книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

4-й ответ ошибочный, так как уравнение не является линейным.

Верный ответ № 3.

Вопрос 3.1.4

Если в общем уравнении прямой Ax + By + C = 0 коэффициент

C = 0 , то прямая проходит через … … .

Решение

Если прямая на плоскости имеет уравнение Ax + By = 0 , то пара x = 0 , y = 0 является решением этого уравнения. Это означает, что прямая проходит через точку с координатами (0;0) , т.е. проходит через начало координат.

Вопрос 3.1.5

Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ) в данном направлении, имеет вид…

1) ( y − y0 )k = x − x0 ,

2)y − y0 = 1k ( x − x0 ),

3)y − y0 = k (x − x0 ),

4)( y − y0 ) + k (x − x0 ) = 1.

Решение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

y = kx + b.

Прямая проходит через точку M0 (x0 ; y0 ) , следовательно, коор-

динаты точки M0 удовлетворяют	уравнению	y0 = kx0 + b , т.е.
b = y0 − kx0 .	= k (x − x0 )
Тогда y = kx + y0 − kx0 или y − y0		– уравнение пря-

мой, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ) в данном направлении.

Верный ответ № 3.

51

Вопрос 3.1.6

Выберите верные утверждения (высказывания).

1)Прямую на плоскости можно провести через две точки.

2)Уравнение y = kx определяет прямую, проходящую через

начало координат.

3)Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение x = a .

4)Прямую на плоскости можно задать, зная два вектора, параллельные этой прямой.

Решение

Через любые две точки на плоскости можно провести прямую

ипритом единственную, поэтому первое высказывание верно.

Из уравнения y = kx видно, что пара x = 0 , y = 0 является ре-

шением этого уравнения, т.е. прямая проходит через начало коорди-

нат. Следовательно, второе высказывание верно.

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение y = a .

Уравнение x = a задает прямую, параллельную оси ординат. Третье высказывание неверно.

Для того чтобы однозначно задать прямую на плоскости, достаточно знать точку, принадлежащую данной прямой, и направляющий вектор, т.е. вектор, параллельный данной прямой. Два вектора параллельные данной прямой однозначно прямую не определяют.

Четвертое утверждение неверно.

Вопрос 3.1.7
Если	прямые	заданы уравнениями	y = k1x + b1	и y = k2 x + b2
и k1 = k2 ,	а b1 ≠ b2 ,	то эти прямые ... .
Решение
Если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловым коэффици-
ентом y = k1x + b1,		y = k2 x + b2 , и k1 = k2 ,	то прямые l1	и l2 наклоне-

ны к оси Ox под одним и тем же углом. Таким образом, они либо параллельны, либо совпадают.

Если b1 = b2 , то прямые l1 и l2 совпадают.

52

	Если b1 ≠ b2 , то прямые параллельны.
	По условию		k1	= k2 , а	b1 ≠ b2 ,	таким образом,					прямые парал-
лельны.
	Вопрос 3.1.8
	Если	две		прямые	заданы			общими			уравнениями
A x + B y + C = 0			, A x + B y + C = 0			и	A1	≠	B1	, то прямые ... .
1	1	1	2	2	2		A2		B2

Решение

Задачу поиска точки пересечения двух прямых можно свести

к решению системы уравнений A1x + B1 y + C1 = 0 .

A2 x + B2 y + C2 = 0

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда определитель системы отличен от нуля, т.е.

A1

B1

≠ 0 , откуда A B ≠ A B или

A

B

1

≠

1

.

A2

B2

1

2

2

1

A2

B2

Ответ: пересекаются.

Вопрос 3.1.9

y = k1x + b1 и y = k2 x + b2 ,

Для прямых, заданных уравнениями

справедливы утверждения…

1)

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты

равны k1 = k2 ;

2)

Если угловые

коэффициенты

прямых связаны условием

k1 k2

=1, то эти прямые перпендикулярны;

3)

Прямые перпендикулярны, если k2

= −

1

;

k1

4)

Если прямые параллельны, то

k1

=

b1

.

k

2

b

2

Решение

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , то они:

53

–не пересекаются (параллельны), если k1 = k2 , b1 ≠ b2 ;

–имеют единственную общую точку, если k1 ≠ k2 ;

–совпадают, если k1 = k2 , b1 = b2 ;

–перпендикулярны, если k1 k2 = −1.

Поэтому утверждения 1, 3 верны, а 2 и 4 ошибочны.

Вопрос 3.1.10

Вектор n = { A; B;C} называется ... вектором плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0 .

Решение

Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. Если плоскость задана

общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , то вектор n = { A, B,C} − нормальный вектор плоскости (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Ответ: нормальным.

Вопрос 3.1.11

Выберите верные утверждения (высказывания).

1) Если плоскость проходит через начало координат, то в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D = 0 .

54

2) Уравнение вида ax + by + cz = 0 есть уравнение плоскости в

отрезках.

3) Уравнение y = 0 определяет координатную плоскость Oxz. 4) Плоскость, заданная уравнением Cz + D = 0 (С ≠ 0, D ≠ 0) ,

проходит через ось Ox.

Решение

Всякое уравнение первой степени относительно текущих координат:

Ax + By + Cz + D = 0

определяет в пространстве плоскость.

В случае, когда какой-либо из коэффициентов A, B,C, D обращается в ноль, плоскость имеет особенности в своем расположении,

аименно:

•если отсутствует член с одной из координат, то плоскость параллельна соответствующей оси координат;

•если одновременно отсутствует свободный член и член с одной из координат, топлоскость проходит через соответствующую ось;

•если отсутствуют члены с двумя координатами, то плоскость параллельна той координатной плоскости, которая содержит соответствующие оси;

•если отсутствуют члены с двумя координатами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей;

•если отсутствуют все члены с координатами, а свободный член отличен от нуля, то уравнение смысла не имеет.

Первое	утверждение верно,	так как координаты точки
O(0;0;0)	– начала координат	удовлетворяют уравнению

Ax + By + Cz + D = 0 , если D = 0 .

Второе утверждение ошибочно, так как уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

ax + by + cz = 1.

55

Верным является третье утверждение. Так как A = 0 , C = 0 ,

D = 0 , то общее уравнение плоскости принимает вид y = 0 . Следовательно, y = 0 – уравнение плоскости, проходящей через оси Ox , Oz и начало координат, а это координатная плоскость Oxz .

Четвертое утверждение ошибочно, так как плоскость, задан-

ная уравнением Cz + D = 0 (где A = 0 и B = 0 ), проходит параллельно плоскости Oxy и не может содержать ось Ox .

Вопрос 3.1.12

Координатная плоскость Oxy задается уравнением ... .

Решение

Если в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 отсут-

ствуют члены с двумя координатами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей. В данном случае координатная плоскость Oxy задается уравнением z = 0 , так как A = 0 , B = 0 , D = 0 .

Ответ: z = 0.

Вопрос 3.1.13

Прямая, заданная уравнениями

1)параллельна оси Oy ,

2)параллельна оси Oz ,

3)параллельна оси Ox ,

4)лежит в плоскости Oyz .

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	, …
m
	0		0

Решение
Если			прямая			в	пространстве задана уравнениями
x − x0	=	y − y0		=	z − z0	, то	s = {m;n; p} есть направляющий вектор
					p
m			n

прямой, т.е. вектор, параллельный данной прямой.

56

Рис. 3.4
По условию s = {m;0;0} коллинеарен вектору							= {1;0;0} , сле-
						i
довательно, прямая параллельна оси Ox (рис. 3.4).
Верный ответ № 3.
Вопрос 3.1.14
Прямая, заданная уравнениями	x − x0	=	y − y0	=		z − z0		, …
	m
			n		0

1)параллельна оси Oy ,

2)параллельна оси Oz ,

3)параллельна плоскости Oxy ,

4)лежит в плоскости Oyz .

Решение

Данная прямая имеет направляющий вектор s = {m;n;0} .

Следовательно, направляющий вектор перпендикулярен оси Oz , а вместе с ним и сама прямая перпендикулярна оси Oz . Любая прямая, перпендикулярная оси Oz , параллельна плоскостиOxy .

Верный ответ № 3.

Вопрос 3.1.15

Две плоскости, имеющие нормальные векторы n1 и n2 , перпендикулярны, если…

57

1)n1 = λn2 , λ ≠ 0,

2)n1 n2 = 0,

3)n1 × n2 = 0,

4)n1 n2 = const.

Решение

Рис. 3.5

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы плоскостей перпендикулярны (рис. 3.5). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно ну-

лю, т.е. n1 n2 = 0 .

Верный ответ № 2.

Вопрос 3.1.16

Если

прямые,

заданные

каноническими уравнениями

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

и

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

, параллельны, то …

m

n

p

m

n

p

2

1

1

1

2

2

1)m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0,

2)m1 = n1 = p1 , m2 n2 p2

3)m1m2 + n1n2 + p1 p2 ≠ 0,

4)m1 = n1 ≠ p1 . m2 n2 p2

58

Решение

Рис. 3.6

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы кол-

линеарны. Векторы

s1 = {m1;n1; p1}

и

s2 = {m2 ;n2 ; p2 } являются на-

правляющими векторами прямых l1

и l2 (рис. 3.6).

Векторы

s1 и s2 коллинеарны тогда и только тогда, когда их

координаты пропорциональны, т.е.

m1

=

n1

=

p1

.

m

n

p

2

2

2

Верный ответ № 2.

Вопрос 3.1.17

Прямая

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

перпендикулярна плоскости

m

n

p

Ax + By + Cz + D = 0 , если выполнены условия…

1)Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0,

2)Am + Bn + Cp ≠ 0,

3)Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,

4)mA = Bn = Cp .

59

Решение

					Рис. 3.7
	Прямая	x − x0	=	y − y0	=	z − z0		перпендикулярна плоскости
		m		n		p

Ax + By + Cz + D = 0 тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой s = {m;n; p} коллинеарен нормальному вектору плоско-

сти

= { A; B;C}

(рис. 3.7).

n

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны,

т.е.

m

=

n

=

p

.

A

B

C

Верный ответ № 4.

Вопрос 3.1.18

x − x0

Если

для

прямой

=

y − y0

=

z − z0

и плоскости

m

p

n

Ax + By + Cz + D = 0 выполнены

условия

Am + Bn + Cp = 0 и

Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0 , то…

1)прямая и плоскость параллельны,

2)прямая принадлежит плоскости,

3)прямая перпендикулярна плоскости,

4)прямая и плоскость пересекаются под острым углом.

60