книги / Теоретические основы теплотехники. Техническая термодинамика

му называют рабочей диаграммой. Направление процессов на диаграммах обычно указывают стрелками (рис. 3.3), поэтому вместе с количествомработынадиаграммер–υопределяетсяиеезнак.

Очевидно, что переходизначального вконечное состояниена диаграмме можно осуществить по различным кривым (линиям процессов), каждой из которых будет соответствовать свой интеграл (количество) работы. Таким образом, работа зависит от вида термодинамическогопроцессаиявляетсяфункциейпроцесса.

При расширении газа не вся работа может быть полезно использована. Пусть 1 кг газа под поршнем расширяется от начального состояния с параметрами p1, υ1 до конечного состояния с параметрами p2, υ2, преодолевая при этом давление окружающей среды рʹ (рис. 3.4). В этом случае, когда система совершает работу во внешней среде с давлением рʹ, элементарная работа расширения будет равна

dl = p′ dυ.

Рис. 3.3. Удельная деформационная	Рис. 3.4. Определение
работа на р–υ диаграмме	располагаемой работы

Часть работы, произведенной газом в процессе расширения, будетзатраченанавытеснениесреды, давлениекоторойвпроцессе изменяетсяотрʹ1 дорʹ2. Этаработавытеснениябудетравна

31

p′	υ	2	− p′υ .
2			1	1

Каждое из слагаемых в этом выражении равно работе, которую надо затратить, чтобы ввести газ объемом υ в среду с давлением рʹ. Тогда полезная, или, как ее обычно называют, располагаемая, работа lʹ будет равна разности между работой расширения газа и работой вытеснения:

		2
l′	=		p′dυ −	p′	υ	2	− p′ υ .
12				( 2			1 1 )
		1

При равновесном процессе давление среды pʹ = p. Тогда

		2
l′	=		p dυ −	p υ	2	− p υ .
12				( 2		1 1 )
		1

Разность в скобках можно представить в виде интегралов:

p2 υ2 − p1 υ1 = 2 d ( p υ) = 2								p dυ + 2 υ dp.
				1			1			1
Тогда
12		2		2		2			2
	=		p dυ −		p dυ −		υ dp = −			υ dp.
l′
		1		1		1			1

Таким образом, элементарная располагаемая работа равна

dl′ = −υ dp,

(3.9)

а располагаемая работа при конечном изменении параметров:

12		2
	= −		υ dp.	(3.10)
l′
		1

На рабочей диаграмме количество располагаемой работы в соответствии с (3.10) изобразится в виде площади слева от линии процесса (рис. 3.5). Она может быть как больше, так и

32

меньше работы расширения в зависимости от наклона кривой процесса. Следует иметь в виду, что размерность работы в выражениях (3.9) и (3.10) Дж/кг, то есть, по сути, она является

удельной располагаемой работой.

Рис. 3.5. Удельная располагаемая работа на р–υдиаграмме

3.5. Теплота

Теплота – это тоже форма обмена энергией между системой и окружающей средой. Обмен энергией в этом случае происходит при взаимодействии атомов и молекул окружающей среды и системы без видимых перемещений макротел. Количество теплоты в процессе подсчитывается через теплоемкость данного процесса, которая должна быть заранее определена. С учетом того, что теплоемкость веществ может быть выражена в различных единицах измерения, элементарное количество теплоты определяют одним из трех способов:

dQ = m c dT = V c′ dT = ν cμ dT.

Теплота, подведенная к 1 кг вещества, называется удельной теплотой, q, Дж/кг:

33

q = Q .
m
Тогда элементарная удельная теплота:
dq = c dT,	(3.11)
а в пределах термодинамического процесса
q12 = 2 c(T )dT.	(3.12)
1
Если теплоемкость в процессе не изменяется, то
q12 = c (T2 − T1 ).	(3.13)

Поскольку теплоемкость зависит от вида термодинамического процесса, теплота также является функцией процесса.

3.6. Аналитические выражения первого закона термодинамики. Энтальпия

Ранее была приведена так называемая интегральная форма записи первого закона (3.1), согласно которой для произвольного количества вещества можно найти Q12, Дж:

Q12 = (U2 − U1 ) + L12 .				(3.14)
Для 1 кг вещества q12, Дж/кг:
q12	= (u2 − u1 ) + l12 ,			(3.15)
или с учетом (3.4), (3.8) и (3.12)
2 c(T )dT = 2 cV (T )dT + 2			p dυ.	(3.16)
1	1	1

Для элементарного участка процесса эти выражения записывают в дифференциальной форме:

34

dq = du + dl,	(3.17)
а также
c dT = cV dT + p dυ.	(3.18)

Дифференциальная форма записи уравнения первого закона при анализе термодинамических процессов часто оказывается более удобной.

Уравнение первого закона термодинамики можно представить в другом виде. К выражению

dQ = dU + p dV

прибавим и вычтем слагаемое Vdp:

dQ = dU + p dV + V dp − V dp =

= dU + d ( pV ) − V dp = d (U + pV ) − V dp.

Последнее слагаемое представляет собой элементарную располагаемую работу. Функцию I = U + pV , измеряемую в

Джоулях, в термодинамике называют энтальпией. Энтальпия, отнесенная к 1 кг,

i = u + p υ,

(3.19)

называется удельной энтальпией, i, Дж/кг. Входящие в выражение (3.19) величиныu, p, υявляютсяпараметрамисостояния, поэтомуи сама энтальпия также будет параметром (функцией) состояния. Тогдааналитическиевыражениядляпервогозаконапримутвид:

Q	=	(		I	2	− I	+ L′	,	(3.20)
12						1 )	12
q	=			i		− i	+ l′ ,		(3.21)
12			(		2	1 )	12

dq = d i − υ dp.

Записывая последнее выражение для изобарного процесса p = const, получаем

35

cp dT = d i,

(3.22)

то есть изменение энтальпии численно равно количеству теплоты, подводимому к системе в изобарном процессе. Тогда по аналогии с (3.16) и (3.18) можно записать:

2 c(T )dT = 2 cp (T )dT − 2			υ dp,	(3.23)
1	1	1
	c dT = cp dT − υ dp.			(3.24)

Смысл энтальпии можно пояснить на следующем примере

(рис. 3.6).

Рис. 3.6. Определение энтальпии

Пусть при постоянном давлении р в цилиндр вводится газ, поднимая поршень. Чтобы поднять поршень на некоторую высоту, соответствующую объему V, преодолевая давление окружающей среды p′, к газу надо подвести извне работу p 'V , ко-

торая увеличит энергию газа. В равновесном процессе p′ = p и, таким образом, полная энергия газа в цилиндре будет равна

I = U + pV.

Энтальпия в термодинамике считается функцией температуры и давления I = I(T, p). Изменение энтальпии в элементарном процессе равно полному дифференциалу этой функции:

	∂I			∂I
dI =			d T +			dp.
	∂T p			∂p T

36

Здесь производная

	∂I		= ср,
	∂T p

а производная во втором слагаемом имеет смысл только для реальных газов.

Поэтому для идеальных газов изменение энтальпии подсчитывают по формуле (3.22), а если теплоемкость газа в процессе не изменяется:

i12 = cp (T2 − T1 ).

В заключение следует отметить, что общее уравнение первого закона термодинамики

dq = du + dl

можно записать и для произвольной системы отсчета, не связанной с телом. В этом случае нужно учесть изменение механической энергии – потенциальной, обусловленной изменением высоты z , и кинетической:

dq = du + dl + d w2 + g dz.

2

Уравнение первого закона справедливо для любых рабочих тел – реальных и идеальных, а также для любых процессов – обратимых и необратимых. В частности, для необратимых процессов при наличии трения

dq + dqтр = du + dl + dlтр,

где qтр и lтр – соответственно теплота и работа сил трения. Поскольку работа сил трения полностью переходит в теплоту трения и вновь подводится к телу, то есть

dqтр = dlтр,

наличие трения не изменяет общего баланса энергии.

37

4.ПОЛИТРОПНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Втермодинамике изучаются процессы, подчиненные определенной закономерности. Так, изобарный процесс осуществляется при постоянном давлении, изохорный – при постоянном объеме и т.д. Наряду с этими процессами, можно представить еще бесконечное множество процессов, у которых имеются другие постоянные признаки. За условие протекания процессов, называемых политропными (в переводе с греческого – многообразными), принимают постоянство распределения подводимой теплоты между внутренней энергией и работой газа в течение всего процесса. В дальнейшем будем рассматривать процессы для 1 кг идеального газа.

Пусть φ – доля подведенной теплоты, расходуемая на изменение внутренней энергии:

ϕ = du .	(4.1)
dq

При этом для соблюдения интегрального баланса распределения теплоты необходимо, чтобы в пределах процесса теплоемкость сv была величиной постоянной (а также и ср – в соответствии с уравнением Майера ср – сv = R).

Количество теплоты в политропном процессе:

dq = cϕ dT,

(4.2)

где сφ – теплоемкость политропного процесса. Тогда du = cv dT = ϕ сϕ dT ,

c = cv .

(4.3)

ϕ ϕ

Таким образом, политропный процесс можно определить как процесс при постоянной теплоемкости сφ или процесс при посто-

38

янном значении φ. Исследования показывают, что величины φ и сφ вразличныхпроцессахмогутизменятьсявпределахот+∞до–∞.

4.1.Связь между параметрами газа

вполитропном процессе

Уравнения связи между параметрами газа в политропном процессе можно получить из уравнений первого закона термодинамики:

cϕ dT = cp dT − vdp	(cϕ − cp )dT = −vdp
		.	(4.4)
	=
cϕ dT = cv dT + pdv	(cϕ − cv )dT = pdv

Поделив почленно уравнения, получим:

	cϕ	− cp	= −	vdp	.	(4.5)
	c	− c		pdv
	ϕ	v

Левая часть уравнения (4.5) является величиной постоян-

ной и называется показателем политропы:

n =	cϕ − cp		.	(4.6)
	c	− c
	ϕ	v

В зависимости от величины сφ показатель политропы в различных процессах может изменяться в пределах от +∞ до –∞.

Интегрируя уравнение (4.5) в пределах процесса от начальной точки 1 до конечной точки 2

2	ndv	2	dp	,	v	= − ln	p	= ln	p
	v	= −	p		n ln v		p		p
					2		2		1
1		1			1		1		2

и потенцируя, получаем:

p	=	v		n	или Pvn = P vn .	(4.7)
1			2
p2		v1
						39

Равенство (4.7) выполняется не только для граничных точек, но и для всех промежуточных точек процесса, то есть в общем случае можно написать

pvn = const.

(4.8)

Уравнение (4.8) отражает связь между параметрами р и v на линии процесса и называется уравнением политропного процес-

са, или уравнением политропы. Связь между другими параметрами можно получить с использованием уравнения состояния

p v = RT.

(4.9)

Заменяя параметры р и v в уравнении (4.8) с использованием уравнения (4.9), получаем:

T vn−1 = const;	(4.10)
1− n
T p n = const.	(4.11)

Показатель политропы при известных параметрах рабочего тела в начале и конце процесса может быть определен из уравнений (4.8) или (4.10)–(4.11). Так, например, используя уравнение (4.8), можно получить:

		p
	ln	1
		p
n =		2		.	(4.12)
	v
	ln	2
		v
		1

Зная показатель политропы, можно найти теплоемкость политропного процесса. Выражая из уравнения (4.6) сφ, а также учитывая (4.3), получаем

cϕ = cp( − n )cv

1− n

	c
		p	− n			(k − n)
		c							c
= c	v				= c			=	v	.	(4.13)
	(1− n)						− n)
v					v (1				ϕ

40