∂vr	+ (vr )vr = −	1	p + ν∆vr	− β∆Tgr.	(5.7)
	∂t		ρ
						57

Рис. 5.1

одной координаты

5.2. Конвективное течение в вертикальном слое

Рассмотрим стационарное (∂∂t = 0) конвективное течение жид-

кости в плоском вертикальном слое между параллельными изотермическими плоскостями, нагретыми до разной температуры: левая, относительно «горячая» плоскость имеет температуру Θ , правая, «холодная» для симметрии задачи имеет температуру – Θ (рис. 5.1).

Слой имеет бесконечную протяженность в вертикальном направлении H >> 2h , но, тем не менее, замкнут сверху и снизу торцевыми перегородками. При сколь угодно малой разности температур возникает движение жидкости – она поднимается у нагретой стенки и опускается у холодной.

В такой постановке отлична от нуля составляющая скорости vz (x) ,

температура также зависит только от T (x) . Уравнение Буссинеска (5.7) в этом случае

существенно упрощается. В проекциях на координатные оси:

0 = −	1	∂p + ν		d2vz		+ gβ∆T ;	(5.8)
				dx2
	ρ ∂z
		0 = −	1		∂p .		(5.9)
			ρ ∂x

В уравнении теплопереноса (3.6) отличен от нуля член, отвечающий за теплопроводность вдоль оси 0х:

d2T =

dx2

0 . (5.10)

Граничные условия для скорости и температуры:

vz	= 0,	T = Θ,	x = −h;
	= 0,	T = −Θ,	(5.11)
vz			x = h.

58

Еще одно дополнительное условие − замкнутость течения, т.е. равенство нулю расхода жидкости через любое сечение потока:

∫1 dy ∫h	vz dx = 0 .	(5.12)
0 − h

Общее решение уравнения теплопереноса (5.10) выглядит следующим образом:

T = C1x + C2 .

(5.13)

Постоянные интегрирования C1 и C2 найдем из граничных условий (5.11) для температуры:

	Θ = −C1h + C2 ;
	−Θ = C1h + C2 .
Отсюда
C2	= 0; C1 = − Θ .
	h

Подставим найденные постоянные интегрирования в (5.13) и получим

T = − Θ x .	(5.14)
h

Температура меняется по сечению слоя линейно, как в неподвижной жидкости. Поперечный (поперек слоя жидкости) теплоперенос является чисто теплопроводным.

Заметим, что T0 = 0 (это не означает, что температура равно 0 К),

следовательно, ∆T = T − T0	= T = − Θ x . Подставим ∆T в уравнение
	h

движения (5.8), в котором разделим переменные:

1	∂p = ν	d2vz	− gβ Θ x = C ,	(5.15)
		dx2
ρ ∂z			h

где С – постоянная разделения переменных.

59

Сначала проинтегрируем правую часть уравнения (5.15), кото-

рую запишем в виде
	d2vz	= gβ	Θ	x + C .	(5.16)
	dx2		νh

Общее решение этого уравнения имеет вид

vz	= gβ	Θ	x3 + C	x2	+ C1x + C2 .	(5.17)
		6νh
			2

Подставим (5.17) в условие замкнутости потока (5.12) и получим

∫dy ∫ vz dx = gβΘ x4

− h + C x3

− h + C1 x2 − h

+ C2 x − h = 0 .

1

h

h

h

h

h

0

− h

24νh

6

2

Слагаемые с четными степенями x равны нулю. После преобразований найдем связь между коэффициентами:

C2 = −C

h2

.

(5.18)

6

Удовлетворим общее решение (5.17) граничным условиям (5.11)

для скорости:

0 = − gβ

Θ

h3 + C

h2

− C1h + C2 ,

6νh

2

0 = gβ

Θ

h3 + C

h2

+ C1h + C2 .

6νh

2

С учетом (5.18) получим значения констант

C = 0;

C1 = −

gβΘh

;

C2 = 0 .

(5.19)

6ν

Подставим (5.19) в общее решение (5.17). После простых преоб-

разований получим

gβΘh2

x 3

x

vz

=

−

.

(5.20)

6ν

h

h

60